劉 強(qiáng)，王明政，李 楠，李保超

(1.中國(guó)原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413；2.原興核技術(shù)有限公司，北京 102488)

池式鈉冷快堆堆本體環(huán)形柱域腔室內(nèi)具有較大自由液面，受到低頻地震激勵(lì)作用會(huì)發(fā)生晃動(dòng)，如何準(zhǔn)確計(jì)入堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件液-固邊界處的液體晃動(dòng)載荷，量化液體晃動(dòng)過(guò)程中對(duì)堆本體支承裙產(chǎn)生傾覆力矩，是當(dāng)前池式鈉冷快堆堆本體抗震試驗(yàn)研究的重點(diǎn)。

關(guān)于地震作用下的液體晃動(dòng)及相關(guān)動(dòng)力相似準(zhǔn)則的研究成果較多，如Abramson[1]、Ewart[2]、Bauer[3]、Lomen[4]、Kornecki[5]在假定容器為剛性結(jié)構(gòu)且流體不可穿透，流體無(wú)旋、無(wú)黏、不可壓，并忽略毛細(xì)作用和表面張力的前提下，采用勢(shì)流理論推導(dǎo)了流體域自由晃動(dòng)和受迫簡(jiǎn)諧晃動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式。Ibrahim[6]推導(dǎo)了多種形狀剛性容器內(nèi)液體晃動(dòng)的模態(tài)公式、波高公式和壓力公式并詳細(xì)介紹了液體晃動(dòng)數(shù)值計(jì)算的有限體積(VOF)法。Fujita等[7]推導(dǎo)了環(huán)形柱體域內(nèi)地震作用下液體線(xiàn)性晃動(dòng)的頻率、波高和壓力分布公式，通過(guò)正弦三波試驗(yàn)驗(yàn)證了液體線(xiàn)性晃動(dòng)的頻率和波高結(jié)果，研究了液體深度和環(huán)形柱體域內(nèi)外徑比值對(duì)晃動(dòng)頻率、晃動(dòng)波高和容器壁面壓力的影響。Frano等[8]建立了XADS反應(yīng)堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件的簡(jiǎn)化三維有限元模型，采用ALE算法計(jì)算了地震作用下鉛鉍介質(zhì)的晃動(dòng)頻率和晃動(dòng)載荷，并進(jìn)行了堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件的屈曲分析以評(píng)價(jià)晃動(dòng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)完整性。陳厚群等[9]于20世紀(jì)70～90年代對(duì)大型外浮頂儲(chǔ)油罐的抗震試驗(yàn)開(kāi)展了深入研究，提出了小變形范疇的動(dòng)力相似準(zhǔn)則，并基于此相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了儲(chǔ)油罐縮尺模型，開(kāi)展了該模型的正弦三波試驗(yàn)，進(jìn)一步深入探討了罐底翹離問(wèn)題。中國(guó)實(shí)驗(yàn)快堆堆本體抗震試驗(yàn)[10-11]采用了結(jié)構(gòu)彈性力和慣性力相似關(guān)系進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)以考慮液體脈沖效應(yīng)，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算評(píng)價(jià)了相似關(guān)系引起重力失真的影響。

可見(jiàn)，目前常用于分析地震作用下堆本體流固耦合問(wèn)題的三維有限元模型均大幅簡(jiǎn)化了堆本體結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致無(wú)法直接根據(jù)模型計(jì)算結(jié)果評(píng)價(jià)堆本體結(jié)構(gòu)的完整性。既有試驗(yàn)研究采用的動(dòng)力相似準(zhǔn)則或僅滿(mǎn)足液體晃動(dòng)的相似關(guān)系，或僅滿(mǎn)足堆本體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的相似關(guān)系。為確保堆本體抗震試驗(yàn)中流體對(duì)流效應(yīng)、脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的準(zhǔn)確性，保證重力、流體與固體慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力和結(jié)構(gòu)應(yīng)變的相似性，需發(fā)展更為適用的相似比模型，以更好地支撐堆本體的抗震試驗(yàn)研究。

在堆本體抗震試驗(yàn)中，為獲得準(zhǔn)確的流體對(duì)流效應(yīng)，避免重力失真問(wèn)題，同時(shí)獲得準(zhǔn)確的流體脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，本文基于控制方程的量綱分析法，根據(jù)固體結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程、流固界面邊界條件和環(huán)形柱域液體晃動(dòng)波高公式及壓力分布公式[6]建立同時(shí)滿(mǎn)足重力相似、流體與固體慣性力相似和結(jié)構(gòu)彈性力相似的堆本體地震動(dòng)力相似準(zhǔn)則，并確保結(jié)構(gòu)應(yīng)變嚴(yán)格相似，以滿(mǎn)足可能存在的堆本體失穩(wěn)破壞相似要求。

