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        一類具有病毒變異的隨機(jī)SEIR傳染病模型的滅絕性與平穩(wěn)分布

        2021-06-30 00:09:22杜金姬秦闖亮陳海波李秋英
        應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:正數(shù)感染者傳染病

        杜金姬,秦闖亮,陳海波,李秋英

        (1.信陽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南信陽464000;2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南長沙410075;3.黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南駐馬店463000)

        1.引言

        人們一直在使用動力學(xué)方法來研究傳染病的傳播,并預(yù)測每次抵達(dá)流行病的趨勢[1-5].如果在傳染病的傳播過程中出現(xiàn)突變,很容易導(dǎo)致疾病失控.例如禽流感病毒(H7N9)、乙型肝炎及其他疾病.因此,研究遺傳變異病毒的過程有助于了解疾病和控制疾病的傳播.最近,文[6]中研究了一類具有病毒變異的SEIR傳染病模型的動力學(xué)行為.另外,實際生活中任何事物都受到環(huán)境波動的影響.因此,研究環(huán)境噪音對于疾病的影響是十分必要的[7-9].本文在文[6]模型的基礎(chǔ)上加入隨機(jī)擾動,提出隨機(jī)SEIR傳染病模型:

        模型(1.1)中,總?cè)丝贜被分成了五部分S,E,I1,I2,R且N=S+E+I1+I2+R.S,E,I1,I2,R分別表示t時刻易感者,潛伏者,病毒變異前的感染者,病毒變異后的感染者,康復(fù)者,μ為總?cè)丝诔錾?,d表示自然死亡率,β1為病毒變異前感染個體的感染率,β2為病毒變異后感染個體的感染率,K表示環(huán)境容納量,δ為病毒變異前的感染者變成病毒變異后的感染者的比率,α表示是病毒變異前潛伏個體成為感染個體的系數(shù),k1為病毒變異前感染者的恢復(fù)率,k2為病毒變異后感染者恢復(fù)率.參數(shù)μ,d,K,β1,β2是正常數(shù),δ,α,k1,k2為非負(fù)常數(shù).Bi(t)(i=1,2,3,4,5)是定義在一個完備概率空間(Ω,F(xiàn),{F}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,{F}t≥0滿足非降和右連續(xù),0(i=1,2,3,4,5)表示白噪音強(qiáng)度.

        在模型(1.1)中,總?cè)丝贜(t)滿足

        注意到變量s,e,i1,i2,r滿足關(guān)系r=1-s-e-i1-i2,我們可以忽略模型(1.2)的第五個方程探索簡化模型

        其中初始值(s(0),e(0),i1(0),i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)<1.

        2.全局正解的存在唯一性

        為了研究系統(tǒng)(1.3)的動力學(xué)行為,我們首先證明系統(tǒng)存在全局正解.

        定理2.1對于任意的初值(s(0),e(0),i1(0),i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)<1,當(dāng)t>0時,模型(1.3)存在唯一正解(s(t),e(t),i1(t),i2(t))并且以概率1位于內(nèi).

        證因為模型(1.3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件,則對任意初值(s(0),e(0),i1(0),i2(0))∈,存在一個t∈[0,τe)上的唯一局部正解(s(t),e(t),i1(t),i2(t))∈,其中τe為停時.為了證明解是全局的,我們僅需證明τe=∞a.s.為此,設(shè)k0>0充分大,使s(0),e(0),i1(0),i2(0)位于區(qū)間內(nèi).對每個整數(shù)k≥k0,定義停時

        記inf?=∞(?表示空集).明顯地,τk隨著k→∞不斷增加.令因此τ∞≤τea.s.如果能證明τ∞=∞a.s.則τe=∞a.s.并且對所有的t≥0,(s(t),e(t),i1(t),i2(t))∈a.s.也就是需要證明τ∞=∞a.s.如果不成立,那么存在一對常數(shù)T>0和ε∈(0,1)使得P{τ∞≤T}≥ε.因此,存在一個數(shù)k1≥k0使得對所有的k≥k1,成立

        定義一個C2-函數(shù)V:→R+如下:

        其中

        因為r=1-s-e-i1-i2,所以

        因此我們有

        對(2.2)兩邊從0到τk∧T積分并取期望得

        令Ωk={τk≤T},k≥k1及由(2.1)式,有P(Ωk)≥ε.注意到對任意ω∈Ωk,都存在s(τk,ω),e(τk,ω),i1(τk,ω),i2(τk,ω)等于或k.因此

        由(2.3)和(2.4)式,我們有

        其中1Ωk(ω)是Ωk(ω)的特征函數(shù).

