駱芊茜

摘? 要：要求建立一個(gè)兩自由度（2R）的機(jī)械手臂模型，具體參數(shù)參照個(gè)人手臂數(shù)據(jù)設(shè)置，實(shí)現(xiàn)打磨功能。在設(shè)定的運(yùn)行距離內(nèi)可實(shí)現(xiàn)在墻壁上沿x軸方向直線運(yùn)動(dòng)（y方向保持不變），打磨速度恒定，打磨力度保持不變（fx，fy恒定）。通過位置反解的幾何方法由末端執(zhí)行器的位置反解出關(guān)節(jié)變量θ，再運(yùn)用靜力學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解得到關(guān)節(jié)力矩，并用Matlab軟件仿真出機(jī)械臂模型的電機(jī)輸出力矩與時(shí)間的關(guān)系曲線。

關(guān)鍵詞：逆雅可比矩陣? 逆動(dòng)力學(xué)? 幾何分析? 拉格朗日方程

中圖分類號：TP181 ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2021）02（c）-0100-05

Design of Two-degree-of-freedom Grinding Robot

LUO Qianqian

（Liangxin College， China Jiliang University， Hangzhou， Zhejiang Province， 310018 China）

Abstract： It is required to establish a two-degree-of-freedom （2R） mechanical arm model， and the specific parameters are set according to the personal arm data to achieve the grinding function. Within the set running distance， the wall can move in a straight line along the x axis （y direction remains unchanged）， the grinding speed is constant， and the grinding strength remains constant （fx， fy is constant）. The geometric method of inverse position solution was used to solve the joint variable θ from the position of the end-effector， and then the joint torque was obtained by using statics and inverse kinematics. The relation curve between the motor output torque and time of the manipulator model was simulated with MATLAB software.

Key Words： Inverse Jacobian matrix; Inverse dynamics; Geometric analysis; Lagrange equations

1? 機(jī)械臂模型及實(shí)現(xiàn)功能

打磨機(jī)械臂模型為兩自由度的兩連桿平面機(jī)械臂，可在設(shè)定的運(yùn)行距離內(nèi)在墻壁上沿x軸方向沿直線運(yùn)動(dòng)，打磨速度恒定，即vx=C，vy=0（C為常數(shù)），打磨力度保持不變（fx，fy恒定）。定義機(jī)械臂長度為a1，a2;質(zhì)量m1，m2均勻分布，且質(zhì)心在各連桿的中心，且關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)無摩擦，具體模型如圖1所示。

2? 模型建立

首先建立平面二連桿機(jī)械臂的DH參數(shù)表見表1[1]。

2.1 逆動(dòng)力學(xué)

動(dòng)力學(xué)可以分為正動(dòng)力學(xué)和逆動(dòng)力學(xué)，正動(dòng)力學(xué)通過給定機(jī)器人的幾何和慣性參數(shù)及其關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和力，求得關(guān)節(jié)加速度，而逆動(dòng)力學(xué)則是通過給定機(jī)器人的幾何和慣性參數(shù)及關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)（即其位置、速度和加速度），計(jì)算相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和力[2]。

該文已知機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)方向、位置以及運(yùn)動(dòng)速度，運(yùn)用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和向內(nèi)迭代法，求所需的各關(guān)節(jié)力矩，利用拉格朗日方程，定義多連桿系統(tǒng)動(dòng)能和勢能之間的差值：

L=T-U? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

經(jīng)整理可得：

（2）

式中，I為n×n階的廣義向量矩陣：

（3）

：離心加速度和哥氏加速度的n維向量。

向量h也表示為，其中n×n階矩陣C的元素為

θk? ? ? ? ? ? ? ?（4）

：重力加速度的n維向量;

：廣義力的n維向量。

通過上述公式可知，知道各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度、速度以及加速度，即可求得各關(guān)節(jié)該時(shí)刻瞬態(tài)的力矩? ? ? 大小。

2.2 關(guān)節(jié)位置求解

給定末端執(zhí)行器的方向和位置去確定關(guān)節(jié)變量，解決將末端執(zhí)行器在操作空間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)的問題?？梢酝ㄟ^代數(shù)和幾何關(guān)系來找到逆運(yùn)動(dòng)的封閉解。由題意打磨機(jī)械臂打磨速度恒定，沿X軸做直線運(yùn)動(dòng)，末端位置為已知值，通過位置反解的幾何解法可得到θ1、θ2。

