張 源

（1.上海外國語大學(xué)賢達(dá)經(jīng)濟(jì)人文學(xué)院，上海 200083；2.中國社會(huì)科學(xué)院工業(yè)經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100732）

隨著中國供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的深入落實(shí)和市場(chǎng)環(huán)境日趨復(fù)雜的變化，保持健康高效的庫存水平成為諸多企業(yè)提升運(yùn)作管理的重點(diǎn)之一。對(duì)經(jīng)營(yíng)肉類商品的企業(yè)來說，需考慮商品的需求不確定性和易變質(zhì)性。由于肉類商品效用隨時(shí)間推移而降低，且產(chǎn)生額外腐壞成本，因此，如何確定肉類商品的最優(yōu)訂貨量和訂貨周期以實(shí)現(xiàn)最低庫存成本，兼具理論及應(yīng)用價(jià)值。

1963年，Ghare等［1］首次提出變質(zhì)商品庫存模型。之后的50多年，國內(nèi)外學(xué)者結(jié)合各類商品提出多種約束條件下的庫存模型。Covert等［2］采用兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)描述商品變質(zhì)率；Philip［3］在之后提出三參數(shù)Weibull分布的商品變質(zhì)率模型。隨后，Jalan等［4］基于服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率，構(gòu)建線性需求下的庫存管理模型。Chakrabarty等［5］則基于服從三參數(shù)Weibull分布變質(zhì)率的商品，提出相應(yīng)的庫存控制模型。徐賢浩等［6，7］從變質(zhì)期類型的角度，將變質(zhì)商品的庫存模型分為2種，即固定變質(zhì)期和隨機(jī)變質(zhì)期。有學(xué)者將肉類商品歸類為固定變質(zhì)期商品，認(rèn)為其變質(zhì)率保持恒定，并在既定時(shí)間后效用為0。本研究認(rèn)為鑒于在倉儲(chǔ)過程中受不同溫度、氣候、濕度和儲(chǔ)存方式的影響，商品在庫存過程中發(fā)生變質(zhì)的時(shí)間和程度是不確定的?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，隨機(jī)變質(zhì)期通常涉及2種變質(zhì)率類型，即服從時(shí)變函數(shù)的變質(zhì)率以及服從Weibull分布的變質(zhì)率。其中，前者描述隨時(shí)間推移變質(zhì)率升高的情況；而后者一般應(yīng)用于初期變質(zhì)率較大的情況。本研究認(rèn)為根據(jù)肉類商品的特性，無論是冷鮮肉還是冷凍肉，均應(yīng)屬于服從Weibull分布的變質(zhì)商品類型，即前期變質(zhì)速度較快，后期變質(zhì)速度逐漸放緩，最終商品效用趨近于0，而不同溫度下的儲(chǔ)存方式?jīng)Q定其變質(zhì)率的大小程度。與此同時(shí)，鑒于肉類商品的變質(zhì)類型主要指其腐壞過程，即物理性變質(zhì)，而價(jià)值性變質(zhì)通常只在市場(chǎng)價(jià)格大幅波動(dòng)時(shí)或因庫存積壓而進(jìn)行折價(jià)銷售時(shí)較為明顯，本研究?jī)H考慮商品的物理性變質(zhì)現(xiàn)象。因此，本研究基于EOQ模型的理論基礎(chǔ)，引入庫存水平臨界點(diǎn)，只考慮庫存量低于臨界點(diǎn)的情況，結(jié)合中國肉類商品銷售的運(yùn)營(yíng)現(xiàn)狀，建立變質(zhì)率呈兩參數(shù)Weibull分布的庫存管理模型，并進(jìn)行算例分析，以期為中國當(dāng)前優(yōu)化肉類商品供應(yīng)端提供可行的分析手段和參考建議。

1 問題描述與模型假設(shè)

1.1 基本假設(shè)

根據(jù)對(duì)中國部分城市肉類商品銷售市場(chǎng)的調(diào)研結(jié)果，基于單一企業(yè)的庫存管理問題展開研究，引入如下基本假設(shè)條件：a.該公司僅經(jīng)營(yíng)一種特定的肉類商品；b.商品發(fā)生變質(zhì)且變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布；c.變質(zhì)過程是不可逆的；d.庫存采購提前期為0；e.庫存補(bǔ)充速率無窮大；f.不允許發(fā)生供貨短缺；g.不存在價(jià)值性變質(zhì)。

1.2 符號(hào)表示

構(gòu)建模型涉及符號(hào)及定義如表1所示。

表1 構(gòu)建模型涉及符號(hào)及定義

2 模型構(gòu)建

本研究假設(shè)商品的變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布。兩參數(shù)Weibull分布的概率分布函數(shù)F（t）和密度函數(shù)（ft）分別為：

