楊 濤，劉德明，王社良，李彬彬

（1.西安工程大學(xué)城市規(guī)劃與市政工程學(xué)院 西安，710048）（2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院 西安，710055）

引言

我國(guó)有著悠久的文化歷史，古塔作為一種歷史宗教建筑，是全人類(lèi)寶貴的歷史文化遺產(chǎn)［1］。西安小雁塔是我國(guó)密檐式古塔結(jié)構(gòu)的典型代表，具有極高的歷史文化價(jià)值［2］；然而小雁塔飽經(jīng)歷史滄桑及自然災(zāi)害的侵襲，結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在不同程度的損傷，抗災(zāi)變能力較差，亟需進(jìn)行動(dòng)力災(zāi)變保護(hù)。因此，對(duì)小雁塔的抗災(zāi)變保護(hù)已成為當(dāng)前嚴(yán)峻的議題［3］。

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)古塔結(jié)構(gòu)的抗震保護(hù)進(jìn)行了不斷的實(shí)踐和研究。陳平等［4‐5］運(yùn)用ANSYS對(duì)大象寺塔進(jìn)行了詳細(xì)的計(jì)算與穩(wěn)定性分析，對(duì)古塔結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行綜合評(píng)判。車(chē)愛(ài)蘭［6］通過(guò)有限元數(shù)值計(jì)算對(duì)應(yīng)縣木塔的動(dòng)力特性和地震響應(yīng)進(jìn)行了研究，提出了木結(jié)構(gòu)古塔健康診斷和維修加固方法。Jaishi 等［7］通過(guò)對(duì)尼泊爾古塔寺廟進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境激振得到其動(dòng)力特性，對(duì)有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證并對(duì)其抗震能力進(jìn)行評(píng)估。劉曉莉［8］制作鎮(zhèn)國(guó)寺白塔的1/40 的縮尺模型，研究了鎮(zhèn)國(guó)寺白塔傳統(tǒng)砌體材料的破壞準(zhǔn)則，模擬了鎮(zhèn)國(guó)寺白塔在汶川地震中的破壞演變過(guò)程，但因?yàn)槟Ｐ椭谱鞅壤^小，相當(dāng)于實(shí)體堆砌，并不能完全體現(xiàn)原型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制是一種已被實(shí)際驗(yàn)證能夠有效減小結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的新理論、新方法［9‐10］，但國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)SMA 的研究利用主要集中在阻尼器的研發(fā)上，較少應(yīng)用到實(shí)際結(jié)構(gòu)工程。筆者設(shè)計(jì)并制作了形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)，為研究SMA‐SP‐DS 在小雁塔結(jié)構(gòu)中的消能減震作用，利用Simulink建立小雁塔結(jié)構(gòu)在設(shè)置SMA‐SPDS 下的Simulink仿真模型［11‐13］，對(duì)小雁塔模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震作用下的仿真分析；結(jié)合原型結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀，基于量綱相似理論，設(shè)計(jì)制作了一個(gè)幾何相似比為1/10 的小雁塔模型結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了小雁塔模型結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)；將試驗(yàn)結(jié)果與仿真分析做對(duì)比，驗(yàn)證該仿真模型與計(jì)算方法的正確性，并將該仿真模型應(yīng)用于原型結(jié)構(gòu)，優(yōu)化并分析了小雁塔原型結(jié)構(gòu)的減震效果。結(jié)果表明，SMA‐SPDS 可用于小雁塔結(jié)構(gòu)及其類(lèi)似磚石古塔結(jié)構(gòu)的減震保護(hù)，具有較好的工程應(yīng)用前景。

1 形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)

1.1 SMA‐SPDS 構(gòu)造設(shè)計(jì)

利用SMA 絲的相變偽彈性，結(jié)合懸擺減震原理，設(shè)計(jì)了形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)，如圖1所示。SMA‐SPDS 主要由質(zhì)量振子、擺桿、單向鉸、滑塊、SMA 絲、擋板及轉(zhuǎn)向滑輪等構(gòu)成。