        令k→∞,則有

        矛盾.顯然有τ∞=∞.定理得證.

        3.疾病的滅絕性

        本節(jié)我們討論系統(tǒng)(1.3)中疾病的滅絕性.

        定理3.1對任意的初值(s(0),e(0),i1(0),i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)<1,若條件

        同時成立,則(e(t),i1(t),i2(t))指數(shù)收斂于(0,0,0)a.s.即疾病滅絕,其中

        證定義一個可微函數(shù)V:

        其中θ1,θ2是待定正數(shù).根據(jù)公式及模型(1.3),得

        其中

        由(3.1)式,存在正數(shù)m使得

        同時成立.因此有m<k1+δ+μ,且及m<α+μ,且及m<k2+μ,且≤-m+k2+μ同時成立,則可取

        因此有

        其中

        由強(qiáng)大數(shù)定律得

        因此,

        證畢.

        4.平穩(wěn)分布及遍歷性

        本節(jié)基于Khasminskii理論和Lyapunov函數(shù)法研究模型存在遍歷平穩(wěn)分布的條件,首先給出所需引理.

        令X(t)是定義在d維Euclidean空間Ed上的齊Markov過程,并可有如下的隨機(jī)微分方程來描述:

        對應(yīng)的擴(kuò)散矩陣為

        引理4.1[10]如果存在一個有規(guī)則邊界Γ的有界域D?Ed,并且:

        (i)存在一個正數(shù)M,使得

        (ii)存在一個非負(fù)C2函數(shù)V,使得LV對任意的x∈EdD是負(fù)的.則Markov過程X(t)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布π(·).

        定理4.1設(shè)是系統(tǒng)(1.3)滿足初始條件及s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)<1的解.若條件

        成立,則系統(tǒng)(1.3)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布π(·).

        證定義正定函數(shù)V

        類似地,

        因此,

        其中

        定義緊子集D:

        其中

        且ψi∈(0,1)足夠小滿足下列條件:

        那么

        其中

        下面我們證明LV恒負(fù).

        情況1 如果(s,e,i1,i2)∈D1,由(4.1)及(4.3)得

        情況2 如果(s,e,i1,i2)∈D2,由(4.1)、(4.2)及(4.4)得

        情況3 如果(s,e,i1,i2)∈D3,由(4.1)及(4.5)得

        情況4 如果(s,e,i1,i2)∈D4,由(4.1)及(4.6)得

        情況5 如果(s,e,i1,i2)∈D5,由(4.1)及(4.7)得

        情況6 如果(s,e,i1,i2)∈D6,由(4.1)及(4.8)得

        定義

        顯然對任意(s,e,i1,i2)∈D,有LV≤ζ<0.另外,存在正數(shù)

        使得

        由引理4.1知,定理4.1結(jié)論成立.

        5.數(shù)值模擬和結(jié)論

        本節(jié)中我們通過數(shù)值模擬說明結(jié)果的正確性.

        圖5.1中取s(0)=0.35,e(0)=0.25,i1(0)=0.15,i2(0)=0.1,μ=0.1,β1=0.0005,β2=0.0016,k1=0.0666,k2=0.1428,δ=0.05,α=0.04,σ1=0.31,σ2=0.2,σ3=0.22,σ4=σ5=0.2,則M1=0.04805<m≈0.2424,滿足定理3.1的條件,由定理的結(jié)論可知疾病將滅絕.

        圖5.1 受感染個體滅絕的時間時序圖

        圖5.2中取s(0)=0.45,e(0)=0.2,i1(0)=0.15,i2(0)=0.1,μ=0.01,β1=0.06,β2=1,k1=0.0222,k2=0.01428,δ=0.1,α=0.1,σ1=σ2=σ3=σ4=σ5=0.02,則滿足定理4.1的條件,則系統(tǒng)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布.

        圖5.2 模型(1.3)的解s(t),e(t),i1(t),i1(t)及其密度函數(shù)圖

        本文應(yīng)用隨機(jī)分析的方法研究了一類高維隨機(jī)簡化比例傳染病模型,得到疾病滅絕和系統(tǒng)正解存在唯一遍歷平穩(wěn)分布的充分條件,對模型的研究更加有利于控制疾病的傳播.

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