張莉莉 ,婁 媛 ,胡祥培

(1.大連海事大學 航運經(jīng)濟與管理學院,遼寧 大連 116026；2.大連理工大學 商學院,遼寧 盤錦 124221；3.大連理工大學 系統(tǒng)工程研究所,遼寧 大連 116024)

隨著標準式產(chǎn)品或定型產(chǎn)品的生產(chǎn)越來越多,“需求預測型”生產(chǎn)模式成為該類產(chǎn)品普遍采用的生產(chǎn)方式,例如鋼鐵、汽車、電視機、小型機床等,即企業(yè)根據(jù)預測的產(chǎn)品需求量,結合自身的生產(chǎn)能力、生產(chǎn)效率及生產(chǎn)時間確定滿足預測需求的前提下,成本最小化的生產(chǎn)方案。然而,由于“黑天鵝”事件時有發(fā)生,消費者需求變動頻繁等原因,實際需求與預測需求不一致,生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)計劃變更的現(xiàn)象屢見不鮮。例如,2020年,受全球新冠疫情的影響,為了新車供應與下滑的海外需求相匹配,豐田在日本實施生產(chǎn)計劃調整措施,4月上半月豐田將旗下5家日本工廠的生產(chǎn)線調整開機運行時間；再如,新冠肺炎疫情發(fā)生以來,口罩成為疫情防控必需的醫(yī)療物資,中國國家能源集團所屬化工公司調整生產(chǎn)線轉變產(chǎn)品類型,同時改變生產(chǎn)線運行時間,將產(chǎn)品調整為口罩、防護服等醫(yī)用防護品的紡絲料。由此可見,需求變動[1-2]已經(jīng)是制造企業(yè)面臨的常態(tài)環(huán)境,企業(yè)如何調整生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品種類和數(shù)量,以適應外部動態(tài)環(huán)境下新的產(chǎn)品需求,是企業(yè)管理者經(jīng)常面對的一個決策難題。

如何調整企業(yè)生產(chǎn)計劃,使得新的生產(chǎn)計劃滿足實際的需求,同時為了保障生產(chǎn)的穩(wěn)定性,要求資源配置方案調整幅度越小越好。針對此問題,實業(yè)界主要依靠生產(chǎn)計劃員的主觀經(jīng)驗調整生產(chǎn)資源配置方案,該方法能夠滿足客戶的需求,但是無法保障生產(chǎn)計劃調整給企業(yè)帶來的成本損失最小化；學術界主要采用優(yōu)化建模的方法,該類方法是在需求預測的基礎上,考慮不同的需求情況,基于樂觀、悲觀和中立的決策主體特征,制定生產(chǎn)計劃。然而,需要指出的是,學術界對于生產(chǎn)計劃的建模主要是采用正向思維,在已知的生產(chǎn)資源各項參數(shù)剛性不變的情況下,尋求滿足各類產(chǎn)品預測產(chǎn)量的成本越小越好的生產(chǎn)方案。該類方法無法解決在一定的生產(chǎn)計劃下,需求發(fā)生變動,通過對原資源配置方案進行最小化的調整,使得新的生產(chǎn)計劃與實際需求契合的問題。