1 相似關(guān)系推導(dǎo)

首先給出固體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程：

(1)

式中：u為位移；ρ為密度；F為體力；θ為體應(yīng)變；λ、G為拉梅常數(shù)；t為時(shí)間；下標(biāo)s表示結(jié)構(gòu)相關(guān)變量。

us=uxi+uyj+uzk

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：ux、uy、uz為結(jié)構(gòu)位移在x、y、z方向上的分量；i、j、k為x、y、z方向上的基矢量；E為結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；μ為結(jié)構(gòu)材料的泊松比。

由式(1)～(3)可推導(dǎo)出無(wú)量綱表達(dá)式：

(8)

(9)

式中：L為幾何尺寸；a為加速度。

不可壓牛頓流體的動(dòng)力學(xué)基本方程為：

(10)

式中：v為流體速度；ρf為流體密度；g為重力加速度；p為流體壓強(qiáng)；ν為流體運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)。

v=vxi+vyj+vzk

(11)

p=pxi+pyj+pzk

(12)

式中：vx、vy、vz為流體速度在x、y、z方向上的分量；px、py、pz為流體壓強(qiáng)在x、y、z方向上的分量。由此可得到4個(gè)無(wú)量綱表達(dá)式：

(13)

式中，下標(biāo)f表示流體相關(guān)變量。

以上4個(gè)無(wú)量綱表達(dá)式分別代表流體的斯特勞哈爾數(shù)Sr、弗勞德數(shù)Fr、歐拉數(shù)Eu和雷諾數(shù)Re。

在流固交界面上滿(mǎn)足：

-p=(σij)n=λθ+2Gεij

(14)

(15)

式中：σij為應(yīng)力張量；εij為應(yīng)變張量；vn為速度矢量；下標(biāo)n表示流固界面的正法線(xiàn)方向。

可得無(wú)量綱表達(dá)式為：

(16)

(17)

由式(13)中π3和式(17)導(dǎo)出無(wú)量綱表達(dá)式：

(18)

由式(8)、(9)、(16)、(17)、(18)可推出如下獨(dú)立相似關(guān)系：重力相似關(guān)系、固體與流體慣性力相似關(guān)系、彈性力相似關(guān)系以及雷諾數(shù)相似關(guān)系：

(19)

(20)

(21)

(22)

考慮到堆容器中液態(tài)金屬鈉正常運(yùn)行溫度下的黏度較小，故在計(jì)算其地震晃動(dòng)波高時(shí)，可忽略流體的黏性，即模型流體與原型流體雷諾數(shù)相似的要求可放松。

選取模型尺寸L、時(shí)間t、流體密度ρ及重力加速度g為基本變量，獲得地震作用下準(zhǔn)確的堆本體液體晃動(dòng)響應(yīng)要求：

Sa=Sg=1

(23)

式中，S表示相似比。

同時(shí)為獲得地震作用下準(zhǔn)確的流體脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，要求流體與固體慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力和結(jié)構(gòu)應(yīng)變嚴(yán)格相似，即：

(24)

(25)

(26)

式中，Sε為應(yīng)變相似比。

將式(26)代入式(24)可獲得流體與固體密度的相似關(guān)系：

(27)

將式(9)、(17)、(18)、(26)、(27)代入式(25)可得：

(28)

(29)

Sσ=SESε=SLSρSa

(30)

用分離變量法求解描述液體線(xiàn)性晃動(dòng)問(wèn)題的Laplace方程可得液體晃動(dòng)的自振頻率：

(31)

(32)

將式(23)代入式(32)可獲得以下相似關(guān)系：

(33)

在地震作用下，堆本體內(nèi)液體的晃動(dòng)屬于受迫振動(dòng)。受簡(jiǎn)諧振動(dòng)激勵(lì)時(shí)，堆本體中具有自由液面的環(huán)形柱體域內(nèi)液體晃動(dòng)的波高公式為：

(34)

Sδ=Sus=SLf

(35)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)激勵(lì)下液體晃動(dòng)的壓力公式為：

ρg(z-h)

(36)

式中，z為z軸坐標(biāo)。由式(36)可得液體晃動(dòng)壓力的相似關(guān)系：

(37)

SpI=SρfSLSa

(38)

