劉智新，張媛，宋士倉

(1.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南鄭州450001;2.鄭州鐵路職業(yè)技術學院數(shù)學教研室，河南鄭州451460)

1.引言

考慮如下的Sobolev方程

其中Ω?R2為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，X=(x，y)，u0(X)，f(X，t)是已知函數(shù).

Sobolev方程在流體穿過裂縫巖石的滲透理論，土壤中的濕氣遷移問題，不同介質中的熱傳導問題，黏土的加固理論等許多數(shù)學物理問題中有著廣泛的應用.關于其數(shù)值方法的研究已經(jīng)有很多，如文[1]討論了標準混合有限元方法，文[2-3]介紹了H1-Galerkin混合有限元方法，文[4-5]分別討論了非協(xié)調元方法和弱Galerkin有限元方法.進一步的，文[6-8]討論了非線性的情形，并給出了相應數(shù)值方法的收斂性分析.關于這些數(shù)值方法的文獻還有很多，但這些文獻主要是在凸多邊形區(qū)域上討論的.對于多角形區(qū)域，由于解的光滑性不夠，不宜采用高次元去逼近，否則達不到提高精度的目的.在實際生活中會經(jīng)常遇到曲邊區(qū)域的情況，當用有限元方法去處理時，通常的方法是用多角形區(qū)域(直邊有限元)去逼近，但由于邊界處的誤差較大，也會影響精度.若通過對邊界處的網(wǎng)格加密來減少誤差，這樣也會導致計算量的巨大增加.因此為了使收斂階不受損失，我們可以采用等參有限元去逼近曲邊區(qū)域.

目前討論等參有限元逼近的文獻也比較多，在此我們簡要描述與之相關的一些主要貢獻.設u是某個方程的變分問題的解，Ω是具有光滑邊界的有界區(qū)域，uh和Ωh分別是u和Ω的近似值.文[9-10]中詳細介紹了等參有限元方法，并應用二次Lagrange等參元去逼近具有齊次Dirichlet邊界的二階橢圓問題，最終得到了‖-uh‖H1(Ωh)=O(h2)的誤差估計，其中～u是u到Ωh的某種延拓.同時由于其考慮了數(shù)值積分，因此只要積分點位于Ω∩Ωh上，便能夠定義近似問題而無需將函數(shù)延拓到Ωh上，文[11]給出了不使用數(shù)值積分的誤差估計.基于這種思想，許多學者將等參有限元方法應用到其他問題中，如[12-14]討論了用等參混合有限元方法去求解四階橢圓邊值問題和Stokes問題，得到了與凸多邊形區(qū)域上同樣的收斂階.文[15-16]將等參有限元方法應用到了橢圓界面問題中，得到了比傳統(tǒng)的有限元方法更好的收斂階.進一步的，文[17]在文[10]中介紹的等參有限元方法基礎上，提出了另一種估計思路.它討論了如何去構造一個映射Φh:Ωh→Ω，該映射對于任意維數(shù)空間都是有效的，可以很自然的將Ω區(qū)域上的函數(shù)延拓到Ωh上，并給出了相關的誤差估計.然后應用k次Lagrange等參元討論了曲邊區(qū)域上的二階橢圓問題，得到了‖u-uh°‖H1(Ω)=O(hk)的誤差估計.但是以上討論都是基于定常問題，就作者所知，將等參有限元方法應用于非定常問題的文獻還比較少，文[18]基于文[10]中提出的思想討論了拋物方程的等參有限元方法，其中引入了Ritz投影，并給出了嚴格的證明，最后討論了全離散格式下真解和有限元解在Ω∩Ωh上的L2模誤差估計.文[19]將文[17]中的思想進一步應用到了拋物方程中，并分別討論了真解和有限元解在半離散和Crank-Nicolson全離散格式下的誤差估計.但上述文獻只是給出了理論估計，并沒有給出相應的數(shù)值算例.

本文主要研究當求解區(qū)域Ω?R2為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域時，應用文[17]的思想去求解問題(1.1).給出了半離散問題和向后歐拉全離散格式下解的存在唯一性的證明，并且分別討論了真解和有限元解之間的誤差估計.最后給出了一個數(shù)值算例，進一步驗證了理論分析的結果，其結果表明，采用等參有限元去逼近曲邊區(qū)域可以達到和凸多邊形區(qū)域上同樣的收斂階.

在本文中我們用C表示一個與h無關的大于0的常數(shù)，不同的地方大小可能不同.

2.預備知識

為了下面證明的需要和方便，首先給出一些定義和引理.

我們用Wm，p(Ω)表示通常的Sobolev空間，其中m≥0，1≤p≤∞，其范數(shù)定義如下

當p=2時，記Wm，p(Ω)=Hm(Ω).并且相關的范數(shù)記作如下:

設Y是Banach空間，其范數(shù)記為‖·‖Y，對映射φ:[0，T]→Y，定義

為了引進全離散逼近格式，將區(qū)間[0，T]劃分為:0=t0＜t1＜···＜tN=T，Δt=為時間步長，其中N為正整數(shù).同樣定義

另外關于等參有限元的詳細介紹可見文[9-10]，此處不再詳細介紹.現(xiàn)在我們用k次Lagrange等參有限元對區(qū)域Ω進行剖分，Jh為一族正則的等參有限元剖分，Ω的近似區(qū)域為Ωh=其中T為剖分單元，記h為剖分單元的最大直徑.我們記ΠT為單元T上的插值算子，其具體定義可見文[9-10]，又由文[17]知，存在可逆映射Φh:Ωh→Ω，其逆為則有Φh|T:T→，且同理，有Φh:→X.定義Πh為整個Ωh區(qū)域上的插值算子，對則有

由此引入(Ωh)的有限維子空間

及)的有限維子空間

由文[17]，我們可以得到如下三個引理.

