亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        求解Helmholtz方程的無(wú)網(wǎng)格重心插值配點(diǎn)法

        2021-06-30 00:07:54楊苗苗葛永斌
        應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:等距波數(shù)范數(shù)

        楊苗苗,葛永斌

        (寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,寧夏銀川750021)

        1.引言

        Helmholtz方程是一個(gè)橢圓型偏微分方程,代表了波動(dòng)方程與時(shí)間無(wú)關(guān)的解.這個(gè)方程模擬了各種各樣的物理現(xiàn)象.其中包括:振動(dòng)分析、水波傳播、聲波散射、電磁散射、以及雷達(dá)散射等問(wèn)題.隨著Helmholtz方程被廣泛地應(yīng)用在工程和科學(xué)領(lǐng)域的研究中,該方程本身的復(fù)雜特性給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了巨大困難,特別是對(duì)于變波數(shù)和大波數(shù)問(wèn)題的有效數(shù)值計(jì)算,雖然其數(shù)值解法有很多,但都需要進(jìn)一步提高計(jì)算精度和計(jì)算效率,以適應(yīng)實(shí)際復(fù)雜大規(guī)模問(wèn)題的求解.所以,對(duì)Helmholtz方程的高效精確數(shù)值求解方法的研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

        無(wú)網(wǎng)格法[1]是近年來(lái)興起的一種新型、高效的數(shù)值計(jì)算方法.它基于點(diǎn)的近似思想來(lái)構(gòu)造近似函數(shù),適用于分析各類具有大梯度、奇異性等特殊性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題.目前發(fā)展的無(wú)網(wǎng)格方法包括無(wú)單元Galerkin法[2]和無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法[3]等.對(duì)于無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法,重心插值配點(diǎn)法就是其中的一種.重心插值配點(diǎn)法包括重心Lagrange插值法和重心有理插值法,是指未知函數(shù)的近似函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的重心型插值,是一種依賴于偏微分方程的強(qiáng)形式的配點(diǎn)法.該數(shù)值方法具有易于理解,思想結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,計(jì)算精度高,便于編程的優(yōu)點(diǎn).近年來(lái),劉婷和馬文濤[4]采用重心Lagrange插值配點(diǎn)法求解了二維電報(bào)方程,得到了一種高效的數(shù)值方法.王彩珍等[5]利用重心插值配點(diǎn)法,構(gòu)造了二維非線性橢圓型方程所對(duì)應(yīng)的離散方法,得到了一種計(jì)算效率更高的數(shù)值解法.

