宋 超，司維超，黎志強

（海軍航空大學，煙臺，264001）

0 引 言

高超聲速飛行器經(jīng)過遠距離、長時間滑翔飛行后到達目標區(qū)域，開始執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)。作為飛行器再入飛行的最后階段，末攻擊段的制導效果直接影響到作戰(zhàn)任務(wù)的成敗。

針對攻擊目標移動的特點，再入攻擊末制導多采用預測校正制導方法[1～3]。文獻[1]研究了一種基于負加速度的預測校正制導方法，該方法首先獲取阻力加速度剖面模型，通過數(shù)值預測，得到阻力加速度與航程的關(guān)系實時校正從而消除航程偏差。文獻[3]采用基于航路點的預測校正制導方法，將整個軌跡分為預測校正階段及在線生成跟蹤階段，在線生成新的可行參考軌跡。雖然預測校正制導不依賴于預先裝訂的軌跡，但仍存在兩個問題：一是軌跡優(yōu)化算法大多需要耗費計算機時，難以實現(xiàn)在線實時計算；二是算法執(zhí)行過程中出現(xiàn)的誤差難以在線實時修正。

而近年，偽譜反饋算法在各種導航、制導與控制問題中得到了有效的應用，如航天器轉(zhuǎn)向機動[4]、實時最優(yōu)控制穩(wěn)定性分析[5]、最優(yōu)反饋制導[6]等。文獻[5]給出了2種基于Radau偽譜的實時反饋控制算法，在自由采樣情況下，對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，并應用到了機械臂及倒立擺的控制問題中。文獻[6]給出了基于hp自適應偽譜法的實時最優(yōu)反饋控制方法，并將其應用到軌跡優(yōu)化領(lǐng)域中。文獻[7]利用最優(yōu)反饋控制和軌跡快速重構(gòu)技術(shù)，設(shè)計一種有限推力空間遠程變軌自適應閉環(huán)制導方法。

為滿足飛行器在線實時計算的要求，本文將利用偽譜反饋算法對飛行器末制導方法進行研究。首先，給出了一種在線求解非線性最優(yōu)控制問題的算法；然后，證明了該算法的收斂性；最后通過分別對固定目標及移動目標進行仿真，驗證了所提方法的有效性。

1 實時最優(yōu)偽譜反饋末制導算法

實時最優(yōu)偽譜反饋算法的應用過程如圖1所示。具體的算法步驟描述如下：

圖1 偽譜反饋連續(xù)應用過程Fig.1 Pseudospectral Feedback Application Process

a）步驟1：選定節(jié)點個數(shù)N、第1次優(yōu)化時刻1t，初始狀態(tài)x0及終端狀態(tài)xf，應用GPOPS離線計算最優(yōu)控制量，生成最優(yōu)軌跡。

b）步驟2：計算t1時刻的狀態(tài)為x1＝x1(t)，在[t0,t1]時間段內(nèi)，將u0*(x(t0),t)應用于軌跡控制上，令i＝1。

c）步驟3：在時間段[ti,ti+1]內(nèi)，根據(jù)上步計算的ti時刻的狀態(tài)值xi和終端狀態(tài)值xf，應用GPOPS實時計算最優(yōu)控制量，t?[ti,tf]，生成ti時刻點至終點的最優(yōu)軌跡；而在此時間段內(nèi)，作用在系統(tǒng)上的控制量是。設(shè)Δti為優(yōu)化時間，則ti+1＝ti+Δti。

d）步驟4：令i＝i+1，返回步驟3。

以u2*(x(t2),t)為例，來說明偽譜反饋末制導算法的實施過程：用u*2(x(t2),t)表示以t2時刻狀態(tài)量x2為初始狀態(tài)、xf為終端狀態(tài)，應用GPOPS優(yōu)化生成最優(yōu)軌跡時所需的系統(tǒng)控制量，記所需的優(yōu)化時間為Δt2，在此期間，作用于系統(tǒng)上的最優(yōu)控制為前一次優(yōu)化過程得到的控制量u1*(x(t1),t)，而在t2+Δt2＝t3時刻后，最優(yōu)控制量u2*(x(t2),t)才被應用于系統(tǒng)上，且應用時間的長短取決于以x3為初始狀態(tài)、xf為終端狀態(tài)，優(yōu)化計算新的最優(yōu)軌跡所需的時間。