圖1 SMA-SPDS 構(gòu)造圖Fig.1 SMA-SPDS structure diagram

1.2 SMA‐SPDS 工作原理

以1 次循環(huán)為例來(lái)說(shuō)明形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)的工作原理和過(guò)程：①當(dāng)?shù)卣鹱饔幂^小時(shí)，質(zhì)量振子不與滑塊接觸，可以自由擺動(dòng)，通過(guò)剛性外壁將反向的慣性力作用于結(jié)構(gòu)之上；②當(dāng)塔身受地震影響較大時(shí)，質(zhì)量振子與滑塊一起運(yùn)動(dòng)，若結(jié)構(gòu)向右振動(dòng)時(shí)，質(zhì)量振子將向左擺動(dòng)，并帶動(dòng)右側(cè)滑塊沿水平滑道運(yùn)動(dòng)，拉動(dòng)右側(cè)SMA 絲產(chǎn)生相對(duì)位移，此時(shí)左側(cè)的SMA 絲仍處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)質(zhì)量振子恢復(fù)到平衡位置時(shí)，SMA 絲回到初始預(yù)拉狀態(tài)，右側(cè)SMA 絲經(jīng)歷了一個(gè)耗能循環(huán)過(guò)程，形成比較飽滿的滯回曲線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)結(jié)構(gòu)的消能減震；同時(shí)質(zhì)量振子的慣性力通過(guò)鋼索反作用到結(jié)構(gòu)上，對(duì)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)產(chǎn)生抑制作用，從而使結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)得到衰減。質(zhì)量振子向右運(yùn)動(dòng)時(shí)的原理相同。

懸擺減震體系是一種可設(shè)置于古塔結(jié)構(gòu)內(nèi)部的減震系統(tǒng)，但若單獨(dú)將懸擺減震體系設(shè)置于古塔結(jié)構(gòu)內(nèi)部樓板上，由于其自身特點(diǎn)對(duì)古塔結(jié)構(gòu)起到的減震作用較小。若將懸擺減震體系與SMA 絲相結(jié)合，利用絲‐鋼索與古塔結(jié)構(gòu)內(nèi)部連接，研發(fā)性能良好的SMA‐SPDS，則可將懸擺減震體系的慣性力通過(guò)絲‐鋼索傳遞給古塔結(jié)構(gòu)，同時(shí)還能利用SMA‐SPDS 中的SMA 絲提供阻尼，達(dá)到消能減震的目的，可明顯減小古塔結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

2 設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔結(jié)構(gòu)仿真分析

2.1 小雁塔現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查

小雁塔為唐代密檐磚佛塔，由塔基、塔身和塔頂三部分組成，原有15 層。塔頂由圓形剎座、兩重相輪和寶瓶形剎頂組成，現(xiàn)保留13 層，高為43.38 m。塔身平面呈方形，底邊長(zhǎng)為11.38 m，塔身略呈梭形，青磚砌成，單壁中空，內(nèi)壁有登塔磚砌蹬道。2 層以上均逐層遞減，高度從3.76 m 至頂層不足1 m。

小雁塔主體結(jié)構(gòu)采用灰磚錯(cuò)縫砌筑，經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試灰磚抗壓強(qiáng)度在0.71 MPa～1.88 MPa，膠結(jié)材料主要為橙黃泥和生石灰，黏性較好，但強(qiáng)度不高。1965 年文物保護(hù)部門(mén)對(duì)小雁塔進(jìn)行了較大規(guī)模的修繕，在第2，5，9 及13 層頂板處澆筑鋼筋混凝土梁和樓板，增加其整體性。

2.2 小雁塔試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

本試驗(yàn)根據(jù)1965 年小雁塔修繕后的現(xiàn)存狀況，設(shè)計(jì)并制作小雁塔模型結(jié)構(gòu)，綜合考慮振動(dòng)臺(tái)的臺(tái)面尺寸及承載能力，取尺寸相似系數(shù)Sl=，總高度為4 m。模型設(shè)計(jì)采用欠人工質(zhì)量方法，將配重設(shè)置在塔身墻壁的配重箱內(nèi)，根據(jù)小雁塔原型結(jié)構(gòu)材料的性能，同時(shí)兼顧試驗(yàn)的可行性，模型塔身選用經(jīng)過(guò)加工處理的青磚。青磚主要有2 種規(guī)格：塔身主體結(jié)構(gòu)用磚為110 mm×50 mm×25 mm；挑檐處用磚為110 mm×50 mm×10 mm。塔身尺寸和整體模型如圖2 所示，SMA‐SPDS 在小雁塔內(nèi)的設(shè)置和連接如圖3 所示。將SAM 絲通過(guò)絲‐索轉(zhuǎn)換接頭與鋼索連接，經(jīng)過(guò)SMA‐SPDS 底部和頂部的轉(zhuǎn)向滑輪轉(zhuǎn)向后固定于結(jié)構(gòu)的底板處。本次測(cè)試采用INV3060A 多通道動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集儀、941‐B 型水平及垂向速度傳感器等。