        對(duì)于Helmholtz方程的求解,近年來(lái)研究者們提出了很多無(wú)網(wǎng)格方法,如李鵬等[6]直接利用最小二乘法建立系統(tǒng)的變分公式,推導(dǎo)了大波數(shù)Helmholtz問(wèn)題的加權(quán)無(wú)網(wǎng)格公式.何锃等[7]通過(guò)使用加權(quán)正交基函數(shù)構(gòu)造了改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘法,并結(jié)合拉格朗日乘子法離散Dirichlet邊界條件,推導(dǎo)了求解該方程的無(wú)網(wǎng)格加權(quán)最小二乘法.陳黃鑫和邱偉峰[8]提出了一種求解大波數(shù)Helmholtz方程的一階系統(tǒng)最小二乘法,并利用一個(gè)非平凡分解來(lái)解決對(duì)偶的一階系統(tǒng)最小二乘法問(wèn)題.楊子樂(lè)等[9]利用無(wú)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)MIP法的d適應(yīng)性和移動(dòng)最小二乘法來(lái)構(gòu)造近似函數(shù),給出了求解Helmholtz方程的兩種計(jì)算方法.李瑩等[10]采用無(wú)網(wǎng)格局部徑向基點(diǎn)插值法,將徑向基函數(shù)耦合多項(xiàng)式基函數(shù)作為近似函數(shù),克服了無(wú)網(wǎng)格法中場(chǎng)函數(shù)在計(jì)算中的冗余性.Assari等[11]將局部支撐薄板樣條的離散配點(diǎn)法近似化為一類具有自由形狀參數(shù)的徑向基函數(shù)法,用一種特殊的非等距Gauss Legendre求積法來(lái)計(jì)算出現(xiàn)的對(duì)數(shù)型奇異積分,發(fā)展了一種求解具有對(duì)數(shù)積分方程的無(wú)網(wǎng)格法.李美香等[12]將三角函數(shù)作為基函數(shù),并在局部支持域內(nèi)構(gòu)造了一種形函數(shù),研究了帶有邊界層問(wèn)題和波傳播問(wèn)題的Helmholtz方程.張偉和丁睿[13]通過(guò)引入全局徑向基函數(shù)和正定緊支徑向基函數(shù)構(gòu)造了求解Helmholtz方程的Galerkin型的無(wú)網(wǎng)格方法,使得求解方法有效且具有高精度.屈文鎮(zhèn)等[14]發(fā)展了一種新的局部基本解方法,與傳統(tǒng)的基本解法相比,該方法根據(jù)節(jié)點(diǎn)將計(jì)算域劃分為若干重疊子域后得到了稀疏的帶狀矩陣,可以求解大波數(shù)Helmholtz問(wèn)題.陳林沖和李小林[15]基于無(wú)網(wǎng)格和無(wú)邊界分析,利用Burton-Miller公式提出了一種無(wú)邊界方法,該無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)所有的波數(shù)都能求出唯一解,并且只涉及到邊界節(jié)點(diǎn),還可以處理特大波數(shù)下的Helmholtz問(wèn)題.

        本文針對(duì)如下一維Helmholtz方程:

        其中[a,b]是求解域,u(x)是關(guān)于x的未知函數(shù).k(x)表示波數(shù),可以是常數(shù),也可以是關(guān)于x的函數(shù).f(x)是源項(xiàng).定義Dirichlet邊界條件為

        借助Chebyshev插值節(jié)點(diǎn)和三種測(cè)試節(jié)點(diǎn),運(yùn)用重心Lagrange插值基函數(shù)和重心有理插值基函數(shù)推導(dǎo)了求解該類方程的兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法.該重心插值方法理論簡(jiǎn)單,需要的插值節(jié)點(diǎn)少,最后得到的離散矩陣處理方便,不僅可以計(jì)算大波數(shù)問(wèn)題,還可以計(jì)算變波數(shù)問(wèn)題.具有推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單,計(jì)算結(jié)果精度高和穩(wěn)定性好等的優(yōu)點(diǎn).主要內(nèi)容如下:第二節(jié)推導(dǎo)一維重心Lagrange插值和重心有理插值的計(jì)算公式和一些簡(jiǎn)化矩陣的理論知識(shí).第三節(jié)推導(dǎo)計(jì)算一維Helmholtz方程的兩種插值配點(diǎn)法及其離散矩陣.第四節(jié)給出一些測(cè)試問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果,并與一些文[19-21]中結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,最后給出本文的結(jié)論.

        2.重心插值公式

        在區(qū)間[a,b]上插入n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi,則有a=x0<x1<x2<···<xn=b,設(shè)未知函數(shù)u(x)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值ui=u(xi),i=0,1,···,n,則Lagrange多項(xiàng)式插值公式可表示為:

        其中Li(x)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù),具體形式為:

        定義重心Lagrange插值函數(shù)的權(quán)重為:

        此時(shí),插值基函數(shù)(2.2)式可變?yōu)?

        將(2.5)代入(2.1)式,得:

        則上式被稱作改進(jìn)的Lagrange插值公式.相比Lagrange插值公式,上式在插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)目增加時(shí),計(jì)算量減少很多,由O(n2)變?yōu)镺(n).

