韓冬至 師萬軍

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質”，還指出“數(shù)學課程要通過學生的自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程、體會蘊含在其中的數(shù)學思想，遵循數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學的學術形態(tài)化為學生易于接受的教育形態(tài)”。數(shù)學教學的核心是概念教學，李邦河院士曾說：“數(shù)學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”數(shù)學概念的教學要關注生成過程，力求學生主動參與，合作探究，建構概念形成的思維框架。

讓學生主動探究，變被動學習為主動學習，把學習的權利交還給學生。那么教師應如何積極引導學生探究，設置合理的問題，讓數(shù)學教學更有效的落實核心素養(yǎng)呢？本文僅以《奇偶性》的教學為載體，談談基于問題驅動的數(shù)學學科能動課堂的建構與實施。

教材分析：《奇偶性》是人教版教材必修一第三章第二節(jié)的內(nèi)容，主要是結合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的主要性質之一，單調性是函數(shù)的“局部性質”，而奇偶性是函數(shù)的“整體性質”。與奇偶性一樣，奇偶性也是把圖象的對稱性（幾何特征）轉化為代數(shù)關系，并用嚴格的符號語言表示，溝通了形與數(shù)，實現(xiàn)從定性到定量的轉化。體現(xiàn)出數(shù)學概念逐漸抽象、嚴格化的過程，進一步讓學生體會對于數(shù)學一般概念的學習方法。在知識體系中本節(jié)起著承上啟下的作用，在已學單調性的基礎上，繼續(xù)研究函數(shù)的奇偶性，為日后研究函數(shù)的其他性質鋪設合適的認知臺階，使學生經(jīng)歷完整的學習過程，對“如何研究函數(shù)性質”有所感悟。

教學實例：

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引入課題

1.觀察：教師通過課件展示一組圖片：蝴蝶，雪花等，讓學生欣賞自然界中的對稱美。

2.操作：教師要求學生將A4紙對折兩次，使得折痕作為直角坐標系下的x軸和y軸，保持折疊的狀態(tài)下，在第一象限內(nèi)“用力”畫出一個函數(shù)的圖象，然后展開紙張，在第二象限內(nèi)描出所印的函數(shù)痕跡，請同學互相欣賞并觀察所畫函數(shù)圖象的特征。學生回答：雖然我們畫的函數(shù)圖象不同，但每一個函數(shù)圖象關于y軸對稱。

【設計意圖】

列舉生活現(xiàn)象，引導學生從實際生活出發(fā)，感受對稱性。學生自主折紙作畫，通過極為簡單的實驗教學，引導學生總結和歸納數(shù)學知識以及數(shù)學規(guī)律，準確把握知識的本質內(nèi)涵。

環(huán)節(jié)二：引導探究，概念生成

1.活動：教師布置學生畫出函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2-|x|的圖象并對圖象進行觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2.探究：以函數(shù)f（x）=x2為例，學生對圖象進行觀察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推廣到一般，f（-x）=x2=f（x）。學生相互補充：f（-x）=f（x）中的x可以取1，2，3等定義域中的任意數(shù)。

師：利用平面幾何知識，如何借助圖形刻畫函數(shù)的對稱關系？

生：任意x∈R，點P（x，f（x））與點P（-x，f（-x））關于y軸對稱。

師：函數(shù)f（x）=x2滿足f（-x）=f（x），對于其他函數(shù)是否也滿足這個特征？請同學們觀察自己的折紙圖形，在函數(shù)圖象上任意取點，從坐標角度進行驗證。

生：無論函數(shù)圖象是否相同，只要函數(shù)圖象關于y軸對稱，任意x與-x互為相反數(shù)，函數(shù)都滿足f（-x）=f（x）。

教師引導學生嘗試概括偶函數(shù)的定義及圖象特征，并回顧研究過程，體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究思路。

【設計意圖】本節(jié)課的主線是從形到數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象的學習過程，也希望學生運用這種研究思路，自主類比研究奇函數(shù)，特別是折紙中的函數(shù)圖象再現(xiàn)，既是對折紙實驗的呼應，又是對任意性的理解進行提升。