由式（1）、式（2）可得，服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率：

式中，a為尺度參數(shù)，0≤a＜1，其中，a=0表示不發(fā)生變質(zhì)；b為形狀參數(shù)，b≥0。圖1是服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率-時(shí)間關(guān)系。由圖1可知，形狀參數(shù)存在5種情況：①0＜b＜1，變質(zhì)率與時(shí)間變量為負(fù)相關(guān)，表示變質(zhì)率在訂貨周期初期較高，隨著時(shí)間推移而逐漸降低；②b=1，變質(zhì)率為常數(shù)，變質(zhì)率與時(shí)間變量不相關(guān)；③1＜b＜2，變質(zhì)率與時(shí)間變量為正相關(guān)，且變質(zhì)率增高的速率在逐漸降低；④b=2，變質(zhì)率與時(shí)間變量為線性相關(guān)；⑤b＞2，變質(zhì)率與時(shí)間變量為正相關(guān)，且變質(zhì)率增高的速率在逐漸增大。本研究結(jié)合企業(yè)實(shí)際運(yùn)營(yíng)中大多數(shù)物理性變質(zhì)商品的變質(zhì)特征，僅考慮b≥1的情況，即變質(zhì)率隨時(shí)間的變化逐漸增加。

圖1 服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率-時(shí)間關(guān)系

鑒于部分企業(yè)實(shí)際經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，往往存在庫存水平臨界點(diǎn)，一旦隨著庫存降低并小于臨界點(diǎn)時(shí)，商品的需求率將保持恒定。根據(jù)調(diào)研結(jié)果，大部分肉類經(jīng)營(yíng)企業(yè)并不存在面對(duì)商品需求隨庫存降低而顯著變化的情況。本研究只考慮庫存消耗速度保持不變的情況，即將庫存量低于臨界點(diǎn)作為假設(shè)條件，因此，可以構(gòu)建模型在Q≤L的條件下，庫存消耗速度不隨庫存降低，消耗率維持在庫存臨界點(diǎn)時(shí)的水平，庫存狀態(tài)方程為：

由I(0)=Q且I(T)=0可得，t時(shí)刻的庫存水平（5）與最優(yōu)訂貨量（6）：

庫存變質(zhì)成本：

庫存持有成本：

庫存管理總成本：

單位時(shí)間庫存管理成本：

對(duì)式（7）、式（8）、式（9）求導(dǎo)可得：

當(dāng)庫存量低于庫存臨界點(diǎn)的條件下存在最優(yōu)解T，則存在由式（11）可計(jì)算T，式（11）可化簡(jiǎn)為：

引入函數(shù)f(T)且滿足：

對(duì)f(T)泰勒展開可得：

其中γn(T)為拉格朗日余項(xiàng)：

根據(jù)草圖發(fā)現(xiàn)，y=（fT）與x軸在x=1處附近有惟一交點(diǎn)，取T0=1可得：

現(xiàn)采用反函數(shù)多項(xiàng)式展開法，對(duì)超越方程進(jìn)行求解（其中涉及Newton-Raphson迭代法的運(yùn)用），略去拉格朗日余項(xiàng)后得出二次三項(xiàng)近似式，可作為T的近似解析解：

將T帶入式（6）可得最優(yōu)訂貨量Q：

本研究?jī)H考慮b≥1的情況，即變質(zhì)率隨時(shí)間的變化逐漸增加，也即：

所以，式（21）所得到的T為全局最優(yōu)解，式（22）所得到的Q即為最優(yōu)訂貨量。

3 數(shù)值算例與靈敏度分析

3.1 數(shù)值算例

算例假設(shè)某肉類商品經(jīng)營(yíng)企業(yè)制定庫存管理計(jì)劃，所經(jīng)營(yíng)的商品為單一種類，且物理性變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布。庫存模型的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 庫存模型的相關(guān)參數(shù)

3.2 求解步驟

將參數(shù)值代入式（22）計(jì)算，可得最優(yōu)訂貨量Q；將Q代入式（6），可得庫存補(bǔ)充周期T；將T代入式（7）、式（8），分別可得庫存變質(zhì)成本DC和庫存持有成本HC；將DC和HC代入式（9），可得庫存管理總成本TC；將TC和T代入式（10），可得單位時(shí)間庫存管理成本AC。

經(jīng)過計(jì)算，本算例中肉類商品經(jīng)營(yíng)企業(yè)的最優(yōu)訂貨量為6.112 6 t，對(duì)應(yīng)的單位時(shí)間庫存管理成本為1.931 5萬元。