        利用(2.6)式插值常數(shù)1,即給定一組節(jié)點(diǎn)為(xi,1),i=0,1,···,n,得:.

        化簡(jiǎn)后可得:

        將(2.7)代入(2.6)式中可得:

        則上式被稱為重心Lagrange插值公式[16],相比式(2.6),式(2.8)在保持相同計(jì)算量O(n)的同時(shí),還能有效地克服Runge現(xiàn)象.

        重心有理插值和重心Lagrange插值相類似,重心有理插值即是將Lagrange函數(shù)換為有理函數(shù)進(jìn)行插值.下面我們構(gòu)造重心有理插值基函數(shù).

        首先,選擇一個(gè)正整數(shù)d,且0≤d≤n.對(duì)于節(jié)點(diǎn)xi,i=0,1,···,n-d,選擇d+1個(gè)節(jié)點(diǎn)(xi,ui),(xi+1,ui+1),···,(xi+d,ui+d)后,我們利用重心Lagrange插值多項(xiàng)式的形式,構(gòu)造

        然后,根據(jù)pi(x)構(gòu)造一個(gè)權(quán)函數(shù)

        最后,利用pi(x)和λi(x)構(gòu)造出重心有理插值函數(shù)

        利用常數(shù)1的Lagrange插值公式,有

        由此可得

        將(2.11)代入(2.9)中可得重心有理插值公式:

        則上式被稱為重心有理插值公式[17].需要說(shuō)明的一點(diǎn)是,文[17]中已經(jīng)證明式(2.13)構(gòu)造的有理插值的誤差階為O(hd+1).其中h是等距節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格步長(zhǎng).因此只要選擇合適的參數(shù)d,式(2.13)就可達(dá)到更高的插值精度,從而得到更小的誤差.

        從重心Lagrange插值權(quán)函數(shù)的表達(dá)式(2.4)和重心有理插值權(quán)函數(shù)的表達(dá)式(2.10)能夠看出,插值權(quán)的選取跟節(jié)點(diǎn)的分布有關(guān).因此我們考慮了三種不同的節(jié)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行函數(shù)插值和數(shù)據(jù)測(cè)試,它們分別是隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)和Chebyshev節(jié)點(diǎn).由于在進(jìn)行具體的程序計(jì)算時(shí),隨機(jī)節(jié)點(diǎn)和等距節(jié)點(diǎn)可直接調(diào)用命令,因此,這部分只給出Chebyshev節(jié)點(diǎn)的計(jì)算公式:

        第一類Chebyshev節(jié)點(diǎn):(Chebyshev I)

        第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn):(Chebyshev II)

        需要說(shuō)明的是,對(duì)于兩類Chebyshev節(jié)點(diǎn)的公式,其定義區(qū)間為[-1,1],當(dāng)針對(duì)一般的區(qū)間[a,b]時(shí),利用區(qū)間的坐標(biāo)變換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

        微分矩陣最初是在研究Chebyshev擬譜方法[18]時(shí)提出的,重心插值微分矩陣能夠直接獲得Helmholtz方程中未知函數(shù)在計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù),因此,微分矩陣是重心插值配點(diǎn)法求解里非常重要的一部分.

        由式(2.8),函數(shù)的重心Lagrange插值公式可表示為:

        通過(guò)對(duì)比我們可以看出,兩種重心插值公式的根本區(qū)別是權(quán)函數(shù)的不同.不難發(fā)現(xiàn),重心有理插值除了必要的計(jì)算外,還需選取參數(shù)d.除此之外,兩種重心插值法在形式上是一致的.因此,利用(2.16)和(2.17)式,函數(shù)在節(jié)點(diǎn)xj(j=1,2,···,n)處的m階導(dǎo)數(shù)可以分別表示為:

        寫成矩陣的形式為

        3.Helmholtz方程的離散

        方法I重心Lagrange插值方法

        將重心Lagrange插值公式(2.16)代入到式(1.1)中,可得:

