李 娜，孫穎娜，王 燁，杜 崇

(黑龍江大學 水利電力學院，哈爾濱 150080)

0 引 言

三江平原是我國重要的商品糧生產基地，降水量的多少直接影響著農業(yè)的灌溉和發(fā)展，許多學者致力于精確地降水量預測研究。陳滬生等[1]應用小波與 ARIMA組合模型對黃山市年降水量進行預測，發(fā)現(xiàn)小波與 ARIMA組合模型預測結果較好。仲遠見等[2]和沈永梅等[3]改進了馬爾可夫鏈預測模型并應用到實例中，預測結果與實測資料相吻合。ARIMA-Markov組合預測模型是在ARIMA模型預測降水量的基礎上，借助馬爾可夫鏈縮小預測區(qū)間，提高降水量預測精度。模型在給出降水量預測值的同時，能夠提供降水量預測區(qū)間、狀態(tài)轉移概率、誤差波動幅度及波動趨勢等信息，該方法對水文序列長度要求不高，方法更加簡單有效[4-7]。本文利用三江平原紅衛(wèi)農場1967—2009年年降水量數據，建立基于自回歸滑動平均模型與馬爾可夫鏈的組合預測模型(ARIMA-Markov組合預測模型)，對紅衛(wèi)農場2009—2019年年降水量進行模擬預測。

1 研究區(qū)概況

紅衛(wèi)農場是黑龍江省的一處國營農場，隸屬于建三江農場管理局。農場位于三江平原東北部的完達山北麓、撓力河畔，南、北低洼，沼澤較多，中間平坦且土壤肥沃。氣候屬寒帶大陸季風氣候，平均年有效積溫2 300～2 400 ℃，平均年降水量550 mm，無霜期為130 d左右，適宜作物生長，具有生產優(yōu)質水稻獨特優(yōu)勢。

紅衛(wèi)農場總播種面積39 666.67 hm2，糧食總產36.83×104t。曾多次獲得“全國糧食生產先進場”稱號，并被農業(yè)部授予“水稻標準化生產示范場”稱號[8]。多年來，紅衛(wèi)農場憑借良好的生態(tài)環(huán)境和科學化種植，奠定了綠色產業(yè)的雄厚基礎。

2 ARIMA-Markov組合模型的構建

2.1 ARIMA預測模型

ARIMA模型是將預測對象隨時間推移而形成的數據序列視為一個隨機序列，用一定的數學模型來近似描述這個序列。模型被識別后從時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預測未來值。該模型將非平穩(wěn)時間序列轉化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值進行回歸。ARIMA模型根據原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動平均過程(MA)、自回歸過程(AR)、自回歸移動平均過程(ARMA)以及ARIMA過程。ARIMA 模型適合預測線性、穩(wěn)定的時間序列，能夠有效去除序列的趨勢成分，使數據的隨機過程平穩(wěn)化。

ARIMA模型較為簡單，模型不需要借助其他外生變量，要求時間序列數據是穩(wěn)定的，或者是通過差分化后是穩(wěn)定的，只能預測線性關系，不能預測非線性關系。方法簡單易操作，但預測精度一般。

2.2 Markov預測模型

馬爾可夫鏈是對系統(tǒng)狀態(tài)用隨機變量表示的一種隨機過程。每一個階段的系統(tǒng)狀態(tài)都對應一定的概率(狀態(tài)概率)，若系統(tǒng)某一階段狀態(tài)發(fā)生改變，就存在狀態(tài)轉移概率[9]。狀態(tài)轉移概率只與目前系統(tǒng)所處狀態(tài)有關，與之前狀態(tài)無關，具有這種離散狀態(tài)的隨機系統(tǒng)轉移過程被稱為馬爾可夫過程[10-11]。

馬爾可夫過程是馬爾可夫鏈預測的理論基礎。分析馬爾可夫過程的變化，主要研究鏈內有限隨機過程的狀態(tài)及各個狀態(tài)之間的相互關系，再對鏈的未來狀況進行預測。Markov模型為

x(n)=x(0)Pn

(1)

式中：x(0)和x(n)分別為初始時刻和n時刻的狀態(tài)概率向量；P為狀態(tài)轉移概率矩陣。

狀態(tài)轉移概率指在事件的發(fā)展變化過程中，如果某一時刻的所在狀態(tài)為起點，那么未來某時刻發(fā)展為其它狀態(tài)的可能性。由狀態(tài)Ei轉為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉移概率P(Ei→Ej)，表達式為

P(Ei→Ej)=P(Ej/Ei)=Pij

(2)

狀態(tài)轉移概率矩陣：設某事件有n個發(fā)展狀態(tài)，即E1，E2，…，En。若由Ei轉變?yōu)镋j的狀態(tài)轉移概率記作P(Ei→Ej)，那么矩陣

(3)

