西安交通大學(xué)附屬中學(xué) 林逸凡

本教學(xué)設(shè)計(jì)為人教版《數(shù)學(xué)》選修4-4第二章第一節(jié)第1課時(shí)的“曲線的參數(shù)方程”，對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)手段進(jìn)行了一些創(chuàng)新，現(xiàn)將部分環(huán)節(jié)與課堂實(shí)錄予以展示。

一、情境引入

師：參數(shù)方程與生活實(shí)際密不可分，數(shù)學(xué)中的許多曲線常常是物體在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中的軌跡。例如：運(yùn)動(dòng)員拋擲籃球的軌跡就是拋物線；騎自行車時(shí)，如果車輪沾了白色的油漆，那么油漆滾過(guò)的軌跡是一條神奇的擺線；日月輪替，星辰自行，太陽(yáng)系中的行星們每天都在按照自己的軌跡進(jìn)行公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)；日常生活中的面包機(jī)、跑步機(jī)、按摩椅等，齒輪的嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)形成了最優(yōu)美合適的運(yùn)動(dòng)軌跡。大學(xué)里為了研究它們，專門開(kāi)設(shè)了一門課程稱為“機(jī)械原理”。這些運(yùn)動(dòng)軌跡中有一把鑰匙，那就是——“時(shí)間”，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律表現(xiàn)為物體的位置隨時(shí)間而改變，也就是位置的坐標(biāo)x，y對(duì)時(shí)間t的依賴關(guān)系。

師：游樂(lè)園里類似的例子就更多了，咖啡杯、海盜船、太陽(yáng)飛車、摩天輪……我們以運(yùn)動(dòng)規(guī)律最簡(jiǎn)單的摩天輪為例，按照每20分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，你能將紅色包廂的位置隨時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律很好地描述出來(lái)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際生活情境出發(fā)，小到齒輪零件，大到宇宙星辰，展示與時(shí)間密不可分的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之美，最后將情境拉到游樂(lè)園中的摩天輪，引入最簡(jiǎn)單的圓的參數(shù)方程。

引例：新開(kāi)的游樂(lè)園里有一架摩天輪，非常受大家歡迎。摩天輪的半徑為10米，勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需要20分鐘。思考：觀察紅色包廂的位置，它與時(shí)間t（單位：分鐘）的關(guān)系是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述？

師：時(shí)間t在這里是一個(gè)中介，這個(gè)間接引入的變量t就稱為參數(shù)，單位為分鐘。像這樣，我們通過(guò)研究x，y與t的關(guān)系，也就間接建立了x和y的關(guān)系式，而這個(gè)間接的關(guān)系式就是本節(jié)課要研究的主題——參數(shù)方程。

設(shè)點(diǎn)：設(shè)觀察的初始位置為A點(diǎn)，坐標(biāo)為（10，0），此時(shí)t=0。

選參：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)時(shí)刻t，由圖可知——

檢驗(yàn)：其中，t的取值范圍為t≥0。

結(jié)論：紅色包廂的位置可以描述為關(guān)于時(shí)間t的方程：

師：值得注意的是，這是θ為銳角時(shí)的特殊情形，那么，如果把θ角度的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，這個(gè)式子依然成立嗎？

生：當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，cosθ＜0，sinθ＞0，與x，y的正負(fù)一致，依然符合。同理，當(dāng)θ為第三象限角時(shí)，cosθ＜0，sinθ＜0；當(dāng)θ為第四象限角時(shí)，cosθ＜0，sinθ＜0。

師：按照時(shí)間t的物理意義，t的取值范圍為？

生：t≥0。

師：那么相應(yīng)的，θ的取值范圍為？

生：θ≥0。

師：但如果要表示一個(gè)完整的圓，θ的取值范圍應(yīng)控制在多少？

生：θ∈[0，2π]。

師：以上兩個(gè)范圍都可以。至此，我們成功得到了一個(gè)圓的參數(shù)方程，其完整的解題步驟為？

生：建系、設(shè)點(diǎn)、選參、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)。

師：一個(gè)小問(wèn)題——你能寫出這個(gè)上半圓的參數(shù)方程嗎？

生：在原方程基礎(chǔ)上添加“θ∈[0，π]”。

師：你能寫出這個(gè)下半圓的參數(shù)方程嗎？

生：在原方程基礎(chǔ)上添加“θ∈[π，2π]”。

師：我們能說(shuō)這三個(gè)參數(shù)方程是一樣的嗎？

生：不能，要看參數(shù)的取值范圍。

師：對(duì)于一條曲線的參數(shù)方程，要滿足曲線上的任一點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)到參數(shù)方程的有序數(shù)對(duì)（x，y）解，反過(guò)來(lái)，參數(shù)方程的有序數(shù)對(duì)（x，y）解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上。因此，在得到參數(shù)方程后，必須有雙向的檢驗(yàn)環(huán)節(jié)。上述摩天輪包廂運(yùn)動(dòng)的分析過(guò)程可以推廣到一般曲線的參數(shù)方程：