        設(shè)xj,j=1,2,···,n,為給定的插值節(jié)點(diǎn),令上式方程在所有xj上都成立,則有

        注意到Li(xj)=δij,利用重心插值微分矩陣,則方程(3.2)可寫為矩陣形式:

        進(jìn)一步可寫為:

        將式(2.16)代入到式(1.2)中,可得:

        其中,分別表示n階單位矩陣的第一行和第n行,g1,g2分別為具體的值.聯(lián)立求解方程(3.4)和(3.5),即可求得在重心Lagrange插值公式下插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值ui,回代入式(2.16)中并利用測(cè)試節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算可得本文方法I的數(shù)值解u(x).

        方法II重心有理插值方法

        同理,將重心有理插值公式(2.17)代入到式(1.1)中,可得:

        4.數(shù)值算例

        在本節(jié)中,我們將兩種重心插值配點(diǎn)法應(yīng)用于幾個(gè)測(cè)試問(wèn)題中以證明本文方法的有效性和準(zhǔn)確性.我們給出了包括大波數(shù)和變波數(shù)Helmholtz方程的數(shù)值算例,采用本文方法進(jìn)行計(jì)算并與文[19-21]中所得的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較.其中L∞范數(shù)誤差的定義如下給出:

        上式中ui和uei分別代表數(shù)值解和精確解.Nt是檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù).

        問(wèn)題1[19-20]:

        考慮如下非齊次大波數(shù)Helmholtz方程

        其中邊界條件為:

        該問(wèn)題的精確解為:

        首先,由于方法II在進(jìn)行計(jì)算中需要優(yōu)先選擇參數(shù)d,并且0≤d≤N.其中N是插值點(diǎn)個(gè)數(shù).因此表1給出當(dāng)Nt=30,k=10時(shí)不同d和N下問(wèn)題1中方法II的L∞范數(shù)誤差.其中Nt是檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù),并且插值節(jié)點(diǎn)的類型為第二類切比雪夫點(diǎn)(Chebyshev II),測(cè)試節(jié)點(diǎn)也為第二類切比雪夫點(diǎn).由數(shù)值結(jié)果我們可以看出,隨著插值點(diǎn)數(shù)N的增大,當(dāng)d越接近于N,方法II的計(jì)算結(jié)果精度越高,誤差越小.因此在本文剩余算例關(guān)于方法II的計(jì)算中,我們統(tǒng)一選取d=N-1.這樣既保證了方法II具有更高的精度,又得到了更小的計(jì)算誤差.

        表1 當(dāng)Nt=30,k=10時(shí)不同d和N下問(wèn)題1中本文方法II的L∞范數(shù)誤差

        其次,表2給出了當(dāng)Nt=N,k=10時(shí)四種插值節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果可以得出對(duì)于四種插值節(jié)點(diǎn):隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)、Chebyshev I和Chebyshev II節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō),隨機(jī)插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果很差;等距節(jié)點(diǎn)的結(jié)果一般;Chebyshev I節(jié)點(diǎn)的結(jié)果遠(yuǎn)不如Chebyshev II節(jié)點(diǎn),并且Chebyshev II節(jié)點(diǎn)的精度最高、穩(wěn)定性最好、計(jì)算誤差最小.因此對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)的選擇,我們對(duì)于本文剩余算例中的表格和圖都默認(rèn)選擇Chebyshev II節(jié)點(diǎn),簡(jiǎn)記為Chebyshev節(jié)點(diǎn).此外對(duì)于兩種插值方法:重心Lagrange插值法和重心有理插值法來(lái)說(shuō),所得的計(jì)算結(jié)果相差不大,即精度一樣,穩(wěn)定性一樣,誤差量級(jí)一樣并且L∞范數(shù)誤差也近似相等.

