楊苗苗，葛永斌

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏銀川750021)

1.引言

Helmholtz方程是一個(gè)橢圓型偏微分方程，代表了波動(dòng)方程與時(shí)間無(wú)關(guān)的解.這個(gè)方程模擬了各種各樣的物理現(xiàn)象.其中包括：振動(dòng)分析、水波傳播、聲波散射、電磁散射、以及雷達(dá)散射等問(wèn)題.隨著Helmholtz方程被廣泛地應(yīng)用在工程和科學(xué)領(lǐng)域的研究中，該方程本身的復(fù)雜特性給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了巨大困難，特別是對(duì)于變波數(shù)和大波數(shù)問(wèn)題的有效數(shù)值計(jì)算，雖然其數(shù)值解法有很多，但都需要進(jìn)一步提高計(jì)算精度和計(jì)算效率，以適應(yīng)實(shí)際復(fù)雜大規(guī)模問(wèn)題的求解.所以，對(duì)Helmholtz方程的高效精確數(shù)值求解方法的研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

無(wú)網(wǎng)格法[1]是近年來(lái)興起的一種新型、高效的數(shù)值計(jì)算方法.它基于點(diǎn)的近似思想來(lái)構(gòu)造近似函數(shù)，適用于分析各類具有大梯度、奇異性等特殊性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題.目前發(fā)展的無(wú)網(wǎng)格方法包括無(wú)單元Galerkin法[2]和無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法[3]等.對(duì)于無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，重心插值配點(diǎn)法就是其中的一種.重心插值配點(diǎn)法包括重心Lagrange插值法和重心有理插值法，是指未知函數(shù)的近似函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的重心型插值，是一種依賴于偏微分方程的強(qiáng)形式的配點(diǎn)法.該數(shù)值方法具有易于理解，思想結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算精度高，便于編程的優(yōu)點(diǎn).近年來(lái)，劉婷和馬文濤[4]采用重心Lagrange插值配點(diǎn)法求解了二維電報(bào)方程，得到了一種高效的數(shù)值方法.王彩珍等[5]利用重心插值配點(diǎn)法，構(gòu)造了二維非線性橢圓型方程所對(duì)應(yīng)的離散方法，得到了一種計(jì)算效率更高的數(shù)值解法.

對(duì)于Helmholtz方程的求解，近年來(lái)研究者們提出了很多無(wú)網(wǎng)格方法，如李鵬等[6]直接利用最小二乘法建立系統(tǒng)的變分公式，推導(dǎo)了大波數(shù)Helmholtz問(wèn)題的加權(quán)無(wú)網(wǎng)格公式.何锃等[7]通過(guò)使用加權(quán)正交基函數(shù)構(gòu)造了改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘法，并結(jié)合拉格朗日乘子法離散Dirichlet邊界條件，推導(dǎo)了求解該方程的無(wú)網(wǎng)格加權(quán)最小二乘法.陳黃鑫和邱偉峰[8]提出了一種求解大波數(shù)Helmholtz方程的一階系統(tǒng)最小二乘法，并利用一個(gè)非平凡分解來(lái)解決對(duì)偶的一階系統(tǒng)最小二乘法問(wèn)題.楊子樂(lè)等[9]利用無(wú)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)MIP法的d適應(yīng)性和移動(dòng)最小二乘法來(lái)構(gòu)造近似函數(shù)，給出了求解Helmholtz方程的兩種計(jì)算方法.李瑩等[10]采用無(wú)網(wǎng)格局部徑向基點(diǎn)插值法，將徑向基函數(shù)耦合多項(xiàng)式基函數(shù)作為近似函數(shù)，克服了無(wú)網(wǎng)格法中場(chǎng)函數(shù)在計(jì)算中的冗余性.Assari等[11]將局部支撐薄板樣條的離散配點(diǎn)法近似化為一類具有自由形狀參數(shù)的徑向基函數(shù)法，用一種特殊的非等距Gauss Legendre求積法來(lái)計(jì)算出現(xiàn)的對(duì)數(shù)型奇異積分，發(fā)展了一種求解具有對(duì)數(shù)積分方程的無(wú)網(wǎng)格法.李美香等[12]將三角函數(shù)作為基函數(shù)，并在局部支持域內(nèi)構(gòu)造了一種形函數(shù)，研究了帶有邊界層問(wèn)題和波傳播問(wèn)題的Helmholtz方程.張偉和丁睿[13]通過(guò)引入全局徑向基函數(shù)和正定緊支徑向基函數(shù)構(gòu)造了求解Helmholtz方程的Galerkin型的無(wú)網(wǎng)格方法，使得求解方法有效且具有高精度.屈文鎮(zhèn)等[14]發(fā)展了一種新的局部基本解方法，與傳統(tǒng)的基本解法相比，該方法根據(jù)節(jié)點(diǎn)將計(jì)算域劃分為若干重疊子域后得到了稀疏的帶狀矩陣，可以求解大波數(shù)Helmholtz問(wèn)題.陳林沖和李小林[15]基于無(wú)網(wǎng)格和無(wú)邊界分析，利用Burton-Miller公式提出了一種無(wú)邊界方法，該無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)所有的波數(shù)都能求出唯一解，并且只涉及到邊界節(jié)點(diǎn)，還可以處理特大波數(shù)下的Helmholtz問(wèn)題.