如果對(duì)于t的每一個(gè)值（a≤t≤b），（＊）式所確定的點(diǎn)P（x，y）都在一條曲線上，而這條曲線上的任一點(diǎn)P（x，y），都可由t的某個(gè)值通過(guò)（＊）式得到，那么稱（＊）式為該曲線的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù)。

這個(gè)定義中需要加重音的是“每一個(gè)”“都在”“任一點(diǎn)”“都可”。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)最簡(jiǎn)單的例子的剖析，在學(xué)生腦中自然播入“檢驗(yàn)”的思想種子。

變式：（對(duì)摩天輪的例子稍作修改）射線OP與x軸的正半軸夾角為30°，Q點(diǎn)從O出發(fā)，沿著射線OP方向以速度2運(yùn)動(dòng)，依然以時(shí)間t為參數(shù)，試求Q（x，y）的參數(shù)方程。

強(qiáng)調(diào)：t≥0，若t∈R，則表示一條直線。

【設(shè)計(jì)意圖】以上強(qiáng)調(diào)、思考、辨析、追問(wèn)四個(gè)環(huán)節(jié)一氣呵成，層層遞進(jìn)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)做足文章，通過(guò)一系列環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串，在非教非授間將本節(jié)課的難點(diǎn)化為無(wú)形，引導(dǎo)學(xué)生重視“明確參數(shù)”，注意“參數(shù)范圍”，培養(yǎng)“檢驗(yàn)意識(shí)”。

二、概念辨析

三、典例講解

例1：小林，小王，小張三位同學(xué)將直線方程y=2x+3化為參數(shù)方程時(shí)，得到了三個(gè)不同的式子：

你能說(shuō)說(shuō)他們誰(shuí)做對(duì)了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)參數(shù)方程形式的不唯一性、參數(shù)的自然范圍限制與參數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值域范圍限制對(duì)軌跡完整性的影響。

學(xué)生總結(jié)：曲線的普通方程可轉(zhuǎn)化為不同形式的參數(shù)方程，但是要注意參數(shù)的范圍和對(duì)應(yīng)的值域是否彼此等價(jià)。

例2：試將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程。

【設(shè)計(jì)意圖】再次強(qiáng)調(diào)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。

學(xué)生總結(jié)：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。

例3：小魔女琪琪以勻速v=15 m/s作水平飛行，若在飛行高度h=24.5 m處投擲包裹（設(shè)包裹的初始速度等于琪琪飛行的速度），則：

（1）求包裹離開(kāi)琪琪后的軌跡方程；

（2）試問(wèn)琪琪在黑貓吉吉的籃筐多遠(yuǎn)（水平距離）處投擲包裹，才能剛好投入籃筐？（重力加速度g=9.8 m/s2）

思考1：試將（1）中得到的軌跡方程化為普通方程。

【設(shè)計(jì)意圖】規(guī)范解題步驟，體會(huì)用參數(shù)方程表示軌跡在這個(gè)例題中的優(yōu)越性，同時(shí)再次強(qiáng)調(diào)范圍問(wèn)題。

例4：試將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例4，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)參數(shù)方程的重點(diǎn)、難點(diǎn)，例如，例4的①需要注意函數(shù)值域，最后要摳點(diǎn)；例4中的②要注意對(duì)tanα是否存在進(jìn)行討論，這在全國(guó)卷中已經(jīng)考查過(guò)，許多學(xué)生都在這里失分，所以需要在新授課特別強(qiáng)調(diào)。

四、隨堂練習(xí)

例5：將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程。

五、歸納提升

誰(shuí)是參數(shù)先明確，

參數(shù)范圍重點(diǎn)圈。

靈活消參筆頭算，

檢驗(yàn)意識(shí)存心間。

六、課后反思

設(shè)計(jì)亮點(diǎn)：

1.認(rèn)真打磨情境引入，扎根現(xiàn)實(shí)的背景，用詩(shī)意的語(yǔ)言快速激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

2.重新構(gòu)建課堂，通過(guò)精心設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，結(jié)合彼此關(guān)聯(lián)的例題及變式，由淺入深，層層遞進(jìn)。

3.給孩子搭建足夠大的平臺(tái)。教師由一個(gè)知識(shí)霸權(quán)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)問(wèn)題引導(dǎo)者，激發(fā)思維、促使求解自然。

數(shù)學(xué)是“使人周密的”思維的體操，其課堂是否僅僅只有純理性這一種打開(kāi)方式，一個(gè)知識(shí)灌輸?shù)谋鋸S房？能否打破數(shù)學(xué)“枯燥”“乏味”的刻板印象，給那些原本對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生一個(gè)重新愛(ài)上它的理由？紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。