圖2 塔身尺寸和整體模型Fig.2 Tower dimensions and overall model

圖3 SMA‐SPDS 安裝設(shè)置圖Fig.3 SMA‐SPDS installation setup diagram

由于模型所選材料為磚砌體，其承載力等參數(shù)與原型結(jié)構(gòu)基本相同，故可取SE=1。根據(jù)Buck‐ingham 理論和量綱分析，計(jì)算出模型和原型結(jié)構(gòu)之間的相似關(guān)系，從而求得本次試驗(yàn)的各相似系數(shù)，如表1 所示。

表1 模型相似關(guān)系表Tab.1 Model similarity relation table

2.3 試驗(yàn)方案

根據(jù)GB50011—2010（2016 年版）《建筑設(shè)計(jì)抗震規(guī)范》［14］規(guī)定，本試驗(yàn)選取了2 條真實(shí)強(qiáng)震記錄（El‐Centro 波（NS）和江油波（EW）地震記錄）和1 條人工波（上海波），進(jìn)行模擬地震振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)方案對(duì)小雁塔模型結(jié)構(gòu)依次進(jìn)行8 度小震（0.2g）、8 度中震（0.6g）和8 度大震（0.9g）下的模擬振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，觀察設(shè)置與未設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔模型結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)現(xiàn)象。

2.4 設(shè)置減震系統(tǒng)的小雁塔結(jié)構(gòu)仿真過(guò)程

筆者假定小雁塔結(jié)構(gòu)在樓板平面內(nèi)剛度無(wú)限大，并不考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，采用層間剪切串聯(lián)多自由度振動(dòng)模型進(jìn)行分析。將設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔結(jié)構(gòu)分為小雁塔主體結(jié)構(gòu)和SMA‐SPDS 兩部分考慮，可分別列出各自的運(yùn)動(dòng)方程。

2.4.1 小雁塔結(jié)構(gòu)仿真模型的建立

考慮SMA‐SPDS 的作用，小雁塔主體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

其中：P為n×m階設(shè)置矩陣，m為減震裝置設(shè)置數(shù)量，在減震系統(tǒng)設(shè)置位置處為1，其余元素為0；f為被動(dòng)控制力向量，f=和分別為減震裝置的位移向量和速度向量。

引入狀態(tài)向量Z=則小雁塔主體結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間方程為

由此狀態(tài)方程即可求解小雁塔主體結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移和速度，而加速度不宜于用Simulink 中的Derivative 求導(dǎo)模塊。Derivative 模塊的輸出屬于近似求解，為減小結(jié)果誤差，結(jié)構(gòu)加速度可由式（3）直接求出

小雁塔主體結(jié)構(gòu)和被動(dòng)控制力Simulink 仿真模型如圖4 和圖5 所示。

圖4 小雁塔主體結(jié)構(gòu)仿真模型Fig.4 Simulation model of main structure of Xiaoyan Pagoda

圖5 被動(dòng)控制力仿真模型Fig.5 Passive control force simulation model

2.4.2 SMA‐SPDS 仿真模型的建立

SMA‐SPDS 的運(yùn)動(dòng)方程為

參照小雁塔仿真模型的建立，可以求得SMA‐SPDS 減震裝置的加速度向量表達(dá)式為

SMA‐SPDS 的Simulink 仿真模型如圖6 所示。

圖6 SMA-SPDS 仿真模型Fig.6 SMA-SPDS simulation model

2.4.3 能量反應(yīng)仿真模型

當(dāng)設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔結(jié)構(gòu)遭受地震作用襲擊時(shí)，大部分的地震能量將由減震系統(tǒng)耗散掉［15］，因此減震系統(tǒng)的耗能能力將直接影響小雁塔結(jié)構(gòu)的抗震性能。如果對(duì)設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程在地震持續(xù)時(shí)間t0內(nèi)的任一時(shí)刻t進(jìn)行積分，則可簡(jiǎn)化得到能量平衡方程式［16‐18］為