稱為狀態(tài)轉移概率矩陣。

Markov預測模型需要通過狀態(tài)劃分確定系統(tǒng)存在的狀態(tài)，然后計算相應的狀態(tài)轉移概率矩陣，得出預測區(qū)間[12]。

Markov預測模型優(yōu)點為一個系統(tǒng)由一個狀態(tài)轉至另一個狀態(tài)的轉換過程中，存在著轉移概率，并且這種轉移概率可以依據其緊接的前一種狀態(tài)推算出來，與該系統(tǒng)的原始狀態(tài)和此次轉移前的馬爾可夫過程無關。缺點在于，理論上只能用于預測短期內的數據，而不適合用于系統(tǒng)中長期數據的預測。

2.3 ARIMA-Markov組合預測模型

基于對以上2種模型的分析，將ARIMA模型與馬爾可夫模型有效結合，充分發(fā)揮2種模型優(yōu)點，建立ARIMA-Markov組合預測模型，對年降水量進行預測，依據相對誤差，判定組合模型的精確度。

ARIMA-Markov組合預測模型建立的基本步驟：①建立ARIMA模型，計算相對誤差;②根據歸一化相對誤差序列劃分狀態(tài)區(qū)間，反歸一化處理得出Markov狀態(tài)區(qū)間(采用1∶0.618比例的黃金分割率法，計算系統(tǒng)存在的狀態(tài)區(qū)間[13-14]);③確定已有年份降水量數據所處的狀態(tài)，應用Markov模型確定狀態(tài)轉移概率矩陣;④根據預測值在不同區(qū)間的概率確定預測值的取值范圍;⑤根據確定的取值范圍，取區(qū)間均值作為最后預測結果。

ARIMA-Markov組合預測模型的優(yōu)點在于：應用Markov模型對ARIMA模型預測的結果進行狀態(tài)區(qū)間劃分，根據狀態(tài)區(qū)間的狀態(tài)轉移概率得出最優(yōu)年降水量區(qū)間，取區(qū)間均值作為最終預測結果。它不同于應用ARIMA模型、Markov模型分別預測年降水量，取2種方法預測結果的均值作為最終預測結果的方法。

3 ARIMA-Markov模型在紅衛(wèi)農場年降水量預測中的應用

3.1 基礎數據處理

以紅衛(wèi)農場1967—2009年年降水量數據率定模型參數，2010—2019年年降水量數據進行模型檢驗。為使年降水量時間序列平穩(wěn)化，對其進行一階差分處理，經過多次試驗，ARIMA(2，1，10)預測效果最佳，相關系數R2=0.388，相關系數偏低，故考慮二階差分處理。通過判斷ACF和偏ACF的拖尾性、截尾性進行參數評估，最終選取ARIMA(p，2，q)為ARIMA(0，2，1)模型最為合適[15-16]。

依據ARIMA(0，2，1)模型對紅衛(wèi)農場1967—2009年年降水量數據進行擬合，預測2010—2019年年降水量，劃分年降水量狀態(tài)區(qū)間，并對相對誤差序列進行歸一化處理[17-18]，預測檢驗結果與歸一化處理結果見表1。由表1可見，ARIMA模型預測年降水量均位于置信區(qū)間內，且與真實值差異較小，相對誤差最大為3.50%，最小為1.74%，平均為2.87%。計算出歸一化相對誤差均值為0.391 5，由此劃分[0，0.226 5]， ( 0.226 5，0.618 0)和 [0.618 0，1] 3個狀態(tài)區(qū)間。反歸一化將各區(qū)間還原，其對應區(qū)間分別為[-0.035 0， -0.031 0]， (-0.031 0，-0.024 1)，[-0.024 1，-0.017 4]。

表1 ARIMA模型預測結果與誤差歸一化處理

根據劃分好的區(qū)間，確定對應年份所處的狀態(tài)，求得狀態(tài)轉移概率矩陣(步長為1)為[19-20]

(4)

3.2 組合模型應用

設q為原狀態(tài)區(qū)間的分界值，X(0)(t)為還原后的區(qū)間分界值，Q(0)(t)為預測值[21]。則

(5)

可以得到

(6)

根據式(6)計算2010—2019年年降水量，結果見表2。

表2 2010—2019年ARIMA-Markov模型預測結果

續(xù)表2

ARIMA模型與ARIMA-Markov模型預測結果精度見表3。由表3可見，ARIMA-Markov組合模型預測的相對誤差明顯低于ARIMA模型。依據ARIMA-Markov組合模型對紅衛(wèi)農場2010—2019年年降水量預測，其預測值均以最大概率落在對應的預測區(qū)間內，相對誤差最大為3.42%，平均為1.34%。說明該模型應用于紅衛(wèi)農場年降水量預測可行且有效。

表3 ARIMA模型與ARIMA-Markov模型預測結果比較

4 結 論

以三江平原紅衛(wèi)農場43 a的年降水量資料，構建了ARIMA-Markov組合模型，并對紅衛(wèi)農場 2010—2019年年降水量進行了預測。結果表明：ARIMA-Markov組合模型預測的最大相對誤差為3.42%，平均相對誤差為1.34%，預報精度令人滿意。組合模型在數據有限的情況下，簡便易操作，該組合模型不但能精確地預測年降水量，并能給出年降水量預測區(qū)間和其概率，其結果可為農業(yè)生產及水資源規(guī)劃等決策工作提供科學的依據。