式中，pc、pI分別為動(dòng)水壓力和靜水壓力。

2 相似關(guān)系驗(yàn)證

為驗(yàn)證所選取相似準(zhǔn)則的合理性與準(zhǔn)確性，堆容器堆內(nèi)構(gòu)件驗(yàn)證模型的尺寸相似系數(shù)取為6，堆容器內(nèi)液體計(jì)算模型的尺寸相似系數(shù)取為7，建立堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件、堆容器內(nèi)液體的縮尺模型，對(duì)堆容器堆內(nèi)構(gòu)件縮尺模型進(jìn)行模態(tài)及反應(yīng)譜分析。

2.1 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件相似關(guān)系

驗(yàn)證計(jì)算中選取的主要相似系數(shù)列于表1，堆容器堆內(nèi)構(gòu)件計(jì)算模型如圖1所示。

表1 結(jié)構(gòu)相似系數(shù)Table 1 Structural similarity coefficient

圖1 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件計(jì)算模型剖視圖Fig.1 Section view of reactor vessel and reactor intervals computational model

2.2 堆容器內(nèi)液體晃動(dòng)相似關(guān)系

由于堆容器內(nèi)具有自由液面的液體主要集中于由堆內(nèi)支承上板、主容器筒體及堆內(nèi)屏蔽外鋼筒所圍成的環(huán)形柱域內(nèi)，因此堆容器內(nèi)液體晃動(dòng)相似驗(yàn)證采用簡(jiǎn)化模型。簡(jiǎn)化模型由內(nèi)筒、外筒及底板組成，內(nèi)外筒間為液體域，模型如圖2所示，液體晃動(dòng)驗(yàn)證計(jì)算中主要相似系數(shù)列于表2，計(jì)算模型尺寸列于表3，原型與縮尺模型的計(jì)算輸入?yún)?shù)列于表4。

圖2 堆容器內(nèi)液體計(jì)算模型示意圖Fig.2 Scheme of liquid computational model in reactor vessel

表2 液體晃動(dòng)計(jì)算中的主要相似系數(shù)Table 2 Similarity coefficient in liquid sloshing calculation

表3 液體晃動(dòng)計(jì)算模型尺寸參數(shù)Table 3 Dimensional parameter of liquid sloshing computational model

表4 液體晃動(dòng)模型數(shù)值計(jì)算輸入?yún)?shù)Table 4 Input parameter of liquid sloshing computational model

2.3 結(jié)果驗(yàn)證

2.3.1模態(tài)計(jì)算 在模態(tài)分析中，分別計(jì)算了原型與縮尺模型前1 100階固有頻率，兩者總有效質(zhì)量與模型總質(zhì)量的比值均大于97.8%。原型與縮尺模型主要模態(tài)的計(jì)算結(jié)果列于表5。

表5 原型與縮尺模型主要模態(tài)的計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculation result of main modal of prototype and scaled model

由表5可看出，原型與縮尺模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果符合相似關(guān)系，且兩者相同模態(tài)下有著基本一致的有效質(zhì)量占比，使得計(jì)算結(jié)果可信度較高。原型與縮尺模型第11、44及66階模態(tài)的振型對(duì)比示于圖3。

a、c、e——原型；b、d、f——縮尺模型a、b——第11階；c、d——第44階；c、d——第66階圖3 原型與縮尺模型模態(tài)振型對(duì)比Fig.3 Modal comparison between prototype and scaled model

由原型與縮尺模型的模態(tài)振型對(duì)比可看出兩者的振型一致。模型經(jīng)過(guò)相似關(guān)系縮尺后，模態(tài)振型保持不變，頻率按相似系數(shù)放大，由此可驗(yàn)證計(jì)算模型中所采用的相似準(zhǔn)則滿(mǎn)足動(dòng)力相似的要求。

2.3.2譜分析 分別對(duì)原型和縮尺模型進(jìn)行譜分析計(jì)算，得到譜分析計(jì)算結(jié)果。在譜分析中分別給出x、y和z3個(gè)方向上的加速度譜輸入，計(jì)算結(jié)果按照平方和開(kāi)平方(SRSS)方法進(jìn)行疊加?？s尺模型的譜輸入由原型中輸入經(jīng)過(guò)相似系數(shù)縮尺后得到。原型與縮尺模型地震響應(yīng)結(jié)果對(duì)比列于表6?？梢?jiàn)，原型與縮尺模型的Tresca應(yīng)力比基本上保持在2.785左右，與相似關(guān)系中的應(yīng)力相似系數(shù)Sσ=2.785 714相一致。由此可以得出縮尺模型譜分析結(jié)果與原型相比滿(mǎn)足動(dòng)力相似關(guān)系的要求。

表6 原型與縮尺模型譜分析的Tresca應(yīng)力對(duì)比Table 6 Tresca stress comparison between prototype and scaled model