小雁塔主結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)仿真模型如圖7 所示。

圖7 小雁塔主結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)仿真模型Fig.7 Simulation model of main structure energy response of Xiaoyan Pagoda

2.4.4 Simulink 主仿真模型

小雁塔減震結(jié)構(gòu)體系Simulink 主仿真模型如圖8 所示，該模型由小雁塔主結(jié)構(gòu)、SMA‐SPDS、被動(dòng)控制力和主結(jié)構(gòu)能量四大子系統(tǒng)構(gòu)成。M‐加速度、M‐速度和M‐位移分別為小雁塔主結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的加速度、速度和位移；S‐加速度、S‐速度和S‐位移分別為減震裝置加速度、速度和位移；xg，CF分別為地震加速度和被動(dòng)控制力；Ek，Ee和Ec分別為小雁塔主結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、變形能和阻尼耗能。

圖8 小雁塔減震結(jié)構(gòu)主模型Fig.8 Main model of Xiaoyan Pagoda shock absorption structure

2.5 試驗(yàn)結(jié)果

2.5.1 模型結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性

在結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中通常采用白噪聲掃頻的方法來(lái)測(cè)試結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用后的動(dòng)力特性，因此在試驗(yàn)中每進(jìn)行一次相同強(qiáng)度的地震作用后，輸入加速度峰值為50g的白噪聲對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行掃頻，對(duì)掃頻所得結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，完成小雁塔模型結(jié)構(gòu)的自振頻率的求解，結(jié)果如表2 所示。

表2 小雁塔模型結(jié)構(gòu)自振頻率和周期Tab.2 Natural vibration frequency and period of Xiaoyan Pagoda model structure

2.5.2 模型結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)分析

在不同地震波的作用下，小雁塔模型結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)劇烈區(qū)間與輸入地震波基本一致，都集中在輸入加速度峰值附近。隨著地震波強(qiáng)度減弱，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也逐漸減小。同時(shí)在不同地震波作用下，模型結(jié)構(gòu)都會(huì)有多個(gè)加速度響應(yīng)值較大的點(diǎn)出現(xiàn)，尤其以江油波表現(xiàn)最為明顯。小雁塔模型結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)峰值如表3、表4 所示。

表3 無(wú)控8 度塔身頂層加速度極值Tab.3 Maximum acceleration of the top floor of the uncontrolled 8‐degree tower g

表4 有控8 度塔身頂層加速度極值Tab.4 Maximum acceleration of the top floor of the controlled 8‐degree tower g

2.5.3 模型結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)分析

小雁塔模型結(jié)構(gòu)頂層的相對(duì)位移如表5、表6所示。

表5 無(wú)控8 度塔身頂層相對(duì)位移最大值Tab.5 Maximum relative displacement of the top floor of the uncontrolled 8‐degree tower mm

表6 有控8 度塔身頂層相對(duì)位移最大值Tab.6 The maximum relative displacement of the top floor of the controlled 8‐degree tower mm

2.6 小雁塔模型結(jié)構(gòu)仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

根據(jù)上述試驗(yàn)結(jié)果與用Simulink 仿真方法對(duì)小雁塔模型結(jié)構(gòu)仿真分析進(jìn)行對(duì)比，給出小雁塔模型結(jié)構(gòu)在設(shè)置和未設(shè)置SMA‐SPDS 下的Simulink 仿真與試驗(yàn)結(jié)果塔身頂層加速度對(duì)比圖，用來(lái)說(shuō)明仿真的合理性，如圖9、圖10 所示。

圖9 8 度大震下無(wú)控塔身頂部加速度仿真與試驗(yàn)對(duì)比圖Fig.9 Comparison diagram of acceleration simulation and test on top of uncontrolled tower under 8 degree earthquake

圖10 8 度大震下有控塔身頂部加速度仿真與試驗(yàn)對(duì)比圖Fig.10 Comparison diagram of acceleration simulation and test on top of control tower under 8 degree earthquake

