景 艷 ，杜雪松 ，宋朝省 ，朱才朝 ，廖德林

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.深圳市大族精密傳動科技有限公司，廣東 深圳 518057)

與傳統(tǒng)漸開線諧波減速器相比，雙圓弧齒形諧波減速器具有承載力大、嚙合齒數(shù)多、嚙合間隙小、嚙合精度高等優(yōu)點，被廣泛應用于機器人、航天航空、醫(yī)療器械、儀表設備等各個領域[1-2]。由于雙圓弧剛輪采用非漸開線齒形，雙圓弧齒形插齒刀幾何參數(shù)的計算方法及變化規(guī)律較復雜，其刀具設計及齒廓加工工藝是諧波傳動制造環(huán)節(jié)的重難點之一。同時由于插齒刀本身結構的特點，其切削刃投影與刀具理論齒形之間存在一定誤差，使加工出來的剛輪齒形與理論設計齒形不一致[3-4]。因此開展雙圓弧諧波傳動剛輪插齒刀設計與齒形誤差分析具有重要意義。

近年來，國內外學者對剛柔輪加工問題進行了研究。Lai等[5]提出了一種基于CAD/CAM的系統(tǒng)化幾何造型技術，在刃形設計上采用分段逼近的方法可縮短設計周期，提高普通直齒插齒刀的加工精度； Kawalec等[6]對螺旋齒插齒加工過程建立數(shù)學模型進行有限元分析，提出增強齒根強度的頂圓角的設計方法；Lin等[7]討論了漸開線插齒刀的設計原理和模型，提出反包絡法等刀具設計方法，可提高插削刀具的精度和壽命；日本Youshino等[8]分析了插齒加工工藝，采用單元切除法設計了可加工任意齒廓形狀的插齒刀，但刀具制造成本高，難以實現(xiàn)；Tsay等[9]提出了一種插齒刀參數(shù)優(yōu)化方法，對漸開線齒形直齒插齒刀的切削過程進行分析，建立齒形優(yōu)化數(shù)學模型，提高了插齒刀設計的理論齒形精度；辛洪兵[10]在2008年提出雙圓弧諧波齒輪插齒刀，并申請專利，該刀具可以保證雙圓弧諧波齒輪傳動具有良好的綜合性能，但未給出插齒刀齒廓具體求解方式；劉熙剛等[11]把滾刀作為基準齒形共軛出柔輪齒廓以及加工剛輪的插齒刀的齒廓，再由插齒刀加工出剛輪，通過控制剛柔輪的嚙合側隙來確定基準齒形刀具，該方法雖為剛柔輪加工刀具的設計提供了新思路，但因剛輪齒形的求解并不直接由柔輪齒形共軛得到，因此并不能完全保證柔輪與剛輪的共軛關系；聶少文等[12]利用插齒刀齒形推導雙圓弧剛輪齒形，并對刀具齒形進行了包絡驗證，但未對插齒刀齒面相關參數(shù)進行分析研究；孟漪等[13]針對加工小模數(shù)漸開線齒廓剛輪的插齒刀提出采用變模數(shù)、變壓力角的方法來進行設計，考慮了諧波齒輪變位系數(shù)較大時內齒圈剛輪直徑大于分度圓直徑的情況，該種方法適用于漸開線齒形剛輪刀具的設計；陳鵬等[14]以剛輪齒形為基礎，利用齒廓法線法求解插齒刀齒形，采用包絡法驗證所求插齒刀齒形的正確性，并根據(jù)嚙合側隙及齒廓是否干涉研究了插齒刀的通用性；李佳等[15-16]針對插齒刀存在理論齒形誤差的問題，提出了一種無理論刃形誤差的漸開線齒輪插齒刀設計方法，該方法可在理論上避免刃形誤差，可有效提高插齒精度，但插齒刀齒面多為自由曲面，刀具與制造工藝復雜，加工成本較高。

綜上所述，漸開線齒形的插齒法加工研究相對較為成熟，目前針對加工雙圓弧齒形的插齒刀的研究多為插齒刀理論齒形推導，而雙圓弧諧波齒輪插齒刀齒面幾何參數(shù)的計算方法和變化規(guī)律以及前后角對雙圓弧插齒刀理論齒形誤差的影響研究少有文獻涉及；雖有學者提出無理論刃形誤差的設計方法，但因制造困難，加工成本高，不能大面積推廣。