通過探究，學生對問題的認識有了突破性的進展，但學生所獲得的知識還是零散的，需要在教師的指導下對探究結果進行補充、整理，并用規(guī)范的數(shù)學語言進行概括。教師需要幫助學生搭建由“形”到“數(shù)”的思維橋梁，這樣能更貼近學生的思維和認知。

環(huán)節(jié)三：問題驅動，自主建構

1.活動：以函數(shù)f（x）=x和g（x）=1/x為例，類比研究偶函數(shù)定義的步驟和方法，教師布置學生以分組合作的方式探究奇函數(shù)的定義及性質。

2.探究：通過設置難度遞進的問題啟發(fā)引導學生探究奇函數(shù)的概念形成過程。

問題1 ：f（-1）=？f（1）=？，f（-2）=？f（2）=？，f（-3）=？f（3）=？

學生：f（-1）=-1，f（1）=1;f（-2）=-2，f（2）=2;f（-3）=-3，f（3）=3。

問題2 ：表格中x值互為相反數(shù)時，相應函數(shù)值有什么特點？

學生：表格中x值互為相反數(shù)時，相應函數(shù)值也互為相反數(shù)。

問題3：定義域內(nèi)任意x的取值互為相反數(shù)時是否也滿足這樣的特點？給出證明過程，并用符號語言精確描述這一特征。

學生：f（-x）=-x=-f（x）。

【設計意圖】問題是數(shù)學的心臟。在完成偶函數(shù)探究的基礎上，教師又設置了層次逐漸遞進的問題，進而啟發(fā)學生用類比的方法得到奇函數(shù)的定義。類比探究偶函數(shù)概念形成的過程，給學生布置活動任務，讓學生以小組合作的方式進行自主探究，在探究過程中讓學生體會數(shù)學概念學習的過程與方法，最后形成奇函數(shù)的概念。

環(huán)節(jié)四：概念應用，深化理解

教師激發(fā)學生的創(chuàng)造力，教師讓學生轉換角色，變身命題人，根據(jù)所學內(nèi)容，讓每位同學設計兩個函數(shù)，同桌互換并判斷所寫函數(shù)的奇偶性。

展示部分同學自編試題及判斷奇偶性的過程。

生1：自編函數(shù)f（x）=x3+2021x。

判斷過程：函數(shù)f（x）=x3+2021x的定義域為R。

因為任意x∈R，都有-x∈R，且

f（-x）=（-x）3+2021（-x）=-（x3+2021x）=-f（x），

所以函數(shù)f（x）=x3+2021x是奇函數(shù)。

生2：自編函數(shù)g（x）=2021。

判斷過程：函數(shù)g（x）=2021的定義域為R。

因為任意x∈R，都有-x∈R，且

g（-x）=2021=g（x），所以函數(shù)g（x）=2021是偶函數(shù)。

【設計意圖】學生能夠自編試題其實是一種自我反思意識的形成，學生反思意識的形成是一個由“被動”到“主動”、由“自發(fā)”到“自覺”、由“他控”到“自控”的過程。自編試題對學生來說有一定的難度，它需要學生真正理解和靈活應用數(shù)學概念，所以自編試題對學生來說是一種挑戰(zhàn)，但同時也能激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和增強學生學習數(shù)學的自信。

環(huán)節(jié)五：課堂小結，提煉升華

教師通過課件再次展示一組圖片：大興機場、圓明園萬方安和、精美的飾品等，讓學生欣賞生活中的對稱美，鼓勵學生將來把對稱性應用到工作中，設計出更多讓人驚嘆的建筑和作品。與課前導入呼應，讓學生再次感受到數(shù)學是美的，有效運用數(shù)學知識可以創(chuàng)造出更多的美。

學生針對本節(jié)課的學習過程進行課堂小結，有總結知識點和方法方面的，也有談學習過程感受的，其中一名學生說，通過本節(jié)課的學習知道了研究函數(shù)性質的辦法，特別期待對后續(xù)函數(shù)性質的學習。

【設計意圖】整堂課的探究過程所體現(xiàn)的由具體到抽象、由特殊到一般的思想方法，也是數(shù)學概念學習的基本思維和方法。學生在課堂小結時能夠從數(shù)、形兩個角度對函數(shù)的奇偶性有深刻的認識，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想。

