李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué)，浙江 嘉興 314500)

1 例題呈現(xiàn)與簡評

如圖1所示，在水平地面上固定著相距為L的足夠長粗糙導(dǎo)軌PQ及MN，PQNM范圍內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度可以調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場，方向豎直向上，導(dǎo)軌左側(cè)末端接有電動勢為E、內(nèi)阻為r的電源，開關(guān)K控制電路通斷。質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌方向靜止置于其上，與導(dǎo)軌接觸良好。電路中其余電阻均忽略不計。導(dǎo)軌右側(cè)末端有一線度非常小的速度轉(zhuǎn)向裝置，能將導(dǎo)體棒水平方向速度轉(zhuǎn)為與地面成θ角方向且不改變速度大小。導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動時受到恒定的阻力f，導(dǎo)軌棒發(fā)射離開導(dǎo)軌后，在空中會受到與速度方向相反、大小與速度大小成正比的阻力，f0=kv，k為比例常數(shù)。導(dǎo)體棒在運(yùn)動過程中只平動、不轉(zhuǎn)動。調(diào)節(jié)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，閉合開關(guān)K，使導(dǎo)體棒獲得最大的速度。

圖1

(1) 求導(dǎo)體棒獲得最大的速度vm；

(2) 導(dǎo)體棒從靜止開始達(dá)到某一速度v1的過程中滑過的距離為x0，導(dǎo)體棒ab發(fā)熱量為Q，求電源提供的電能及通過電源的電量q；

(3) 調(diào)節(jié)導(dǎo)體棒初始放置的位置，使其在到達(dá)NQ時恰好達(dá)到最大速度，最后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體棒以v的速度豎直向下落到地面上。求導(dǎo)體棒自NQ運(yùn)動到剛落地這段過程的平均速度大小。

此題把含源電路和電磁感應(yīng)問題與考慮阻力的拋體運(yùn)動巧妙地熔于一爐，還設(shè)計了一個最值問題?？上?，最后的拋體問題設(shè)計犯了一個科學(xué)性錯誤。

2 原題參考答案

本題的前兩問是常規(guī)的電磁感應(yīng)與動力學(xué)、能量相結(jié)合的綜合題，解題方法也比較常規(guī)，在這里不再贅述，下面著重討論第(3)問的解答。

3 問題探討

該題第(3)問仍然是將動量定理和電磁感應(yīng)相結(jié)合，但結(jié)合方式換成了一個純粹的力學(xué)模型，試題命制者的意圖是讓學(xué)生在水平方向上運(yùn)用動量定理求出水平位移，在豎直方向運(yùn)用動量定理求出運(yùn)動總時間，但犯了一個科學(xué)性錯誤，導(dǎo)體棒ab不可能以速度v豎直向下落到地面，也就是導(dǎo)體棒ab在水平方向上的分速度不可能是0。

還有一個經(jīng)典的有關(guān)拋體運(yùn)動的錯題是：已知雨滴在空中運(yùn)動時所受的空氣阻力f=kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴的半徑，v為雨滴下落速度，雨滴由靜止開始沿豎直方向下落，落地前雨滴已做勻速直線運(yùn)動，且速率為v0，用a表示雨滴的加速度，g表示重力加速度，下列圖像中可能正確的是( )。

圖2

不少教輔資料上都有這道題，普遍認(rèn)為A選項(xiàng)是對的，理由是小球受到的阻力隨著速度增大而增大，所以小球下降過程中加速度一定減小。但這種分析未免草率，只知道阻力隨著時間增加，加速度在減小，如何確定加速度就是這么平滑地變化？實(shí)際上此問題需要解一個較復(fù)雜的微分方程。

圖3

在此類問題中，雖然達(dá)到收尾速度需要無限長時間，但這些與時間相關(guān)的物理量如電量和熱量卻是收斂的。如含容電路的問題：電容器初始電壓為U，導(dǎo)體棒初速度為0，回路電阻為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度是B，不考慮阻力，導(dǎo)軌足夠長。

圖4

4 結(jié)語

在物理學(xué)發(fā)展的過程中，微分方程始終伴隨著物理學(xué)的成長。高中物理問題的解決通常采用初等數(shù)學(xué)方法，難免在一些初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)處理的邊界之處會出現(xiàn)一些“沖突”，有些問題可以回避，有些問題要正面面對并解決，不能出現(xiàn)科學(xué)性的問題。