熊 倩

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州363000）

統(tǒng)計收斂是一般收斂的推廣,它的思想可以追溯到Zygmund[1]的專著.1951年,Fast[2]和Steinhaus[3]基于正整數(shù)集的子集的漸近密度提出實數(shù)序列的統(tǒng)計收斂概念.直到?alát[4]的工作,特別是Fridy[5-6]的論文之后,關于統(tǒng)計收斂的研究開始變得活躍起來,越來越多研究者對它進行了推廣研究.特別是Di Maio 和Kocinac[7]于2008年提出了拓撲空間及一致空間中統(tǒng)計收斂的概念,并研究了它的性質及應用.此外,統(tǒng)計收斂也在數(shù)學其他分支中出現(xiàn),如：可和性理論[8],數(shù)論[9],三角級數(shù)[1],概率論[10],最優(yōu)化[11],測度論[12],逼近論[13]等,具有非常廣泛的應用價值.

理想收斂是統(tǒng)計收斂的推廣.Kostyrko 等[14]利用正整數(shù)集上理想的概念引入了序列的理想收斂,并在度量空間中研究了它們的相關性質.隨后?alát 等[15-16]將統(tǒng)計收斂的一些概念和結果推廣到理想收斂,并與可和性理論聯(lián)系起來.除了理想收斂之外,I*收斂也是統(tǒng)計收斂的有趣推廣.2005年,Lahiri等[17]將理想收斂和I*收斂的概念推廣到一般的拓撲空間中, 并研究了它們的一些性質. 其后Tripathy 和Hazari‐ka[18-20]從函數(shù)、收斂域等不同方面研究了理想收斂的相關性質.最近周先耕等[21]、林壽[22]研究了由理想收斂定義的一些拓撲空間以及在這些空間上的映射和相關性質.在過去20年里,許多學者在理想收斂和相關問題上做了大量工作,使其成為拓撲學和分析學中最活躍的研究課題之一[23].

最近,Hazarika[24]在第一可數(shù)的拓撲群中研究了序列理想收斂的若干運算性質.Das[23]證明了以下結果：設I是? 的一個可容理想,1)C(I)是l∞的閉線性子空間；2)其中l(wèi)∞為? 中全體有界序列的集合且賦予上確界范數(shù),C(I)和C(I*)分別為?中全體I收斂和I*收斂的有界序列.

網作為序列的推廣,在一般拓撲中具有重要意義[25].本文圍繞Hazarika[24]和Das[23]的工作,首先討論了拓撲群中網的理想收斂的運算性質,獲得了如下結果：設G是拓撲群,(xα)α∈D及(yα)α∈D是G中的網, 1)若I- limxα=x0及I- limyα=y0, 則I- limxαyα=x0y0; 2) 若I- limxα=x0, 則I- limxα-1=x0-1; 設G是滿足第一可數(shù)公理的拓撲群,I是D上的P理想.若G中的網理想收斂于x,則存在G中的網及滿足limyα=x,xα=yα zα,{α∈D:xα≠yα} ∈I且{α∈D:zα≠e} ∈I.其次在Βanach 空間中定義了lD∞及其C(I)和C(I*),并討論了lD∞中C(I)和C(I*)的相關性質,獲得了如下結果：若I是D可容理想,則1)C(I)是lD∞的閉線性子空間;2)這些結果推廣了Hazarika和Das的相關工作.

1 預備知識

定義1[26]稱集合D是一定向集,若對D的某些元素規(guī)定了次序＞并滿足以下條件：1)若a＞b及b＞c,則a＞c;2)對任意a,b∈D,存在c∈D,使得c＞a及c＞b.

定義2[23]令(D,＞)是一定向集,X是一非空集,映射s:D→X稱為X上的網,記為(sα:α∈D,＞)或（也可簡記為(sα)）.網(sα)稱為終留于A?X,若存在α∈D,使得對任意β∈D且β＞α,有sβ∈A.拓撲空間(X,τ)中網(sα)稱為收斂于x∈X,若(sα)終留于x的每一個鄰域,即對x的任意鄰域U,存在β∈D,使得對任意α∈D且α＞β時有sα∈U,記作limsα=x.

定義3[23]非空集族I?2D(D的冪集)稱為D的理想當且僅當滿足以下條件：1) 對任意A,B∈D, 有A?B∈D; 2) 對任意A∈D且B?A, 有B∈D. 理想I稱為非平凡, 若I≠{? } 且D?I. 集族（I）={D-A:A∈I} 稱為理想I的導出濾子.設D為非空定向集,對于α∈D,定義Dα={γ∈D:γ≥α} ,稱D的非平凡理想I為D可容,若對任意α∈D,有Dα∈（I）.

定義4[23]設X是拓撲空間,(sα)是X中的網,則有：

1)(sα)稱為I收斂于x∈X,若對包含x的任意開集U,有{α∈D:sα?U} ∈I,記作I- limsα=x;

2)(sα)稱為I*收斂于x∈X,若存在集M∈（I）使得M是定向集且網(sα)α∈M收斂于x,記作I*-limsα=x.

定義5[23]D可容理想I稱為滿足條件(DP)(或稱為P理想),若對兩兩不交的集族{Ai}i∈??I, 存在集族使得對任意j∈?,存在αj∈D,有AjΔBj?DMαj且B=∪Bj∈I.其中對任意j∈?,Bj∈I.

