梁新

【摘要】廣東省數(shù)學(xué)中考從2013年開(kāi)始至今，連續(xù)7年中考命題的第24題都是圓的綜合知識(shí)的考查。在圓的綜合知識(shí)考查中，切線(xiàn)的證明是高頻考點(diǎn)，也是重點(diǎn)考點(diǎn)。因此，筆者對(duì)有關(guān)切線(xiàn)的證明方法進(jìn)行了歸納，供大家參考。

【關(guān)鍵詞】圓;切線(xiàn);證明方法

證明圓的切線(xiàn)，教材給出了切線(xiàn)的判定方法有以下三種：

1.定義法：和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

2.數(shù)量法：到圓心的距離d等于半徑r的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，即d=r。

3.判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

在上面判定切線(xiàn)的三種方法中，常用的是后面兩種，而判定定理更是重中之重。分析判定定理，不難發(fā)現(xiàn)定理包含兩個(gè)條件：①經(jīng)過(guò)半徑的外端;②垂直于這條半徑。因此，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，筆者將切線(xiàn)的證明分為兩種情況：（1）當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)，簡(jiǎn)單說(shuō)成“直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)：連半徑，證垂直”;（2）當(dāng)已知條件不確定直線(xiàn)與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑，簡(jiǎn)單說(shuō)成“不確定直線(xiàn)與圓是否有交點(diǎn)：作垂直，證半徑”。

一、直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)：連半徑，證垂直

直線(xiàn)過(guò)圓上某一點(diǎn)，證明直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，只需“連半徑，證垂直，得切線(xiàn)”，“證垂直”時(shí)，常用的方法有：①利用圓中角的關(guān)系，借助角度轉(zhuǎn)換證垂直;②根據(jù)已有的垂直關(guān)系， 利用平行證垂直;③根據(jù)已知數(shù)據(jù)，運(yùn)用“勾股定理逆定理”證垂直;④借助已有的直角三角形，利用三角形全等證垂直等。

（一）利用圓中角的關(guān)系，借助角度轉(zhuǎn)換證垂直

1.例題分析

例1、如圖，AB是☉O的弦，D為半徑OA上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交☉O于點(diǎn)F，且CE=CB.求證：BC是☉O的切線(xiàn)。

分析：已知直線(xiàn)BC經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B，因此，只需連接半徑OB，證明OB⊥BC即可。

證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=90°

∴∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

又∵OB為⊙O的半徑

∴BC是⊙O的切線(xiàn)

2.往屆中考試題解析

（2014年廣東省中考第24題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線(xiàn)DE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長(zhǎng);（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE;

（3）求證：PF是⊙O的切線(xiàn)。

分析：（1）根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可;（2）證明△POE≌

△ADO可得DO=OE;（3）已知點(diǎn)P為⊙O的點(diǎn)，半徑OP已有，因此，只需證明OP⊥PF即可，本題可以利用角的關(guān)系，借助角度轉(zhuǎn)換證垂直。

【解答】（1）解：∵AC=12

∴CO=6

∴=2π

答：劣弧PC的長(zhǎng)為2π。

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中

∴△POE≌△AOD（AAS）

∴OD=EO

（3）證明：如圖，連接AP，PC

∵OA=OP

∴∠OAP=∠OPA

由（2）得OD=EO

∴∠ODE=∠OED

又∵∠AOP=∠EOD

∴∠OPA=∠ODE

∴AP∥DF

∵AC是直徑

∴∠APC=90°

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF

又∵DP∥BF

∴∠ODE=∠EFC

∵∠OED=∠CEF

∴∠CEF=∠EFC

∴CE=CF

∴PC為EF的中垂線(xiàn)

∴∠EPQ=∠QPF

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP

∴∠QPF=∠EAP

∴∠QPF=∠OPA

∵∠OPA+∠OPC=90°

∴∠QPF+∠OPC=90°

∴OP⊥PF

又∵OP為半徑

∴PF是⊙O的切線(xiàn)

（二）利用平行證垂直

1.例題分析

例2、如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O與邊BC，AC分別交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，求證：DF是☉O的切線(xiàn)。

分析：已知☉O與邊BC交于D，可知點(diǎn)D在圓上，因此，只需連接半徑OD，證明OD⊥DF即可，又因?yàn)镈F⊥AC，所以可以利用OD//AC來(lái)證明OD⊥DF。

證明：連接OD

∵OB=OD

∴∠ODB=∠B

又∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC

∵DF⊥AC

∴∠DFC=90°

∴∠ODF=∠DFC=90°

∴OD⊥DF

又∵OD為⊙O的半徑