本文針對(duì)如下一維Helmholtz方程:

其中[a，b]是求解域，u(x)是關(guān)于x的未知函數(shù).k(x)表示波數(shù)，可以是常數(shù)，也可以是關(guān)于x的函數(shù).f(x)是源項(xiàng).定義Dirichlet邊界條件為

借助Chebyshev插值節(jié)點(diǎn)和三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)，運(yùn)用重心Lagrange插值基函數(shù)和重心有理插值基函數(shù)推導(dǎo)了求解該類方程的兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法.該重心插值方法理論簡(jiǎn)單，需要的插值節(jié)點(diǎn)少，最后得到的離散矩陣處理方便，不僅可以計(jì)算大波數(shù)問(wèn)題，還可以計(jì)算變波數(shù)問(wèn)題.具有推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果精度高和穩(wěn)定性好等的優(yōu)點(diǎn).主要內(nèi)容如下:第二節(jié)推導(dǎo)一維重心Lagrange插值和重心有理插值的計(jì)算公式和一些簡(jiǎn)化矩陣的理論知識(shí).第三節(jié)推導(dǎo)計(jì)算一維Helmholtz方程的兩種插值配點(diǎn)法及其離散矩陣.第四節(jié)給出一些測(cè)試問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果，并與一些文[19-21]中結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，最后給出本文的結(jié)論.

2.重心插值公式

在區(qū)間[a，b]上插入n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi，則有a=x0＜x1＜x2＜···＜xn=b，設(shè)未知函數(shù)u(x)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值ui=u(xi)，i=0，1，···，n，則Lagrange多項(xiàng)式插值公式可表示為:

其中Li(x)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，具體形式為:

令

定義重心Lagrange插值函數(shù)的權(quán)重為:

此時(shí)，插值基函數(shù)(2.2)式可變?yōu)?

將(2.5)代入(2.1)式，得:

則上式被稱作改進(jìn)的Lagrange插值公式.相比Lagrange插值公式，上式在插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)目增加時(shí)，計(jì)算量減少很多，由O(n2)變?yōu)镺(n).

利用(2.6)式插值常數(shù)1，即給定一組節(jié)點(diǎn)為(xi，1)，i=0，1，···，n，得:.

化簡(jiǎn)后可得:

將(2.7)代入(2.6)式中可得:

則上式被稱為重心Lagrange插值公式[16]，相比式(2.6)，式(2.8)在保持相同計(jì)算量O(n)的同時(shí)，還能有效地克服Runge現(xiàn)象.

重心有理插值和重心Lagrange插值相類似，重心有理插值即是將Lagrange函數(shù)換為有理函數(shù)進(jìn)行插值.下面我們構(gòu)造重心有理插值基函數(shù).