筆者基于加工雙圓弧齒形剛輪的插齒刀齒形，根據(jù)嚙合原理采用運動學法建立插齒刀齒形及齒面數(shù)學模型研究刀具側刃后角、側刃前角等重要齒面參數(shù)的計算方法及其影響因素，并分析插齒刀幾何參數(shù)對理論齒形誤差的影響。

1 基于運動學法的雙圓弧剛輪插齒刀齒形數(shù)學建模

對剛輪運用運動學法求解插齒刀齒形時，需建立齒輪加工刀具的模型，該模型中將剛輪看作刀具，插齒刀看作被加工齒輪，從而利用剛輪齒形求解插齒刀齒形[12]。建立的齒輪加工刀具模型如圖1所示，齒輪加工刀具的過程可視為兩個齒輪的內嚙合，當插齒刀轉角為φc時，剛輪相應轉過角度φg，r1為插齒刀分度圓半徑，r2為剛輪的分度圓半徑。剛輪與插齒刀的嚙合方程為

(1)

圖1 剛輪加工坐標系Fig. 1 Rigid machining coordinate system

假定坐標系Sc(XcOcYc)、Sg(XgOgYg)和Sf(XfOfYf)分別與插齒刀、剛輪和機床剛性固接，則插齒刀轉角φc和剛輪轉角φg的關系為

(2)

式中：icg為剛輪與插齒刀的傳動比；zg為剛輪齒數(shù)；zc為插齒刀齒數(shù)。

在坐標系Sg(XgOgYg)中，剛輪齒面位置向量為

rg=xgig+ygjg+zgkg，

(3)

(4)

方程的解即為嚙合點[14-16]。利用坐標變換，把嚙合點從剛輪坐標系Sg(XgOgYg)變換到插齒刀坐標系Sc(XcOcYc)中，即可得到插齒刀齒廓

rc=Mcg·rg，

(5)

式中Mcg為剛輪坐標系到插刀坐標系的變換矩陣，

(6)

式中：φ1為插齒刀旋轉角度；φ2為剛輪旋轉角度；Ec為加工中心距。

(7)

(8)

以HD25120型號諧波減速器為例，其剛輪基本設計參數(shù)如表1所示，剛輪齒形包括齒頂過渡段、凸齒廓段、公切線段、凹齒廓段、齒根過渡段。

表1 剛輪基本設計參數(shù)

采用MATLAB編寫程序，得到原始剛輪齒形如圖2(a)所示。

剛輪齒廓所有圓弧段經過共軛計算后，均近似為刀具圓弧齒廓，公切線段經過共軛計算后成為漸開線齒廓。

利用運動學法求解得到雙圓弧剛輪插齒刀齒形如圖2(b)所示，插齒刀齒廓對應于剛輪齒廓，包括齒頂過渡段、凸齒廓段、漸開線段、凹齒廓段、齒根過渡段。

圖2 剛輪齒廓與插齒刀齒廓Fig. 2 Tooth profile of rigid gear and tooth profile of shaper

2 雙圓弧剛輪插齒刀幾何參數(shù)計算

如圖3所示，插齒刀的刀齒由2條側刃、1條頂刃、1個前刀面、2個側后刀面和1個頂后刀面構成。插齒刀的外形和齒輪相似，為保證刀具能正常進行切削工作，插齒刀必須具有切削角度：前角和后角[16-18]。雙圓弧插齒刀齒面幾何角度選取沒有參考標準，因此參照漸開線齒形插齒刀前后角選取原則[17]，針對表1中雙圓弧剛輪所對應的插齒刀，初選刀具頂刃前角為5°，頂刃后角為6.5°。

圖3 插齒刀幾何結構示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the geometry of the gear shaper

2.1 插齒刀頂刃后角

X0=x0m=btanαe，

(9)

式中：m為插齒刀模數(shù)；αe為插齒刀的頂刃后角。

圖4 插齒刀00截面Fig. 4 00 Cross section

根據(jù)式(9)，設原始截面前刀具的可刃磨長度為b1，原始截面后刀具的可刃磨長度為b2，則插齒刀的可刃磨長度L為

(10)

式中：xmax為最大變位系數(shù)；xmin為最小變位系數(shù)。

圖5 插齒刀可刃磨長度及插齒刀齒面Fig. 5 Grindable length and tooth surface of the gear shaper

圖6 后角對插齒刀可刃磨長度的影響Fig. 6 Influence of back angle on grindable length of gear shaper