        表2 當(dāng)Nt=N,k=10時(shí)四種插值節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的范數(shù)誤差

        然后,表3給出了當(dāng)Nt=50,k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果我們可以得出對(duì)于三種測(cè)試節(jié)點(diǎn):隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)和Chebyshev節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō),所得的誤差量級(jí)一樣,并且誤差也相差不大.此外對(duì)于兩種插值方法來(lái)說(shuō),所得的計(jì)算結(jié)果也相差不大.

        表3 當(dāng)Nt=50,k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

        接著,表4給出了當(dāng)N=24,k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果我們可以得出兩種重心插值方法隨著檢測(cè)點(diǎn)數(shù)Nt的變化,所得的誤差量級(jí)不變,并且L∞范數(shù)誤差也相差不大.也就是說(shuō)檢測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)于本文所提方法的誤差影響不大,因此在剩余算例的計(jì)算中,我們可以取任意合理的檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù).

        表4 當(dāng)N=24,k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

        最后,表5給出了當(dāng)Nt=200,k=1時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[19]和文[20]中方法計(jì)算L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明當(dāng)N=20時(shí),本文所提兩種方法的誤差量級(jí)均為O(10-15),而文[19-20]中的誤差量級(jí)僅僅只達(dá)到O(10-5).而當(dāng)N=160時(shí)本文所提方法的誤差量級(jí)均為O(10-13),而文[19-20]中的誤差量級(jí)分別為O(10-8)和O(10-12).另外,需要說(shuō)明是,盡管本文所提方法的計(jì)算精度會(huì)隨著插值點(diǎn)數(shù)N的增加而減小,但本文方法的誤差量級(jí)仍然要高于文[19-20]中所提方法.此外,與有限差分法相比,無(wú)網(wǎng)格重心插值配點(diǎn)法并不意味著插值節(jié)點(diǎn)數(shù)越多,所得的計(jì)算結(jié)果會(huì)越好,有時(shí)候我們僅僅可能只用很少的插值節(jié)點(diǎn)便可得到更好的數(shù)值結(jié)果.表6給出了當(dāng)Nt=200,k=1000時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的計(jì)算結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文[20]中所提方法.因此本文方法更適合求解大波數(shù)的Helmholtz問(wèn)題.

        表5 當(dāng)Nt=200,k=1時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

        表6 當(dāng)Nt=200,k=1000時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

        問(wèn)題1在Nt=24,Nt=N,k=10時(shí)隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b),Chebyshev I點(diǎn)(c)及Chebyshev II點(diǎn)(d)的四種插值節(jié)點(diǎn)圖可參見圖1.由圖可得:隨機(jī)點(diǎn)不規(guī)則的分布在區(qū)間內(nèi),等距點(diǎn)均勻分布在區(qū)間內(nèi),兩類Chebyshev點(diǎn)在端點(diǎn)處分布點(diǎn)數(shù)較多,中間分布點(diǎn)數(shù)相對(duì)較少.隨后,在Nt=200,k=1000,N=160時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖2.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的很好.

        圖1 問(wèn)題1在N=24,Nt=N,k=10時(shí)隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b),Chebyshev I點(diǎn)(c)及Chebyshev II點(diǎn)(d)的插值節(jié)點(diǎn)圖

        圖2 問(wèn)題1在Nt=200,k=1000,N=160時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

        問(wèn)題2[20]:

        考慮如下非齊次變波數(shù)Helmholtz方程

        其中邊界條件為:

        該問(wèn)題的精確解為:

        表7給出了當(dāng)Nt=100,k(x)=時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明當(dāng)N=8時(shí)本文所提兩種方法的誤差量級(jí)均為O(10-6),而文[20]中的誤差量級(jí)為O(10-4).而當(dāng)N=64時(shí)本文所提方法的誤差量級(jí)為O(10-14)或O(10-15),而文[20]中的誤差量級(jí)為O(10-10).表8給出了當(dāng)Nt=200,k(x)=時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的計(jì)算結(jié)果要優(yōu)于文[20]中所提方法.因此本文方法更適合求解變波數(shù)的Helmholtz問(wèn)題.