引理2.1設Jh為一族正則的等參有限元剖分，用J(Φh)表示映射Φh的Jacobi行列式，則存在一個與h無關的常數(shù)C，使得

引理2.2假設v∈C0(∩Hk+1(Ω)，令則存在一個與h無關的常數(shù)C，然后有

引理2.3設0≤m≤k+1，則范數(shù)‖vh‖Hm(Ωh)和是等價的.

3.半離散問題的誤差估計

問題(1.1)的變分問題為，求u:[0，T](Ω)，使得

則問題(3.1)對應的半離散逼近格式為：求uh:[0，T]→Vh，滿足

定理3.1問題(3.2)有唯一解.

證設是空間Vh的一組基，則uh可以表示為

其中

顯然(3.3)式是關于未知函數(shù)α(t)的線性常微分方程組，當給定初值α(0)時，由常微分方程理論知(3.3)式存在唯一解α(t)，從而半離散問題(3.2)存在唯一解uh(X，t).

定理3.2設u和uh是問題(3.1)和問題(3.2)的解，f∈L2(0，T，L2(Ω))，u∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，ut∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，并且ut，?ut，?u有界，則有如下估計

證首先我們引入一個穩(wěn)態(tài)問題，即尋求輔助函數(shù)χh∈Vh，使得

令u°Φh-uh=u°Φh-χh+χh-uh=θ+η，其中θ=u°Φh-χh，η=χh-uh.將(3.1)式改寫為

(3.5)式減去(3.2)式得

其中G1=(?χh，t，?vh)-(?ut，?(vh°))，G2=(?χh，?vh)-(?u，?(vh°))，G3=.

在(3.5)式中令vh=η，則左端為

同理

將(3.8)-(3.11)式代入(3.5)式，則有

將(3.12)式從0到t積分，可得

利用Gronwall引理，存在常數(shù)C，使如下估計式成立

對于輔助函數(shù)χh，因為Πh(u°Φh)∈Vh，且滿足(?(Πh(u°Φh))，ωh)=(?(u°Φh)，ωh)，?ωh∈Vh.所以我們取χh=Πh(u°Φh)，由引理2.2有

又θt=ut°Φh-Πh(ut°Φh)，類似地有

應用引理2.3即可得到(3.4)式，定理證畢.

4.全離散問題的誤差估計

現(xiàn)在我們采用向后歐拉差分格式構造問題(3.1)的全離散格式，目的是求解初邊值問題的真解u(x，t)在節(jié)點tn，n=1，2，...N處的近似值.對于[0，T]上的任意光滑函數(shù)φ，定義φn=

與問題(3.1)對應的的全離散逼近格式為:求Un∈Vh，n=0，1，...N，使得

在(3.1)式中令t=tn，可得

定理4.1問題(4.1)有唯一解.

證記則全離散問題(4.1)可以等價的表示為:求Un∈Vh，n=0，1，···N，使得

又

從而A()是Vh上的正定雙線性型，易證A()是Vh上的連續(xù)雙線性泛函，而且對于已知的Un－1，F(xiàn)()是Vh上的連續(xù)線性泛函.于是由Lax-Milgram定理知，方程(4.3)即問題(4.1)存在唯一的解Un∈Vh，n=0，1，...N.

定理4.2設un和Un是問題(4.2)和問題(4.1)的解，f∈L2(0，T，L2(Ω))，u∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，ut∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，utt∈L2(0，T，H1(Ω))，并且?u有界，則對任意的1≤n≤N，有如下估計

證此處同樣引入輔助函數(shù)使得

記un°Φh-Un=un°Φh-Wn+Wn-Un=θn+ηn，其中θn=un°Φh-Wn，ηn=Wn-Un.將(4.2)式改寫為

(4.5)式減去(4.1)式，可得

然后，在(4.6)式中令vh=ηn，則有

對于(4.7)式左端，有

同理

結合(4.7)-(4.13)式，可得

(4.14)式兩端同乘以2Δt，并對n從1到m求和，有

則由離散的Gronwall引理可得

因此

又注意到?η0=η0=0，則結合(4.16)-(4.20)式，對任意的1≤n≤N，有

最后由引理2.3及三角不等式即可得到(4.4)式，定理4.2得證.

5.數(shù)值算例

為了驗證理論分析的正確性，我們首先考慮問題(1.1)，其中

可以容易驗證其真解為

然后為了便于數(shù)值計算，我們選用二次Lagrange等參元.對空間區(qū)域Ω沿x軸和y軸方向剖分成M×M(M=2，4，8，···)份，采用向后歐拉格式對時間區(qū)域進行離散，其中如圖5.1所示是一個4×4的二次等參元網(wǎng)格剖分圖.

圖5.1 4×4網(wǎng)格圖

圖5.2和圖5.3分別給出了t=0.1，網(wǎng)格剖分為16×16時問題(1.1)的真解和問題(4.1)的有限元解.表5.1給出了在不同網(wǎng)格剖分下的誤差和收斂階數(shù)，從表5.1中可以看出當網(wǎng)格步長h→0時，收斂階為O(h2)，這和我們前面的理論估計是一致的.

表5.1 t=0.1時的逼近結果

圖5.2 t=0.1時真解u

圖5.3 t=0.1時有限元解U