首先，選擇一個(gè)正整數(shù)d，且0≤d≤n.對(duì)于節(jié)點(diǎn)xi，i=0，1，···，n-d，選擇d+1個(gè)節(jié)點(diǎn)(xi，ui)，(xi+1，ui+1)，···，(xi+d，ui+d)后，我們利用重心Lagrange插值多項(xiàng)式的形式，構(gòu)造

然后，根據(jù)pi(x)構(gòu)造一個(gè)權(quán)函數(shù)

最后，利用pi(x)和λi(x)構(gòu)造出重心有理插值函數(shù)

利用常數(shù)1的Lagrange插值公式，有

由此可得

將(2.11)代入(2.9)中可得重心有理插值公式：

則上式被稱為重心有理插值公式[17].需要說(shuō)明的一點(diǎn)是，文[17]中已經(jīng)證明式(2.13)構(gòu)造的有理插值的誤差階為O(hd+1).其中h是等距節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格步長(zhǎng).因此只要選擇合適的參數(shù)d，式(2.13)就可達(dá)到更高的插值精度，從而得到更小的誤差.

從重心Lagrange插值權(quán)函數(shù)的表達(dá)式(2.4)和重心有理插值權(quán)函數(shù)的表達(dá)式(2.10)能夠看出，插值權(quán)的選取跟節(jié)點(diǎn)的分布有關(guān).因此我們考慮了三種不同的節(jié)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行函數(shù)插值和數(shù)據(jù)測(cè)試，它們分別是隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)和Chebyshev節(jié)點(diǎn).由于在進(jìn)行具體的程序計(jì)算時(shí)，隨機(jī)節(jié)點(diǎn)和等距節(jié)點(diǎn)可直接調(diào)用命令，因此，這部分只給出Chebyshev節(jié)點(diǎn)的計(jì)算公式:

第一類Chebyshev節(jié)點(diǎn):(Chebyshev I)

第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn):(Chebyshev II)

需要說(shuō)明的是，對(duì)于兩類Chebyshev節(jié)點(diǎn)的公式，其定義區(qū)間為[-1，1]，當(dāng)針對(duì)一般的區(qū)間[a，b]時(shí)，利用區(qū)間的坐標(biāo)變換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

微分矩陣最初是在研究Chebyshev擬譜方法[18]時(shí)提出的，重心插值微分矩陣能夠直接獲得Helmholtz方程中未知函數(shù)在計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)，因此，微分矩陣是重心插值配點(diǎn)法求解里非常重要的一部分.

由式(2.8)，函數(shù)的重心Lagrange插值公式可表示為：

通過(guò)對(duì)比我們可以看出，兩種重心插值公式的根本區(qū)別是權(quán)函數(shù)的不同.不難發(fā)現(xiàn)，重心有理插值除了必要的計(jì)算外，還需選取參數(shù)d.除此之外，兩種重心插值法在形式上是一致的.因此，利用(2.16)和(2.17)式，函數(shù)在節(jié)點(diǎn)xj(j=1，2，···，n)處的m階導(dǎo)數(shù)可以分別表示為:

寫成矩陣的形式為

3.Helmholtz方程的離散

方法I重心Lagrange插值方法

將重心Lagrange插值公式(2.16)代入到式(1.1)中，可得:

設(shè)xj，j=1，2，···，n，為給定的插值節(jié)點(diǎn)，令上式方程在所有xj上都成立，則有

注意到Li(xj)=δij，利用重心插值微分矩陣，則方程(3.2)可寫為矩陣形式：

進(jìn)一步可寫為：

將式(2.16)代入到式(1.2)中，可得:

其中，分別表示n階單位矩陣的第一行和第n行，g1，g2分別為具體的值.聯(lián)立求解方程(3.4)和(3.5)，即可求得在重心Lagrange插值公式下插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值ui，回代入式(2.16)中并利用測(cè)試節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算可得本文方法I的數(shù)值解u(x).

方法II重心有理插值方法

同理，將重心有理插值公式(2.17)代入到式(1.1)中，可得:

4.數(shù)值算例

在本節(jié)中，我們將兩種重心插值配點(diǎn)法應(yīng)用于幾個(gè)測(cè)試問(wèn)題中以證明本文方法的有效性和準(zhǔn)確性.我們給出了包括大波數(shù)和變波數(shù)Helmholtz方程的數(shù)值算例，采用本文方法進(jìn)行計(jì)算并與文[19-21]中所得的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較.其中L∞范數(shù)誤差的定義如下給出：

上式中ui和uei分別代表數(shù)值解和精確解.Nt是檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù).