        表7 當(dāng)Nt=100,k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

        表7 當(dāng)Nt=100,k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

        N文[20]隨機(jī)節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)Chebyshev節(jié)點(diǎn)方法I方法II方法I方法II方法I方法II 81.610(-4)1.175(-6)1.195(-6)1.194(-6)1.194(-6)1.198(-6)1.198(-6)161.695(-6)2.887(-15)3.997(-15)2.887(-15)3.997(-15)2.776(-15)3.997(-15)321.335(-8)6.772(-15)4.996(-15)6.772(-15)4.996(-15)6.772(-15)4.996(-15)64 1.011(-10)4.219(-14)8.573(-15)4.208(-14)8.704(-15)4.186(-14)8.704(-15)

        表8 當(dāng)Nt=200,k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

        表8 當(dāng)Nt=200,k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

        N文[20]隨機(jī)節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)Chebyshev節(jié)點(diǎn)方法I方法II方法I方法II方法I方法II 85.563(-4)2.046(-6)2.047(-6)2.048(-6)2.048(-6)2.048(-6)2.048(-6)166.045(-6)1.221(-14)1.366(-14)1.221(-14)1.399(-14)1.221(-14)1.399(-14)324.377(-8)2.676(-14)7.105(-15)2.676(-14)7.105(-15)2.676(-14)7.105(-15)64 3.028(-10)5.596(-14)1.993(-13)5.584(-14)1.993(-13)5.584(-14)1.988(-13)

        問(wèn)題2在Nt=200,k(x)=N=64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖3.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合得非常好.

        圖3 問(wèn)題2在Nt=200,k(x)==64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

        問(wèn)題3[21]:

        考慮如下齊次Helmholtz方程

        其中邊界條件為:

        該問(wèn)題的精確解為:

        表9給出了當(dāng)Nt=100,b=0.64時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)及不同波數(shù)k=0.5N下本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的L∞范數(shù)誤差.需要說(shuō)明的是,文[21]中只給出了一些數(shù)值解和精確解的吻合圖而沒(méi)有給出相應(yīng)的數(shù)據(jù),因此表9只給了本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果而沒(méi)有和文[21]的對(duì)比數(shù)據(jù).計(jì)算結(jié)果表明,即使k隨著N的變化而變化,但是本文的兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法仍然精度很高,并且誤差值很小,也就是說(shuō)本文重心無(wú)網(wǎng)格方法更逼近于精確解.

        表9 當(dāng)Nt=100,b=0.64時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)及不同波數(shù)k=0.5N下問(wèn)題3的L∞范數(shù)誤差

        問(wèn)題3在N=40,k=0.5N,Nt=100,b=0.64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖4.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的非常好.

        圖4 問(wèn)題3在N=40,k=0.5N,Nt=100,b=0.64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

        問(wèn)題4:

        考慮如下齊次Helmholtz方程

        其中邊界條件為:

        該問(wèn)題的精確解為:

        表10給出了當(dāng)Nt=100,k=24時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果可以看出,該區(qū)間上本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的誤差量級(jí)最高為O(10-6),盡管誤差量級(jí)與前面幾個(gè)算例比起來(lái)不高,但是穩(wěn)定性仍然很好.

        表10 當(dāng)Nt=100,k=24時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題4的L∞范數(shù)誤差

        問(wèn)題4在Nt=100,k=24,N=56時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖5.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的非常好.

        圖5 問(wèn)題4在Nt=100,k=24,N=56時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a),等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

        5.結(jié)論

        可以得出以下結(jié)論:

        1)兩種重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度相同,誤差也幾乎相同,因此對(duì)于一維Helmholtz方程來(lái)說(shuō),兩種方法的結(jié)果相差不大.

