王 丹

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島 266106）

分?jǐn)?shù)階微分方程是對傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程的推廣，在很多領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，其精確解的研究是海洋動力學(xué)﹑物理學(xué)﹑光學(xué)及工程學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域的一項(xiàng)重要任務(wù)。鑒于非線性分?jǐn)?shù)階微分方程精確解的重要性，構(gòu)造非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解的很多有效的方法應(yīng)運(yùn)而生，如反散射法[1]﹑Bǎ cklund變換法[2-3]﹑Darboux變換法[4]﹑Tanh函數(shù)法[5-9]及展開法等。

R.Khalil[11]等人給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新的定義，本文在此定義的基礎(chǔ)上研究了分?jǐn)?shù)階MEW方程的精確解。

1.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

2.分?jǐn)?shù)階MEW方程

Morrison[12]等人將如下形式的整數(shù)階微分方程

命名為equal width方程(EWE)，該方程是一個重要的數(shù)學(xué)物理方程，其解析解引起了很多學(xué)者的關(guān)注，到目前為止，已有大量的方法如：B樣條曲線法[13]﹑基于無網(wǎng)格核法[14]等有效的方法來求解。本文將研究分?jǐn)?shù)階modified equal width(MEW)方程：

對于方程(8)，對其積分一次，并令積分常數(shù)為零，則得如下方程：

3.分?jǐn)?shù)階MEW方程的精確解

將(12)帶入到方程(10)中，并結(jié)合方程(11)的解，我們可以得到方程(6)的解析孤波解如下：

4.結(jié)論

本文通過使用變換和改進(jìn)的展開法，借助符號計(jì)算軟件求得了時空分?jǐn)?shù)階MEW方程的暗波解﹑周期解及其他形式的精確解，這是以往雙曲正切函數(shù)有理展開法所不能的。這說明該方法在求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程是有效的，可以用來解決更廣范的非線性偏微分方程的精確解。