幾何分析如圖2所示。

已知機(jī)械臂末端位置為（x，y），由三角函數(shù)定理可知[2]：

（5）

（6）

（7）

即可求得θ1、θ2：

（8）

（9）

2.3 關(guān)節(jié)速度求解

末端執(zhí)行器是串聯(lián)機(jī)械臂的第n個(gè)連桿，它的位置和方向都是隨著變化而變化的，由末端位置（x，y），我們可以推導(dǎo)二連桿雅可比矩陣J如下[3-4]：

（10）

我們保證關(guān)節(jié)二，即雅可比矩陣是滿秩非奇異的：，則已知末端速度vx=C，vy=0（C為常數(shù)），沿x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可求得關(guān)節(jié)速度，：

（11）

經(jīng)整理計(jì)算可求得：

（12）

得到：

（13）

（14）

2.4 關(guān)節(jié)加速度求解

由于末位置是沿x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以末位置的加速度為0，并且只知各關(guān)節(jié)的瞬時(shí)速度，不知道各關(guān)節(jié)速度隨時(shí)間變化函數(shù)，無法求導(dǎo)得各關(guān)節(jié)的加速度函數(shù)，在此我們利用Matlab，選擇小步長Δh，通過計(jì)算各時(shí)間點(diǎn)前后速度差求得瞬態(tài)加速度ai：

（15）

3? 模型實(shí)現(xiàn)

Matlab對于連續(xù)性模型求解存在一定的難度，但可以實(shí)現(xiàn)模型離散化求解。我們通過逆動(dòng)力學(xué)求得機(jī)械臂瞬態(tài)各關(guān)節(jié)力矩，通過已知末位置隨時(shí)間的變化，選取短步長進(jìn)行離散化，求得各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的各關(guān)節(jié)力矩大小，即可得各關(guān)節(jié)力矩隨時(shí)間變化曲線[6]。

假定二連桿m1=m2=0.5 kg;l1=0.6 m;l2=0.7 m;機(jī)械臂末端沿x=-0.75 m處以速度0.05 m/s勻速直線運(yùn)動(dòng)至x=0.75 m處，總距離為1.5 m;總歷時(shí)30 s。

Matlab仿真得：關(guān)節(jié)輸出力矩隨機(jī)械臂末端位置變化曲線，以及關(guān)節(jié)輸出力矩隨時(shí)間變化曲線，見圖3、圖4。

關(guān)節(jié)角度（單位：度）隨時(shí)間變化關(guān)系如圖5所示。

關(guān)節(jié)1、2的角度（單位：弧度制）、角速度、角加速度隨時(shí)間變化關(guān)系見圖6（左圖為關(guān)節(jié)1，右圖為關(guān)節(jié)2）。

由圖6可以看出，該機(jī)械手臂關(guān)節(jié)1輸出力矩總體比關(guān)節(jié)2輸出力矩大，但關(guān)節(jié)2的角速度與角加速度比關(guān)節(jié)1大。

此外該文還做了一定嘗試比較，通過改變兩臂的質(zhì)量為m1=m2=3kg，發(fā)現(xiàn)如圖7所示。

可以看出質(zhì)量增大后，兩個(gè)關(guān)節(jié)輸出的力矩都有增大。

當(dāng)改變墻與機(jī)械臂基座距離時(shí)，y=0.9 m時(shí)，力矩輸出如下圖8：

由上圖可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)關(guān)節(jié)的力矩均有所增大。

4? 結(jié)語

本文運(yùn)用了幾何分解，逆雅可比矩陣，逆動(dòng)力學(xué)等知識，由機(jī)械臂末端信息反推得瞬態(tài)的角度、角速度以及加速度，并求各關(guān)節(jié)瞬態(tài)力矩，利用Matlab軟件對時(shí)間進(jìn)行離散化，對二自由度的打磨機(jī)械臂進(jìn)行了仿真，得出電機(jī)輸出力或力矩與時(shí)間的關(guān)系曲線。我們還改變機(jī)械臂的部分參數(shù)，觀察各參數(shù)變化對機(jī)械臂輸出力矩的影響。

參考文獻(xiàn)

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