        2)在插值節(jié)點(diǎn)的選取上,數(shù)值結(jié)果表明:隨機(jī)節(jié)點(diǎn)很差,等距節(jié)點(diǎn)一般,兩種Chebyshev節(jié)點(diǎn)結(jié)果很好,并且Chebyshev II要優(yōu)于Chebyshev I.在測(cè)試節(jié)點(diǎn)的選取上,三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果幾乎沒(méi)有差異.此外,隨著測(cè)試節(jié)點(diǎn)數(shù)量的變化,本文方法的誤差幾乎沒(méi)有變化.也就是說(shuō),測(cè)試節(jié)點(diǎn)的數(shù)量對(duì)我們的數(shù)值結(jié)果影響不大.

        3)與文[19-21]中所提方法相比,本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法使用較少的節(jié)點(diǎn)即可獲得高精度的數(shù)值結(jié)果,并保持良好的穩(wěn)定性.并且數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果進(jìn)一步表明,本文方法具有所需配點(diǎn)數(shù)少、精度高、誤差小和效率高等優(yōu)點(diǎn).此外,本文方法不僅可以計(jì)算大波數(shù)問(wèn)題,還可以計(jì)算變波數(shù)問(wèn)題,并且其數(shù)值結(jié)果要優(yōu)于文[19-21]中方法結(jié)果.

        4)該重心插值方法可推廣到二維和三維Helmholtz方程的求解中.現(xiàn)正在進(jìn)行此項(xiàng)研究.

        猜你喜歡
        等距波數(shù)范數(shù)
        聲場(chǎng)波數(shù)積分截?cái)嗖〝?shù)自適應(yīng)選取方法
        一種基于SOM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中藥材分類識(shí)別系統(tǒng)
        擬凸Hartogs域到復(fù)空間形式的全純等距嵌入映射的存在性
        基于加權(quán)核范數(shù)與范數(shù)的魯棒主成分分析
        矩陣酉不變范數(shù)H?lder不等式及其應(yīng)用
        保持算子束部分等距的映射
        等距延拓以及相關(guān)問(wèn)題
        一類具有準(zhǔn)齊次核的Hilbert型奇異重積分算子的范數(shù)及應(yīng)用
        重磁異常解釋的歸一化局部波數(shù)法
        基于聲場(chǎng)波數(shù)譜特征的深度估計(jì)方法
        在线观看欧美精品| 亚洲精品中文字幕熟女| 丰满少妇av一区二区三区| 亚洲精品国产一区二区免费视频| 久久黄色国产精品一区视频| 免费视频成人片在线观看| 美丽人妻被按摩中出中文字幕| 中文字幕有码在线视频| 免费一区二区三区av| 亚洲无毛成人在线视频| 亚洲在线视频免费视频| 特黄aaaaaaaaa毛片免费视频| 少妇私密会所按摩到高潮呻吟| 欧美猛男军警gay自慰| 被驯服人妻中文字幕日本| 亚洲熟女一区二区三区不卡| 国产久久久自拍视频在线观看| 淫片一区二区三区av| 免费看美女被靠到爽的视频| 男人激烈吮乳吃奶视频免费 | 亚洲性无码av在线| 四虎影视在线观看2413| 亚洲乱在线播放| 国产激情一区二区三区成人| 天天躁日日躁狠狠躁欧美老妇小说| 一本大道久久东京热无码av| 国产精品亚洲欧美云霸高清| 国产高清精品在线二区| 国产一品二品精品在线| 亚洲欧美综合区自拍另类| 亚洲国产成人精品福利在线观看| 18禁国产美女白浆在线| 亚洲黄色大片在线观看| 午夜性刺激免费看视频| 国产精品激情| 人妻少妇偷人精品无码| 国产精品美女自在线观看| 亚洲国产精品久久婷婷| 亚洲人精品亚洲人成在线| 无码精品一区二区三区超碰| 国产黄色污一区二区三区|