在不同試驗(yàn)過(guò)程中小雁塔模型結(jié)構(gòu)隨著地震的增大其加速度響應(yīng)也逐漸增大，塔身頂部從最初的0.6g增加到2.58g。當(dāng)模型結(jié)構(gòu)中設(shè)置SMA‐SPDS后，可以明顯減小地震所帶來(lái)的加速度響應(yīng)，平均降幅在15%左右，可知本系統(tǒng)在小雁塔結(jié)構(gòu)中能起到較好的減震作用。

由圖9 和圖10 可以看出，小雁塔模型結(jié)構(gòu)的Simulink 仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，Simulink仿真方法可以很好地模擬小雁塔模型結(jié)構(gòu)設(shè)置與未設(shè)置SMA‐SPDS 的地震響應(yīng)情況，因此可以將上述Simulink 仿真程序應(yīng)用到模擬小雁塔原型結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)情況，從而得到在原型結(jié)構(gòu)上設(shè)置SMA‐SP‐DS 較為真實(shí)的減震效果。

3 小雁塔原型結(jié)構(gòu)仿真分析

3.1 SMA‐SPDS 位置場(chǎng)所優(yōu)化

筆者研發(fā)的SMA‐SPDS 通過(guò)控制小雁塔結(jié)構(gòu)的振型來(lái)達(dá)到減振效果，故設(shè)置的SMA‐SPDS 應(yīng)與結(jié)構(gòu)的振型調(diào)諧。通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)配置場(chǎng)所的巧妙選定實(shí)現(xiàn)多自由度體系在各個(gè)模態(tài)單位實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制，減振模態(tài)要選擇在最有效且不干擾其他模態(tài)工作的配置場(chǎng)所。由等效質(zhì)量概念［19］可知：在某個(gè)模態(tài)的振動(dòng)波腹（最大振幅點(diǎn)），等效質(zhì)量為最小；在某個(gè)模態(tài)的振動(dòng)節(jié)點(diǎn)（振幅為0），等效質(zhì)量為無(wú)限大。

脈動(dòng)法在自然環(huán)境條件下就可完成對(duì)建筑物動(dòng)力特性的測(cè)量，適合歷史建筑的動(dòng)力特性的測(cè)試，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試結(jié)果得到小雁塔結(jié)構(gòu)的水平方向自振頻率、阻尼比和振型等動(dòng)力特性。自振頻率和阻尼比如表7所示，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試如圖11所示，模態(tài)振型如圖12所示。

表7 小雁塔動(dòng)力特征值Tab.7 Xiaoyan Pagoda dynamic characteristic value

圖11 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試圖Fig.11 Field test chart

圖12 小雁塔模態(tài)振型圖Fig.12 Modal shape diagram of Xiaoyan Pagoda

現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)力測(cè)試可以確定小雁塔原型結(jié)構(gòu)模態(tài)控制的SMA‐SPDS 布置位置：控制1 階模態(tài)設(shè)置在頂層；控制2 階模態(tài)設(shè)置在9 層；控制3 階模態(tài)也設(shè)置在頂層，由于頂層已作為1階模態(tài)控制點(diǎn)，因此可另外選擇5層作為SMA‐SPDS控制3階模態(tài)的設(shè)置場(chǎng)所。

3.2 SMA‐SPDS 參數(shù)優(yōu)化

假設(shè)結(jié)構(gòu)具有n個(gè)SMA‐SPDS，利用模態(tài)坐標(biāo)建立n個(gè)單自由度體系，則附加SMA‐SPDS 的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

其中：Fd為SMS‐SPDS 的作用力向量。

由SMA‐SPDS 得到的作用力向量是位移向量X的函數(shù)，傳遞矩陣設(shè)為H，則作用力向量表示為

附帶有SMA‐SPDS 的多自由度體系可解耦為單自由度體系，則i階模態(tài)附加SMA‐SPDS 的單自由度體系力學(xué)模型如圖13 表示，該系統(tǒng)的質(zhì)量、SMA 剛度和阻尼系數(shù)分別設(shè)為mdi，kdi和cdi。

圖13 i 階模態(tài)的單自由度體系附加減振系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型圖Fig.13 A simplified model diagram of vibration reduction system is added to the single-degree-of-freedom sys‐tem of order i mode