問(wèn)題1[19－20]:

考慮如下非齊次大波數(shù)Helmholtz方程

其中邊界條件為:

該問(wèn)題的精確解為:

首先，由于方法II在進(jìn)行計(jì)算中需要優(yōu)先選擇參數(shù)d，并且0≤d≤N.其中N是插值點(diǎn)個(gè)數(shù).因此表1給出當(dāng)Nt=30，k=10時(shí)不同d和N下問(wèn)題1中方法II的L∞范數(shù)誤差.其中Nt是檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)，并且插值節(jié)點(diǎn)的類型為第二類切比雪夫點(diǎn)(Chebyshev II)，測(cè)試節(jié)點(diǎn)也為第二類切比雪夫點(diǎn).由數(shù)值結(jié)果我們可以看出，隨著插值點(diǎn)數(shù)N的增大，當(dāng)d越接近于N，方法II的計(jì)算結(jié)果精度越高，誤差越小.因此在本文剩余算例關(guān)于方法II的計(jì)算中，我們統(tǒng)一選取d=N-1.這樣既保證了方法II具有更高的精度，又得到了更小的計(jì)算誤差.

表1 當(dāng)Nt=30，k=10時(shí)不同d和N下問(wèn)題1中本文方法II的L∞范數(shù)誤差

其次，表2給出了當(dāng)Nt=N，k=10時(shí)四種插值節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果可以得出對(duì)于四種插值節(jié)點(diǎn):隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)、Chebyshev I和Chebyshev II節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，隨機(jī)插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果很差;等距節(jié)點(diǎn)的結(jié)果一般;Chebyshev I節(jié)點(diǎn)的結(jié)果遠(yuǎn)不如Chebyshev II節(jié)點(diǎn)，并且Chebyshev II節(jié)點(diǎn)的精度最高、穩(wěn)定性最好、計(jì)算誤差最小.因此對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)的選擇，我們對(duì)于本文剩余算例中的表格和圖都默認(rèn)選擇Chebyshev II節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)記為Chebyshev節(jié)點(diǎn).此外對(duì)于兩種插值方法:重心Lagrange插值法和重心有理插值法來(lái)說(shuō)，所得的計(jì)算結(jié)果相差不大，即精度一樣，穩(wěn)定性一樣，誤差量級(jí)一樣并且L∞范數(shù)誤差也近似相等.

表2 當(dāng)Nt=N，k=10時(shí)四種插值節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的范數(shù)誤差

然后，表3給出了當(dāng)Nt=50，k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果我們可以得出對(duì)于三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)：隨機(jī)節(jié)點(diǎn)、等距節(jié)點(diǎn)和Chebyshev節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，所得的誤差量級(jí)一樣，并且誤差也相差不大.此外對(duì)于兩種插值方法來(lái)說(shuō)，所得的計(jì)算結(jié)果也相差不大.

表3 當(dāng)Nt=50，k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

接著，表4給出了當(dāng)N=24，k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果我們可以得出兩種重心插值方法隨著檢測(cè)點(diǎn)數(shù)Nt的變化，所得的誤差量級(jí)不變，并且L∞范數(shù)誤差也相差不大.也就是說(shuō)檢測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)于本文所提方法的誤差影響不大，因此在剩余算例的計(jì)算中，我們可以取任意合理的檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù).