2.2 插齒刀側刃后角

插齒刀頂刃后角為頂后刀面與水平面的夾角；由于頂刃后角的存在，當插齒刀展開時2個側后刀面實際為角度相同旋向相反的螺旋面，使插齒刀存在側刃后角。在切削過程中，側刃后角決定插齒刀齒后面相對于被加工面的摩擦力大小，也決定插齒刀齒后面的磨損量大小，側刃后角太小，對耐用度不利。如圖7所示，刀齒側面是螺旋面，齒側面與節(jié)圓柱的交線是螺旋線，圖中X01為Ⅰ-Ⅰ截面的變位量，X02為Ⅱ-Ⅱ截面的變位量，sy1為Ⅰ-Ⅰ截面中任意半徑齒厚，sy2為Ⅱ-Ⅱ截面中任意半徑齒厚。側刃任意點(半徑ry)處的齒面螺旋角βy計算方法如下：

(10)

式中Δb為Ⅰ-Ⅰ截面和Ⅱ-Ⅱ截面間的距離。

sy1和sy2的計算方法如下：

(11)

(12)

聯(lián)立式(10)～(12)，化簡后得到

(13)

式中：r0為分度圓半徑；m為插齒刀模數(shù)；x01為Ⅰ-Ⅰ截面的變位系數(shù)；x02為Ⅱ-Ⅱ截面的變位系數(shù)；α0為分度圓壓力角；θ0為分度圓處的展角；θy為任意半徑處的展角。

圖7 雙圓弧插齒刀齒面示意圖Fig. 7 Schematic diagram of the tooth surface of double-arc gear shaper

側刃上任意點A在M-M截面中的后角即是齒形表面的螺旋角βy，N-N截面和M-M截面的夾角為αy，αy為半徑ry處的壓力角，插齒刀側刃后角αyc為

tanαyc=tanβycosαy，

(14)

即

(15)

對表1中的剛輪計算其對應刀具在不同頂刃后角情況下齒頂?shù)烬X根各點處的側刃后角的變化趨勢。如圖8所示，雙圓弧插齒刀側刃后角從齒頂?shù)烬X根先增大后減小，在漸開線段達到最大；并且隨著頂刃后角增大，側刃后角也增加。可以看出雙圓弧形齒形的側刃后角與漸開線齒形不同，漸開線齒形側刃后角為一定值，不隨半徑的變化而變化，而雙圓弧齒形插齒刀的側刃后角與半徑及該點的壓力角均有關。在頂刃后角一定時，分度圓壓力角越大，越有利于切削；頂刃后角越大，插齒刀側刃后角越大，刀具耐用度越高。

圖8 雙圓弧插齒刀側刃后角Fig. 8 Back angle of side edge of double-arc gear shaper

2.3 插齒刀頂刃前角

插齒刀存在頂刃前角γ，使插齒刀的前刀面為內凹的圓錐面，當插齒刀頂刃前角γ=5°、后角為6.5°時，計算得插齒刀的前刀面如圖9(a)所示，其YZ平面如圖9(b)所示。

圖9 插齒刀前刀面Fig. 9 Rake face of the gear shaper

2.4 插齒刀側刃前角

由于插齒刀前刀面是圓錐面，故插齒刀的側刃也有前角。插齒刀的側刃前角越大，加工表面質量越佳，越有利于切削[17-19]。插齒刀側刃前角應在與切削刃在基面中的投影相垂直的截面，即在N-N截面(圖10)中測量。側刃上任意點A的前角γyc可用式(16)計算[17]：

tanγyc=tanγsinαy，

(16)

式中αy為側刃上任意點處的壓力角。

圖10 雙圓弧插齒刀側刃前角Fig. 10 Front angle of side edge of double-arc gear shaper

針對表1中的剛輪，計算其對應刀具在不同頂刃前角和不同頂刃后角的情況下齒頂?shù)烬X根段側刃前角的變化情況。

頂刃后角一定時，分別取頂刃前角設計值5°及其前后的3°、4°、6°、7°進行計算分析，如圖11(a)所示，側刃前角從齒頂?shù)烬X根先減小后增加，最大值出現(xiàn)在齒頂與齒根段，最小值出現(xiàn)在漸開線段；并且在同一位置，隨著頂刃前角增加，側刃前角也增加。

頂刃前角一定時，分別取頂刃后角設計值6.5°及其前后的4.5°、5.5°、7.5°、8.5°進行計算分析，結果如圖11(b)所示，側刃前角整體變化趨勢為從齒頂?shù)烬X根先減小后增加，最大值出現(xiàn)在齒頂與齒根段，最小值出現(xiàn)在漸開線段；隨著頂刃后角增加，雙圓弧插齒刀齒頂與齒根處的側刃前角最大值不變，在其余各處，頂刃后角越大，側刃前角越大。