通過(guò)附加SMA‐SPDS 而產(chǎn)生的作用力Fdi為

由式（8）看出，SMA‐SPDS 充當(dāng)反饋補(bǔ)償元素的作用，可以導(dǎo)出傳遞函數(shù)Gdi的表達(dá)式為

其中：Gdi為含有該減振系統(tǒng)的i階模態(tài)的傳遞函數(shù)。

其中：ωdi=ζi=cdi/2mdiωi；μi=mdi/Mi；ωdi，ζi，μi分別為i階模態(tài)減振系統(tǒng)的固有頻率、阻尼比和質(zhì)量比。

形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)的最佳設(shè)計(jì)以定點(diǎn)理論為基礎(chǔ)，其核心思想是在有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線上，尋找與阻尼無(wú)關(guān)的特定點(diǎn)，利用特定點(diǎn)進(jìn)行減振裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)［20‐21］。本研究利用定點(diǎn)理論對(duì)SMA‐SPDS 進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

設(shè)含阻尼元素ζ的單自由度減振體系，頻率傳遞函數(shù)表示為

其 中：C(ω)，A(ω)為不含ζ的關(guān)于ω的系數(shù)項(xiàng)；D(ω)，B(ω)為包含ζ的關(guān)于ω的系數(shù)項(xiàng)。

ζ=0 時(shí)，頻率傳遞函數(shù)為

ζ=∞時(shí)，頻率傳遞函數(shù)為

相對(duì)ζ獨(dú)立的頻率傳遞函數(shù)為

其中：ζ為任意實(shí)數(shù)。

相對(duì)ζ獨(dú)立的頻率傳遞函數(shù)由式（15）決定

當(dāng)ζ=0或ζ=∞時(shí)，頻率傳遞函數(shù)的交點(diǎn)與ζ無(wú)關(guān)，因此該交點(diǎn)就是頻率響應(yīng)曲線的最大值，所確定的ζ值即為最佳阻尼值。在進(jìn)行SMA‐SPDS 參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，利用定點(diǎn)高度相等，可求出減振裝置的最佳調(diào)諧值。

對(duì)于多自由度體系減振裝置最佳設(shè)計(jì)，利用前文模態(tài)分析，可將多自由度減振體系解耦為單自由度減振體系，求出相應(yīng)的頻率傳遞函數(shù)，如式（10）所示。利用式（10）～（14），即可得出i階模態(tài)的單自由度減振裝置最佳設(shè)計(jì)條件，從而可以確定SMA‐SP‐DS 中的主要參數(shù)如下。

其中：ωi為i階模態(tài)減振裝置固有頻率；Ωi為i階模態(tài)結(jié)構(gòu)固有頻率；ζi為i階模態(tài)阻尼比；keq為SMA 絲等效割線剛度；l為有效擺長(zhǎng)；μi為i階模態(tài)質(zhì)量比。

各SMA‐SPDS 設(shè)置場(chǎng)所確定后，各模態(tài)控制下SMA‐SPDS 的目標(biāo)阻尼比設(shè)計(jì)為：ζ1=0.11，ζ2=0.078，ζ3=0.05。由式（18）可求得各個(gè)模態(tài)設(shè)置的SMA‐SPDS 的質(zhì)量比為：μ1=0.03，μ2=0.02，μ3=0.007，從而可 以確定 各SMA ‐SPDS 的參數(shù)，見(jiàn)表8。

表8 小雁塔原型結(jié)構(gòu)SMA‐SPDS 參數(shù)設(shè)計(jì)建議值Tab.8 The recommended design value of sma ‐ spds parameters for the prototype structure of Xiaoyan Pagoda

3.3 減振效果

在比較SMA‐SPDS 的優(yōu)化控制效果時(shí)，取結(jié)構(gòu)頂層為研究對(duì)象，對(duì)其在控制不同階次振型下的優(yōu)化控制效果進(jìn)行分析。由于篇幅限制，此處僅列出8 度大震作用下典型地震波江油波不同階次振型的小雁塔結(jié)構(gòu)頂層的位移和加速度時(shí)程圖。