表4 當(dāng)N=24，k=10時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

最后，表5給出了當(dāng)Nt=200，k=1時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[19]和文[20]中方法計(jì)算L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明當(dāng)N=20時(shí)，本文所提兩種方法的誤差量級(jí)均為O(10－15)，而文[19-20]中的誤差量級(jí)僅僅只達(dá)到O(10－5).而當(dāng)N=160時(shí)本文所提方法的誤差量級(jí)均為O(10－13)，而文[19-20]中的誤差量級(jí)分別為O(10－8)和O(10－12).另外，需要說(shuō)明是，盡管本文所提方法的計(jì)算精度會(huì)隨著插值點(diǎn)數(shù)N的增加而減小，但本文方法的誤差量級(jí)仍然要高于文[19-20]中所提方法.此外，與有限差分法相比，無(wú)網(wǎng)格重心插值配點(diǎn)法并不意味著插值節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，所得的計(jì)算結(jié)果會(huì)越好，有時(shí)候我們僅僅可能只用很少的插值節(jié)點(diǎn)便可得到更好的數(shù)值結(jié)果.表6給出了當(dāng)Nt=200，k=1000時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的計(jì)算結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文[20]中所提方法.因此本文方法更適合求解大波數(shù)的Helmholtz問(wèn)題.

表5 當(dāng)Nt=200，k=1時(shí)三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

表6 當(dāng)Nt=200，k=1000時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題1的L∞范數(shù)誤差

問(wèn)題1在Nt=24，Nt=N，k=10時(shí)隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)，Chebyshev I點(diǎn)(c)及Chebyshev II點(diǎn)(d)的四種插值節(jié)點(diǎn)圖可參見圖1.由圖可得：隨機(jī)點(diǎn)不規(guī)則的分布在區(qū)間內(nèi)，等距點(diǎn)均勻分布在區(qū)間內(nèi)，兩類Chebyshev點(diǎn)在端點(diǎn)處分布點(diǎn)數(shù)較多，中間分布點(diǎn)數(shù)相對(duì)較少.隨后，在Nt=200，k=1000，N=160時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖2.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的很好.

圖1 問(wèn)題1在N=24，Nt=N，k=10時(shí)隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)，Chebyshev I點(diǎn)(c)及Chebyshev II點(diǎn)(d)的插值節(jié)點(diǎn)圖

圖2 問(wèn)題1在Nt=200，k=1000，N=160時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

問(wèn)題2[20]:

考慮如下非齊次變波數(shù)Helmholtz方程

其中邊界條件為:

該問(wèn)題的精確解為:

表7給出了當(dāng)Nt=100，k(x)=時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明當(dāng)N=8時(shí)本文所提兩種方法的誤差量級(jí)均為O(10－6)，而文[20]中的誤差量級(jí)為O(10－4).而當(dāng)N=64時(shí)本文所提方法的誤差量級(jí)為O(10－14)或O(10－15)，而文[20]中的誤差量級(jí)為O(10－10).表8給出了當(dāng)Nt=200，k(x)=時(shí)本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法與文[20]中方法L∞范數(shù)誤差的比較.結(jié)果表明本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的計(jì)算結(jié)果要優(yōu)于文[20]中所提方法.因此本文方法更適合求解變波數(shù)的Helmholtz問(wèn)題.

表7 當(dāng)Nt=100，k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

表7 當(dāng)Nt=100，k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

N文[20]隨機(jī)節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)Chebyshev節(jié)點(diǎn)方法I方法II方法I方法II方法I方法II 81.610(-4)1.175(-6)1.195(-6)1.194(-6)1.194(-6)1.198(-6)1.198(-6)161.695(-6)2.887(-15)3.997(-15)2.887(-15)3.997(-15)2.776(-15)3.997(-15)321.335(-8)6.772(-15)4.996(-15)6.772(-15)4.996(-15)6.772(-15)4.996(-15)64 1.011(-10)4.219(-14)8.573(-15)4.208(-14)8.704(-15)4.186(-14)8.704(-15)

表8 當(dāng)Nt=200，k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

表8 當(dāng)Nt=200，k(x)=時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題2的L∞范數(shù)誤差

N文[20]隨機(jī)節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)Chebyshev節(jié)點(diǎn)方法I方法II方法I方法II方法I方法II 85.563(-4)2.046(-6)2.047(-6)2.048(-6)2.048(-6)2.048(-6)2.048(-6)166.045(-6)1.221(-14)1.366(-14)1.221(-14)1.399(-14)1.221(-14)1.399(-14)324.377(-8)2.676(-14)7.105(-15)2.676(-14)7.105(-15)2.676(-14)7.105(-15)64 3.028(-10)5.596(-14)1.993(-13)5.584(-14)1.993(-13)5.584(-14)1.988(-13)

問(wèn)題2在Nt=200，k(x)=N=64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖3.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合得非常好.