圖11 插齒刀側刃前角Fig. 11 Front edge angle of the shaper

綜合對比圖11(a)與圖11(b)可以看出，側刃前角隨著頂刃前角增大而增大，并且側刃前角對頂刃前角的敏感性大于頂刃后角。

3 雙圓弧剛輪插齒刀齒形誤差分析

插齒刀切削齒輪時，切削刃上下運動的軌跡表面與被加工齒輪嚙合，故切削刃在基面上的投影應和理論齒形重合才沒有理論上的誤差[18-19]。插齒刀有前角和后角才能進行正常的插齒工作。插齒刀有后角時，插齒刀的齒形表面是雙圓弧螺旋面；插齒刀頂刃前角γ=0°時，刀具的前刀面為刀具理論齒形，沒有誤差，當插齒刀的頂刃前角γ>0°時，刀具的前刀面為圓錐面，前刀面和齒形表面(雙圓弧螺旋面)的交線(切削刃)在基面中的投影已不是刀具的理論齒形。切削刃投影與插齒刀理論齒形之間的誤差稱為插齒刀齒形誤差。如圖12所示，如以Ⅱ-Ⅱ截面中的理論齒形為基準，則齒頂在Ⅰ-Ⅰ截面中，齒頂厚度增加Δfa(每側)，同理齒根處齒厚將減薄Δff，造成較大的齒形誤差[17]。

圖12 雙圓弧插齒刀齒形誤差分析Fig. 12 Tooth profile error analysis of the double-circular-arc gear shaper

為比較插齒刀齒形誤差對頂刃前角的敏感性，取后角為設計值6.5°，分別取頂刃前角設計值5°及設計值前后的3°、4°、6°、7°作為研究對象，相應的切削刃投影與理論齒形的對比如圖13(a)所示?？梢钥闯?，在靠近齒頂部分，切削刃投影大于插齒刀理論齒形，在靠近齒根部分，切削刃投影小于插齒刀理論齒形，整體齒形誤差如圖13(b)。

圖13 齒形對比與齒形誤差分布示意圖Fig. 13 Tooth profile comparison and tooth profile error distribution

根據(jù)所求理論齒形與切削刃投影，取理論齒形與切削刃投影的法向距離作為誤差，不同前角的切削刃投影與插齒刀齒形誤差分布如圖14(a)?？梢钥闯觯妪X刀齒形誤差隨著弧長增加由正值逐漸過渡為負值；在齒頂部分誤差為正，切削刃投影大于刀具理論齒形，并且隨著頂刃前角增加，誤差逐漸減小，但誤差最大值不變；在齒根部分誤差為負，切削刃投影小于刀具理論齒形，并且隨著頂刃前角增加，誤差絕對值逐漸增大；在設計插齒刀的前角時，應盡量減小齒頂誤差和齒根誤差，并使誤差均布在0附近，從而減小插齒刀齒形整體誤差。綜合可知，插齒刀齒根誤差最大值對頂刃前角的敏感性大于插齒刀齒頂誤差最大值；在本組數(shù)據(jù)中，當前角取3°時，插齒刀齒形誤差最小，即前角越小，插齒刀齒形誤差越小，但減小前角不利于切屑流出[19]，因此在設計前角時可在保證切屑正常流出的情況下盡量減小前角。

為比較插齒刀齒形誤差對頂刃后角的敏感性，取頂刃前角為設計值5°，分別取頂刃后角設計值6.5°及設計值前后的4.5°、5.5°、7.5°、8.5°作為研究對象。頂刃后角為插齒刀前刀面齒形求解的必要參數(shù)，頂刃后角不同，插齒刀前刀面的理論齒形也不同，此處不再逐一給出齒形對比圖。

根據(jù)所求理論齒形與切削刃投影，取理論齒形到切削刃投影的法向距離作為齒形誤差，求得齒形誤差分布如圖14(b)。由圖可知，隨著弧長增加，插齒刀齒形誤差逐漸由正值過渡為負值，即在齒頂部分，切削刃投影大于理論齒形，在齒根部分，切削刃投影小于理論齒形；隨著頂刃后角增大，在靠近齒頂段誤差逐漸增大，在靠近齒根段誤差絕對值逐漸增大，即頂刃后角越大，插齒刀齒形綜合誤差越大；齒頂段誤差最大值大于齒根段誤差最大值，即插齒刀齒頂誤差最大值對頂刃后角的敏感性大于插齒刀齒根誤差最大值。