表9 和表10 分別給出8 度大震下El‐Centro 波、江油波、人工波的優(yōu)化控制1 階振型、優(yōu)化控制前2階振型、優(yōu)化控制前3 階振型和無(wú)控狀態(tài)下頂層最大位移與加速度的響應(yīng)對(duì)比，并引入控制效果系數(shù)α以反映SMA‐SPDS 對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的控制效果

表9 SMA‐SPDS 優(yōu)化控制位移效果對(duì)比Tab.9 Comparison of optimal control displacement with SMA‐SPDS

表10 SMA‐SPDS 優(yōu)化控制加速度效果對(duì)比Tab.10 Comparison of optimal control acceleration with SMA‐SPDS

其中：|X|1為未設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)；|X|2為優(yōu)化設(shè)置SMA‐SPDS 時(shí)小雁塔結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

由圖14～15 分析可知，通過(guò)控制不同階次振型，均可對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)位移和加速度起到控制效果，且隨著控制的階次提高，對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)頂層控制效果越顯著。由表10 可知，若控制小雁塔原型結(jié)構(gòu)前2 階振型，在8 度大震作用下，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)平均降低32.4%，加速度平均降低31.1%；當(dāng)控制3 階振型時(shí)，小雁塔結(jié)構(gòu)位移和加速度響應(yīng)分別平均降低43.8%和43.3%。由此可知，隨著控制模態(tài)階次的提高，需要相應(yīng)地增加SMA‐SPDS 的數(shù)量，同時(shí)小雁塔結(jié)構(gòu)的控制效果也有明顯提高。

圖14 江油波優(yōu)化控制不同振型位移時(shí)程圖Fig.14 The time-history diagram of optimal control of different displacement modes by Jiang You wave

圖15 江油波優(yōu)化控制不同振型加速度時(shí)程圖Fig.15 Jiang You wave optimization control acceleration time history diagram of different modes

綜合考慮小雁塔實(shí)際工程的復(fù)雜性、成本控制、可操作性以及小雁塔原型結(jié)構(gòu)的可觀光性等因素，筆者建議考慮控制小雁塔原型結(jié)構(gòu)前3 階振型。

4 結(jié)論

1）通過(guò)Simulink 建立了設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔仿真模型結(jié)構(gòu)，與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，研究了小雁塔模型結(jié)構(gòu)在8 度大震下的地震響應(yīng)，結(jié)果表明仿真分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說(shuō)明所建立的設(shè)置與未設(shè)置SMA‐SPDS 的小雁塔仿真計(jì)算模型可以較好地反映試驗(yàn)的真實(shí)情況。

2）將小雁塔模型結(jié)構(gòu)Simulink 仿真模型應(yīng)用到小雁塔原型結(jié)構(gòu)的模擬計(jì)算，進(jìn)行了小雁塔原型結(jié)構(gòu)在8 度小震、中震及大震下的模擬分析。結(jié)果表明：當(dāng)小雁塔原型結(jié)構(gòu)設(shè)置減震系統(tǒng)后，各階頻率均有所提高，說(shuō)明SMA‐SPDS 可以提高原型結(jié)構(gòu)的整體抗震性能；同時(shí)，SMA‐SPDS 對(duì)減小小雁塔結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)具有明顯的作用，且隨地震強(qiáng)度的增加，減震效果越明顯。

3）針對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)，對(duì)SMA‐SPDS 的參數(shù)、布置位置等進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)比分析了小雁塔原型結(jié)構(gòu)中布置SMA‐SPDS 優(yōu)化前后的地震響應(yīng)情況。結(jié)果表明，通過(guò)控制不同階次振型，均可對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)位移和加速度起到控制效果，且隨著控制的階次提高，對(duì)小雁塔原型結(jié)構(gòu)頂層控制效果越顯著。當(dāng)控制3 階振型時(shí)，小雁塔結(jié)構(gòu)位移和加速度響應(yīng)分別降低43.8%和43.3%，優(yōu)化效果顯著。

4）形狀記憶合金復(fù)合懸擺減震系統(tǒng)對(duì)小雁塔結(jié)構(gòu)的保護(hù)，嚴(yán)格遵循古塔結(jié)構(gòu)抗震保護(hù)的“最小干預(yù)”原則，可有效減小塔體的地震響應(yīng)，對(duì)于類(lèi)似古塔的抗震保護(hù)具有一定的參考價(jià)值和工程意義。