圖3 問(wèn)題2在Nt=200，k(x)==64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

問(wèn)題3[21]:

考慮如下齊次Helmholtz方程

其中邊界條件為:

該問(wèn)題的精確解為:

表9給出了當(dāng)Nt=100，b=0.64時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)及不同波數(shù)k=0.5N下本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的L∞范數(shù)誤差.需要說(shuō)明的是，文[21]中只給出了一些數(shù)值解和精確解的吻合圖而沒(méi)有給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，因此表9只給了本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果而沒(méi)有和文[21]的對(duì)比數(shù)據(jù).計(jì)算結(jié)果表明，即使k隨著N的變化而變化，但是本文的兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法仍然精度很高，并且誤差值很小，也就是說(shuō)本文重心無(wú)網(wǎng)格方法更逼近于精確解.

表9 當(dāng)Nt=100，b=0.64時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)及不同波數(shù)k=0.5N下問(wèn)題3的L∞范數(shù)誤差

問(wèn)題3在N=40，k=0.5N，Nt=100，b=0.64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖4.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的非常好.

圖4 問(wèn)題3在N=40，k=0.5N，Nt=100，b=0.64時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

問(wèn)題4:

考慮如下齊次Helmholtz方程

其中邊界條件為:

該問(wèn)題的精確解為:

表10給出了當(dāng)Nt=100，k=24時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下本文兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法的L∞范數(shù)誤差.由數(shù)值結(jié)果可以看出，該區(qū)間上本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格方法的誤差量級(jí)最高為O(10－6)，盡管誤差量級(jí)與前面幾個(gè)算例比起來(lái)不高，但是穩(wěn)定性仍然很好.

表10 當(dāng)Nt=100，k=24時(shí)不同測(cè)試節(jié)點(diǎn)下問(wèn)題4的L∞范數(shù)誤差

問(wèn)題4在Nt=100，k=24，N=56時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖參見圖5.由圖可得三種測(cè)試點(diǎn)下的精確解和數(shù)值解吻合的非常好.

圖5 問(wèn)題4在Nt=100，k=24，N=56時(shí)方法I與方法II在隨機(jī)點(diǎn)(a)，等距點(diǎn)(b)和Chebyshev測(cè)試點(diǎn)(c)下精確解與數(shù)值解圖

5.結(jié)論

可以得出以下結(jié)論:

1)兩種重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度相同，誤差也幾乎相同，因此對(duì)于一維Helmholtz方程來(lái)說(shuō)，兩種方法的結(jié)果相差不大.

2)在插值節(jié)點(diǎn)的選取上，數(shù)值結(jié)果表明:隨機(jī)節(jié)點(diǎn)很差，等距節(jié)點(diǎn)一般，兩種Chebyshev節(jié)點(diǎn)結(jié)果很好，并且Chebyshev II要優(yōu)于Chebyshev I.在測(cè)試節(jié)點(diǎn)的選取上，三種測(cè)試節(jié)點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果幾乎沒(méi)有差異.此外，隨著測(cè)試節(jié)點(diǎn)數(shù)量的變化，本文方法的誤差幾乎沒(méi)有變化.也就是說(shuō)，測(cè)試節(jié)點(diǎn)的數(shù)量對(duì)我們的數(shù)值結(jié)果影響不大.

3)與文[19-21]中所提方法相比，本文所提兩種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法使用較少的節(jié)點(diǎn)即可獲得高精度的數(shù)值結(jié)果，并保持良好的穩(wěn)定性.并且數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果進(jìn)一步表明，本文方法具有所需配點(diǎn)數(shù)少、精度高、誤差小和效率高等優(yōu)點(diǎn).此外，本文方法不僅可以計(jì)算大波數(shù)問(wèn)題，還可以計(jì)算變波數(shù)問(wèn)題，并且其數(shù)值結(jié)果要優(yōu)于文[19-21]中方法結(jié)果.

4)該重心插值方法可推廣到二維和三維Helmholtz方程的求解中.現(xiàn)正在進(jìn)行此項(xiàng)研究.