圖14 插齒刀齒形誤差Fig. 14 Tooth shape error of the shaper

4 算 例

諧波傳動為高精密傳動，因此對加工諧波齒輪的插齒刀有較高的精度要求，通常為AA級精度，參考行業(yè)標準小模數(shù)直齒插齒刀JB/T 3095—2006[20]，模數(shù)在0.1～0.5 mm范圍內AA級精度插齒刀的齒形誤差應小于等于3 μm，該齒形誤差為插齒刀有效齒廓雙邊誤差最大值的總和，即圖14中正負誤差絕對值最大值的和，下文統(tǒng)一稱為標準齒形誤差。

以表1中剛輪對應的插齒刀為例，由幾何關系可知，插齒刀齒頂處誤差最大值由頂刃后角決定，由圖14(b)可以看出，當頂刃后角為8.5°時，插齒刀齒頂處誤差即插齒刀單邊誤差最大值已達到3 μm，因此該角度不可選用。下面結合頂刃前角進一步選取合適的前角和后角。當頂刃后角為7.5°時，分別取前角為3°、4°、5°、6°、7°，計算其標準齒形誤差；同理可求頂刃后角為6.5°、5.5°、4.5°時的標準齒形誤差，如圖15。由圖可知，滿足精度要求的前后角組合有(3°，4.5°)(3°，5.5°)(3°，6.5°)(3°，7.5°)(4°，4.5°)(4°，5.5°)和(5°，4.5°)。

圖15 不同前后角插齒刀標準誤差Fig. 15 Standard errors of gear-shaper cutters with different front angles and different rear angles

增大插齒刀頂刃前角與頂刃后角有利有弊[17]。增大頂刃前角，可提高加工表面質量，增加刀具的耐用度，但插齒刀齒形誤差增大，而諧波傳動屬于高精密傳動，其表面質量要求高，因此刀具在滿足精度要求的條件下可選擇較大前角；增大插齒刀頂刃后角，可明顯提高刀具耐用度，但會降低刀具的可刃磨次數(shù)，增加刀具齒形誤差，雙圓弧諧波傳動剛輪插齒刀加工成本高，因此提高其使用壽命十分重要，而小模數(shù)插齒刀，其可刃磨長度較短，減小后角可增加其可刃磨長度，因此在滿足精度要求的條件下，可選擇較小頂刃后角。綜合分析可得，對加工表1中剛輪的插齒刀，頂刃前角可選擇5°，頂刃后角可選擇4.5°，由圖6可知，此時插齒刀可刃磨長度為4.8 mm；由圖14(b)可以看出，此時插齒刀齒頂處齒形誤差為1.574 μm，齒根處齒形誤差為-1.1531 μm，標準齒形誤差為2.7271 μm，滿足AA級插齒刀齒形精度要求。

5 結 論

1)基于嚙合原理，建立雙圓弧剛輪加工坐標系，依據(jù)剛輪齒形，采用運動學法求解插齒刀齒形及齒面數(shù)學模型。該方法基于柔輪齒形推導出剛輪齒形、剛輪齒形進一步求解插齒刀齒形的技術路線，可保證柔輪與剛輪的共軛關系。

2)雙圓弧插齒刀可刃磨長度隨頂刃后角增大而減小；側刃后角的大小與該點的半徑及壓力角大小均有關，頂刃后角越大，側刃后角越大。

3)側刃前角在齒頂與齒根段達到最大值，在漸開線段最小，側刃前角隨頂刃前角增加而增加，隨頂刃后角增加而增加，并且側刃前角對頂刃前角的敏感性大于對頂刃后角的敏感性。

4)頂刃后角一定時，頂刃前角越大，插齒刀標準齒形誤差越大；齒根誤差最大值對頂刃前角的敏感性大于齒頂誤差最大值對頂刃前角的敏感性。頂刃前角一定時，頂刃后角越大，標準齒形誤差越大，并且齒頂誤差最大值對頂刃后角的敏感性大于齒根誤差最大值對頂刃后角的敏感性。在設計插齒刀時，可在保證插齒刀齒形精度要求的條件下，選取較大的頂刃前角和較小的頂刃后角，這樣既可保證插齒刀的齒形精度，又可提高插齒刀的可刃磨長度。