3.3 靈敏度分析

本研究根據(jù)算例，通過每次只改變單一參數(shù)值，對(duì)庫存模型中的主要參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析（表3）。每次上調(diào)或下調(diào)參數(shù)值的50%或25%，分別可得參數(shù)a、b、α、β、K、h、C的變化對(duì)最優(yōu)訂貨量Q和單位時(shí)間庫存管理成本AC的影響。值得注意的是在所有計(jì)算結(jié)果中，最優(yōu)訂貨量并未超過庫存水平臨界點(diǎn)L，因此，計(jì)算結(jié)果與模型假設(shè)并無相悖。

由計(jì)算結(jié)果可知以下結(jié)論：①服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)b和需求率參數(shù)α、β對(duì)最優(yōu)訂貨量Q和單位時(shí)間庫存管理成本AC的影響都非常大；②服從Weibull分布的變質(zhì)率尺度參數(shù)a和單位商品變質(zhì)成本C對(duì)單位時(shí)間庫存管理成本AC的影響非常大，但對(duì)最優(yōu)訂貨量Q的影響不顯著，但兩參數(shù)對(duì)最優(yōu)訂貨量Q和單位時(shí)間庫存管理成本AC的影響同步；③服從Weibull分布的變質(zhì)率尺度參數(shù)a和單位商品變質(zhì)成本C的變化對(duì)最優(yōu)訂貨量Q的影響呈負(fù)相關(guān)，其他參數(shù)對(duì)Q的影響呈正相關(guān)；④服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)b對(duì)單位時(shí)間庫存管理成本AC的影響呈負(fù)相關(guān)，其他參數(shù)對(duì)AC的影響呈正相關(guān)。

根據(jù)上述結(jié)論可以看出，當(dāng)腐壞速度越快，單位時(shí)間庫存管理成本越大，企業(yè)單次訂貨量也需要越大，其中，變質(zhì)的尺度參數(shù)對(duì)訂貨量影響較小，而形狀參數(shù)則對(duì)訂貨量影響較大。此外，市場(chǎng)需求率越大，企業(yè)單次訂貨量也需要越大，單位時(shí)間庫存管理成本也越大。

表3 庫存模型主要參數(shù)靈敏度分析

本研究針對(duì)影響訂貨量較大的變質(zhì)率形狀參數(shù)b展開進(jìn)一步分析，將b作為變量，在給定其他參數(shù)的條件下，分別可得形狀參數(shù)與最優(yōu)訂貨量和單位時(shí)間庫存管理成本的關(guān)系，如圖2和圖3所示。

由此可見，當(dāng)肉類商品的變質(zhì)率形狀參數(shù)增加到一定程度時(shí)，最優(yōu)訂貨量的增長(zhǎng)速度（圖2）和單位時(shí)間庫存管理成本的下降速度（圖3）均會(huì)減弱，切線斜率逐漸趨近于0，即最優(yōu)訂貨量逐漸接近一個(gè)最高值，而單位時(shí)間庫存管理成本逐漸接近一個(gè)最低值。所以，當(dāng)肉類商品的腐壞速度超過一個(gè)閾值時(shí)（本算例中約為b=5），最優(yōu)訂貨量將基本不受腐壞速度變化的影響。

圖2 最優(yōu)訂貨量-服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)關(guān)系

圖3 單位時(shí)間庫存管理成本-服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)關(guān)系

4 小結(jié)

本研究假定肉類商品物理性變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布，且不存在物理性變質(zhì)，在考慮庫存水平臨界點(diǎn)的條件下，構(gòu)建肉類商品經(jīng)營(yíng)企業(yè)的庫存管理模型。本研究基于前期市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，算例參數(shù)貼近于現(xiàn)實(shí)商業(yè)情形，為有效管理肉類商品庫存提供學(xué)術(shù)依據(jù)，也為相關(guān)企業(yè)高質(zhì)量發(fā)展提供智力支持。通過實(shí)證發(fā)現(xiàn)，商品變質(zhì)速度對(duì)企業(yè)的庫存管理策略影響較大，變質(zhì)率形狀參數(shù)越大，企業(yè)單次訂貨量越大；肉類市場(chǎng)的需求率越大，企業(yè)單次訂貨量也越大。此外，當(dāng)肉類商品的變質(zhì)率超過一定程度，最優(yōu)訂貨量便不再受變質(zhì)速度變化的影響。

本研究所構(gòu)建的庫存模型和相關(guān)建議同樣適用于符合類似物理性變質(zhì)的其他商品，如水果、鮮切花、超市便當(dāng)?shù)取，F(xiàn)實(shí)生活中，節(jié)假日等時(shí)間節(jié)點(diǎn)消費(fèi)者對(duì)肉類商品的需求會(huì)大幅增加。因此，市場(chǎng)需求量的大幅波動(dòng)對(duì)物理性變質(zhì)商品的庫存控制影響是后續(xù)研究的方向。