2 算法收斂性分析

定義實際系統(tǒng)動力學方程為

式中p為實際系統(tǒng)參數(shù)；d(t)為外部干擾輸入。

式中xR為實際系統(tǒng)狀態(tài)量；xM為理想的系統(tǒng)狀態(tài)量；p0為系統(tǒng)參數(shù)初始值；t為控制量作用時間。

因此，t＝ti+1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)決定于控制量的作用，即：

由于存在計算時間延遲及干擾d(t)和不確定性p的影響，實際系統(tǒng)狀態(tài)量xR與理想的系統(tǒng)狀態(tài)量xM之間存在偏差。將式（4）減去式（2）得：

假設(shè)1：對于任意狀態(tài)量x，函數(shù)f(x,u,t;p)是利普希茨（Lipschitz）連續(xù)的，則式（5）可寫成：

式中L為函數(shù)的Lipschitz常數(shù)。

引理1：（Gronwall 定理[8]）令y(t)R+?是滿足如下Gronwall不等式的可積函數(shù)：

式中a,b為連續(xù)非負有界函數(shù)，且a(t)在[t0,tf]時間內(nèi)非減。則有下式成立：

令δ＞0是使得下式成立的最小值：

式中αi?(0,1)且。則有下述結(jié)論成立：

定理1：對任意ε＞0，若計算時間滿足：

證明：由式（6）至式（9）可得：

則由引理1，式（11）化為：

由Lambert W函數(shù)定義可知，對y,z?R+，若z≤W(y)，則有zez≤y。因此，由式（10）和式（12）可得：

3 仿真研究

高超聲速飛行器無動力運動方程見參考文獻[9]。各變量的限制為

式中h，θ，φ，v，ψ，χ分別為高度、經(jīng)度、緯度、速度、航跡角、航向角，均為狀態(tài)量；α，σ分別為攻角、傾斜角，為控制量。

設(shè)飛行器再入初始值如表1所示。

表1 飛行器狀態(tài)初始值Tab.1 Initial Value of Aircraft State

3.1 目標位置固定

假設(shè)地面固定目標位置：經(jīng)度為5°，緯度為3°。為提高末攻擊段的制導精度，引入終端約束為

仿真結(jié)果見圖2至圖9。

圖2 高度變化曲線Fig. 2 The Curve of Height

圖3 速度變化曲線Fig.3 The Curve of Speed

圖4 經(jīng)度變化曲線Fig.4 The Curve of Longitude

圖5 緯度變化曲線Fig.5 The Curve of Latitude

圖6 航跡角變化曲線Fig.6 The Curve of Flight Path Angle

圖7 航向角變化曲線Fig.7 The Curve of Azitude Angle

圖8 攻角變化曲線Fig.8 The Curve of Attack Angle

圖9 傾斜角變化曲線Fig.9 The Curve of Bank Angle

從圖2至圖9可以看到：終端約束條件得到滿足，高度、速度和航跡角均在設(shè)定的約束范圍之內(nèi)；且飛行器最終準確攻擊到位于（5°，3°）的目標點。

3.2 目標機動

目標由于機動，其位置并非時刻精確已知，而是通過衛(wèi)星、地基雷達、預警機等偵查預警系統(tǒng)和飛行器的機載雷達或紅外傳感器等設(shè)備探測。當目標信息傳輸給飛行器，飛行器將根據(jù)新的末端位置，應用偽譜反饋制導算法生成新的最優(yōu)再入軌跡。目標未知信息校正次數(shù)越多，攻擊命中精度越高。算法流程如圖10所示。

圖10 攻擊機動目標制導算法流程Fig.10 Guidance Algorithm Flow Chart of Attacking Maneuvering Target

不失一般性，本文對目標位置進行3次校正，并仿真比較其落點偏差。

假設(shè)移動目標初始位置為：經(jīng)度5°，緯度2°。沿著經(jīng)度線做勻速運動，速度為37.04 km/h。

從圖11、圖12可見，飛行器通過偽譜反饋制導方 法可以修正由于目標移動帶來的落點偏差。且校正次數(shù)越多，制導精度越高。但是制導時間也會相應增加。制導誤差對比如表2所示。

圖11 校正的三維軌跡Fig.11 Three-dimensional Trajectory of Adjusting Once

圖12 三維軌跡的地面投影Fig.12 Ground Projection Figure of Adjusting Once

表2 制導誤差對比Tab.2 Guidance Error Constrast

4 結(jié)束語

本文針對飛行器攻擊機動目標的任務(wù)要求，提出了一種偽譜反饋實時最優(yōu)制導方法，并從理論上證明了該算法的收斂性。通過仿真可以看出，攻擊固定目標時，該方法能引導飛行器準確飛向目標；當目標慢速機動時，制導精度隨著目標位置的校正次數(shù)增多而增高。仿真驗證了偽譜反饋制導方法的可行性和優(yōu)越性。