教學思考：

本節(jié)課的整體設計是類比函數(shù)單調性的研究辦法構建相應的研究框架，先舉例一些函數(shù)圖象，給學生一定的直觀感受，通過觀察其幾何特征的共性，提出探究問題，把函數(shù)圖象的這種對稱性轉化為代數(shù)關系，再通過具體實例引導學生計算并得出取值規(guī)律，在此基礎上建立奇偶性的概念。設計主線是：具體函數(shù)——圖象特征（對稱性）——數(shù)量刻畫——符號語言——抽象定義——奇偶性判定。整個過程體現(xiàn)了從形到數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象的學習。奇偶性概念的本質屬性有兩個方面：形的特征和數(shù)的表示。前者是對函數(shù)幾何特征的圖形表述，也就是對稱性;后者表現(xiàn)為函數(shù)性質的數(shù)學符號語言的表示。單從奇偶性的定義內(nèi)容來看，具有一定的抽象性，對于學生而言不好理解，但函數(shù)性質的處理一般是由其圖象入手，通過圖象的直觀性體現(xiàn)函數(shù)的內(nèi)在性質，再通過對函數(shù)值的計算，把函數(shù)值外顯到坐標系中，由形到數(shù)，再由數(shù)到形，溝通形與數(shù)，實現(xiàn)從定性到定量的轉化，保證了學生的理解水平，并對此知識產(chǎn)生了更深刻的感悟。

1.情境合理，追求教學的自然質樸。

本節(jié)課的引入立足于生活中的常見現(xiàn)象，力求樸實自然，但簡樸中蘊含神奇的對稱;接著過渡到動手實驗環(huán)節(jié)，激發(fā)學生的學習興趣，親自感受創(chuàng)造對稱圖形?，F(xiàn)實世界情境和數(shù)學實驗情境完美的結合，引發(fā)學生挖掘其中的規(guī)律和本質，用數(shù)學的眼光去觀察，用數(shù)學的思維來思考。

2.問題驅動，順應學習的思維方式。

一堂好課必然會激發(fā)學生的求知欲，而問題是實現(xiàn)這個目標的催化劑。課堂的每一個問題的提出，都是學生思維活動的開始，本節(jié)課運用一系列的問題，以問題串的形式出現(xiàn)，由淺入深，由簡單到復雜，環(huán)環(huán)相扣，教師作為引導者，適當適時點撥、啟發(fā)、指導，問題的設置均在學生最近的發(fā)展區(qū)，學生能夠在已有知識體系的基礎上總結出概念的核心要素，將函數(shù)單調性的任意性遷移到本節(jié)課，順勢突破學生在本堂課學習中的難點。一系列問題串的設置自然承接課堂，教師的追問進一步提高學生的認知效果，使得整節(jié)課的教學流程清晰順暢，順應學生的思維方式。通過問題的驅動，使得學生的思維從“起車”到“加速”，走上“高速”，達到深度思維的學習。

3.能動探究，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

波利亞說：“學習東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富有成效的學習是自己去探索、去發(fā)現(xiàn)?！逼胀ǜ咧须A段的數(shù)學課程基于新課改的理論與實踐背景下進一步著力引導學生的深度學習、自主探究與合作交流相融合的學習方式。從不同視角下觀察學生、從不同范式下設計教學，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維以及對學習的自主性、批判性和遷移性。本節(jié)課老師大膽放手，把課堂交給學生，引導學生積極思考，主動交流，尊重學生的發(fā)言權和決定權，給學生充足的時間，讓學生清楚有效地表達自己的觀點，形成自己的理解力。學生通過對概念的探究，感悟數(shù)學知識的內(nèi)在本質，欣賞數(shù)學世界的無限風光。

新課標、新教材、新高考背景下的數(shù)學新授課教學應該關注學生的學習過程，尊重學生的認知水平，關注知識的衍生過程，合理設置問題，充分調動學生參與，體會概念生成過程。發(fā)展學生的思維，回歸數(shù)學理性，培養(yǎng)數(shù)學樂趣，是我們數(shù)學教學真正的價值追求。希望通過能動課堂的教學實踐培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。

編輯/李? ? 莉