定義6[27]設G是群,τ是群G上的一個拓撲.稱(G,τ)是半拓撲群,如果對于群G上任意一個元在G中的左乘法運算和右乘法運算都是連續(xù)的;稱(G,τ)是仿拓撲群,如果群G上的乘法運算是共同連續(xù)的;稱(G,τ)是擬拓撲群,如果(G,τ)是半拓撲群且群G上的逆運算是連續(xù)的;稱(G,τ)是拓撲群,如果(G,τ)是仿拓撲群且群G上的逆運算是連續(xù)的.

引理1[23]設I是D可容,X是拓撲空間,是X中的網, 則有：1) 若limxα=x, 則I- limsα=x; 2) 若I*- limsα=x,則I- limsα=x.

引理2[23]若I是P理想, 且X是第一可數(shù)拓撲空間. 對X中的任意網(sα), 若I- limsα=x, 則I*-limsα=x.

本文? 表示正整數(shù)集,D為非空定向集,所涉及的理想I均是D可容理想,對一些未說明的定義和術語可以參考文獻[23-27].

2 主要結果

2.1 拓撲群中網的理想收斂

定理1設G是拓撲群,(xα)α∈D及(yα)α∈D是G中的網.若I- limxα=x0及I- limyα=y0,則I- limxαyα=

證明設νe是單位元e的全體開鄰域形成的集族.因為G是拓撲群,從而G上的映射φ:G×G→G連續(xù), 即有φ:(x,y)?x0xy0y連續(xù), 且有φ(e,e)=x0ey0e=x0y0. 因此對任意V∈νe, 存在V1,V2∈νe使得(x0V1)(y0V2)?x0y0V.因為I- limxα=x0,從而由定義4 知{α∈D:xα?x0V1} ∈I.同理有,{α∈D:yα?y0V2} ∈I.因此由(x0V1)(y0V2)?x0y0V知,

又由上式右邊均屬于I,因此{α∈D:xαyα?x0y0V} ∈I,即證I- limxαyα=x0y0.

定理2設G是拓撲群,(xα)α∈D是G中的網.若I- limxα=x0,則I- limxα-1=x0-1.

證明設U是單位元e的任意開鄰域. 因為G是拓撲群, 從而存在e的開鄰域V滿足V=V-1且xVx-1?U,即Vx-1?x-1U.因為I- limxα=x0,由定義4知{α∈D:xα?x0V-1} ∈I,即{α∈D:xα-1?Vx0-1} ∈I.故由Vx-1?x-1U知,{α∈D:xα-1?x0-1U} ?{α∈D:xα-1?Vx0-1} .因此{α∈D:xα-1?x0-1U} ∈I,即證I-limxα-1=x0-1.

注定理1對仿拓撲群也成立,定理2對擬拓撲群也成立.

定理3設G是滿足第一可數(shù)公理的拓撲群,I是D上的P理想.若G中的網(xα)α∈D理想收斂于x,則存在G中的網(yα)α∈D及(zα)α∈D滿足limyα=x,xα=yα zα,{α∈D:xα≠yα} ∈I且{α∈D:zα≠e} ∈I.

證明因為I是P理想,則由引理2知網(xα)α∈DI*收斂于x,從而存在集使得M是定向集且網收斂于x.對任意α∈D,若α∈M,則令yα=xα且zα=e;若α?M,則令yα=x且zα=x-1xα.因此,對任意α∈D,有

下證limyα=x.事實上,因為網(xα)α∈M收斂于x,則對x的任意鄰域U,存在β∈M,使得對任意α∈M且α＞β時有xα∈U.由上述構造知,對任意α∈D且α＞β時有yα∈U,因此limyα=x.

2.2 Βanach空間中網的理想收斂

每一個Βanach空間是拓撲群,接下來討論Βanach空間上全體有界的理想收斂網的性質.為了下面的應用，給出Βanach空間中網的理想收斂的相關定義.

定義7設D為非空定向集,I為D上的理想，X為Βanach空間,(sα)是X中的網.

1)(sα)稱為I收斂于x∈X,若對任意ε＞0,有記作I- limsα=x;

2)(sα)稱為I*收斂于x∈X, 若存在集使得M是定向集且網收斂于x, 記作I*-limsα=x.

設X是Βanach 空間,令分別為X中全體I收斂和I*收斂的有界網,由定理1,定理2及Βanach空間的性質,易知是線性空間.賦予上確界范數(shù)

定理41)C(I)是lD∞的閉線性子空間;

證明1) 令其中x=(xα)α∈D. 下證x∈C(I).

斷言1(ξm)是X中的柯西序列.

對任意η＞0,由limx(m)=x可知存在m0∈?,使得對任意u,v≥m0,有固定u,v＞m0,由假設注意到從而

即存在s∈D,有故

因此(ξm)是X中的柯西序列,又因為X完備,從而(ξm)收斂,令limξm=ξ∈X.

斷言2(xα)α∈D理想收斂于ξ.

對任意ε＞0,因為limξm=ξ,則存在v0∈?,使得當m＞v0時有同時當m＞v0時也會滿足故對任意α∈D有

2)因為I是D可容理想,由引理1有C(I*)?C(I),又由結論1)知C(I)在lD∞中是閉的,故得

因為y∈C(I),令A=I- limy. 由定義7 知, 對包含A的任意開集U, 有{α∈D:yα?U} ∈I, 記G={α∈D:yα?U} .定義網x=(xα)如下：若α∈G,則xα=yα;否則xα=A.由構造易知x∈lD∞.因為當α∈DG時,DG∈F（I）,且此時xα=A,由定義7 知I*- limx=A成立, 即x∈C(I*). 對任意η∈( 0,δ), 當α∈G時,有恒成立;當α∈DG時,η＜δ.于是有因此有證畢.