2.3.3液體晃動(dòng)固有頻率 縮尺模型計(jì)算得到的液體1階、2階固有頻率如圖4所示，原型與縮尺模型液體晃動(dòng)頻率計(jì)算結(jié)果列于表7。

圖4 縮尺模型液體1階(a)、2階(b)晃動(dòng)頻率Fig.4 First (a) and second (b) liquid sloshing frequencies of scaled model

表7 液體晃動(dòng)頻率Table 7 Liquid sloshing frequency

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，數(shù)值計(jì)算得到的液體晃動(dòng)固有頻率比值與通過(guò)相似準(zhǔn)則計(jì)算得到的相似系數(shù)的差異分別為0.072%、0.222%，所選取液體晃動(dòng)固有頻率相似準(zhǔn)則合理。

2.3.4液體晃動(dòng)波高 進(jìn)行液體晃動(dòng)固有頻率、液體晃動(dòng)波高、液動(dòng)壓力、液體晃動(dòng)對(duì)支承處的傾覆力及傾覆力矩的數(shù)值計(jì)算中，相應(yīng)的材料及邊界參數(shù)均與表4一致，原型、縮尺模型施加的正弦波激勵(lì)頻率分別為0.186 4 Hz、0.493 5 Hz，兩種模型的計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)均為5個(gè)周期，獲得的液體晃動(dòng)波高如圖5所示。

圖5 原型及縮尺模型液體晃動(dòng)波高Fig.5 Liquid sloshing height of prototype and scaled model

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，縮尺模型液體晃動(dòng)波高乘以相似系數(shù)7得到的波高曲線(xiàn)與原型波高曲線(xiàn)整體趨勢(shì)及波動(dòng)范圍均有較好的一致性，由此可判斷波高相似準(zhǔn)則應(yīng)用于液體晃動(dòng)問(wèn)題是合理的。

2.3.5支座反力及力矩 液體晃動(dòng)問(wèn)題關(guān)心的是液體在晃動(dòng)過(guò)程中對(duì)容器根部產(chǎn)生的傾覆力矩，對(duì)比分析中提取在5個(gè)周期不同時(shí)刻容器底部中心處參考點(diǎn)的傾覆力矩，原型與縮尺模型支座裙的傾覆力矩如圖6所示。

圖6 原型及縮尺模型的傾覆力矩Fig.6 Overturning moment of prototype and scaled model

縮尺模型傾覆力矩乘以相似系數(shù)819.77得到的力矩-時(shí)間曲線(xiàn)與原型的整體趨勢(shì)及力矩有較好的一致性，可判斷傾覆力矩的相似系數(shù)應(yīng)用于液體晃動(dòng)問(wèn)題是合理的。

2.4 試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)應(yīng)用

根據(jù)相似關(guān)系要求，試驗(yàn)樣機(jī)模型結(jié)構(gòu)密度應(yīng)為原型結(jié)構(gòu)密度的2.93倍。為滿(mǎn)足相似關(guān)系對(duì)試驗(yàn)樣機(jī)質(zhì)量的要求，采用人工附加質(zhì)量的方式補(bǔ)足試驗(yàn)樣機(jī)重力及慣性力效應(yīng)，試驗(yàn)樣機(jī)設(shè)計(jì)擬采用鉛和碳鋼作為人工附加質(zhì)量材料，采用配重板的形式將附加質(zhì)量施加在樣機(jī)結(jié)構(gòu)上，并通過(guò)調(diào)整配重板與樣機(jī)結(jié)構(gòu)的連接形式以降低附加質(zhì)量對(duì)樣機(jī)結(jié)構(gòu)剛度的影響，配重板布置示于圖7。

圖7 縮尺模型配重板布置圖Fig.7 Layout plan for clump weight on scaled model

3 結(jié)論

本文采用不同的相似系數(shù)分別對(duì)堆本體抗震試驗(yàn)中所用到的堆容器堆內(nèi)構(gòu)件結(jié)構(gòu)及液體晃動(dòng)問(wèn)題的相似關(guān)系進(jìn)行了驗(yàn)證計(jì)算。根據(jù)相似關(guān)系的驗(yàn)證結(jié)果可得到如下結(jié)論。

1) 通過(guò)比例模型的分析計(jì)算驗(yàn)證了相似關(guān)系的合理性和準(zhǔn)確性。

2) 按照本文提出的相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)試驗(yàn)樣機(jī)可準(zhǔn)確計(jì)入液體晃動(dòng)效應(yīng)并反映真實(shí)堆本體模型的動(dòng)力特性及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3) 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件和堆容器內(nèi)液體按照相似準(zhǔn)則進(jìn)行縮尺后，可通過(guò)縮尺模型的抗震試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證本文的相似關(guān)系。