在學術界,生產(chǎn)計劃主要分為主生產(chǎn)計劃和集成生產(chǎn)計劃?，F(xiàn)有研究主要從確定性環(huán)境下的生產(chǎn)計劃,轉到面向不確定性環(huán)境的生產(chǎn)計劃,從數(shù)學方法上有單目標、多目標、魯棒優(yōu)化、隨機優(yōu)化、模糊優(yōu)化以及模糊隨機優(yōu)化等多種生產(chǎn)計劃模型類型。代表性成果有：Gansterern[3]構建了兼顧需求預測與按訂單生產(chǎn)的整合生產(chǎn)計劃系統(tǒng)；Aouam 等[4]構建了面向需求不確定及訂單履行的生產(chǎn)計劃制定方法；Gansterer等[5]針對市場需求變動,構建了基于仿真的生產(chǎn)計劃參數(shù)設定方法；陶星等[6]構建了訂單驅動的生產(chǎn)系統(tǒng)動態(tài)產(chǎn)能分配機制模型。由此可見,訂單驅動的生產(chǎn)計劃問題已經(jīng)引起了學術界的關注,但現(xiàn)有研究主要是以訂單為出發(fā)點和立足點,而實踐中常常是先根據(jù)市場預測制定一個生產(chǎn)計劃,然后根據(jù)消費者需求在原計劃的基礎上進行調整,這種以預測型生產(chǎn)計劃為出發(fā)點,以供需匹配為落腳點,以生產(chǎn)資源調整為依托手段的需求變動驅動下的生產(chǎn)資源最小化調整的逆生產(chǎn)計劃模型及求解方法還鮮有論及。因此,有必要為了滿足現(xiàn)實企業(yè)的實際需求,構建解決此類問題的數(shù)學方法。

正優(yōu)化問題是模型所有參數(shù)都是給定的,從所有的可行解中找到使得目標函數(shù)達到最優(yōu)值的最優(yōu)解。逆問題是一個關于如何將觀測(或預期)結果轉換為系統(tǒng)的參數(shù)信息的廣義框架[7]。本研究的逆優(yōu)化是指已知某一組特定可行解,反演求得參數(shù),使得在新參數(shù)下已知的特定可行解稱為新參數(shù)下的最優(yōu)解的問題,并且使得新參數(shù)與原參數(shù)的改變越小越好。與本研究相關的有數(shù)學視角、管理視角和決策視角3類逆優(yōu)化問題。在數(shù)學理論層面上,逆優(yōu)化是一種參數(shù)反演方法,逆優(yōu)化的反演參數(shù)可以分為目標函數(shù)的參數(shù)和約束條件的參數(shù)。逆優(yōu)化在目標函數(shù)的參數(shù)反演層面上,根據(jù)給定解是否為精確最優(yōu)的候選解可大致分為兩類：一類是隱含地假設有一個可以含有完全最優(yōu)解的原始觀測值的可行集,相應的逆優(yōu)化模型旨在精確地滿足最優(yōu)性條件[8]；另一類則允許觀測值是噪聲的,決策者遭受執(zhí)行錯誤,給出最小化次優(yōu)性度量[9]。除目標函數(shù)外,逆優(yōu)化問題中在確定可行域的參數(shù)輸入方法也越來越受到重視。同時輸入約束和目標函數(shù)參數(shù)的一個關鍵挑戰(zhàn)是所得的逆優(yōu)化模型通常是非凸的。典型成果有：Chan等[10]針對線性規(guī)劃模型的效率系數(shù)的調整問題,建立了相應的逆優(yōu)化模型；Heuberger[11]研究了考慮線性規(guī)劃的資源系數(shù)調整的逆優(yōu)化方法。在管理視角下,逆優(yōu)化是從實踐中已經(jīng)得到的最優(yōu)解,求得參數(shù)的值,在該參數(shù)下使得已知的實踐最優(yōu)解成為模型理論最優(yōu)解,而且盡可能接近參數(shù)的估計值[12]。逆決策視角可以看成是目標導引下決策模型的參數(shù)確定問題,用已知目標反推決策模型的參數(shù),并且,在新參數(shù)下,獲取新的優(yōu)化決策方案[13]。典型成果有：Amin等[14]將目標規(guī)劃和逆優(yōu)化相結合的資源優(yōu)化配置方法；張相斌等[15]基于逆優(yōu)化方法研究供應鏈資源優(yōu)化配置決策問題；魯渤等[16]構建了設施配置逆優(yōu)化方法。通過對現(xiàn)有文獻的分析發(fā)現(xiàn),逆優(yōu)化由果倒因的思想與確定目標、如何創(chuàng)造條件以實現(xiàn)目標的管理決策問題不謀而合。因此,逆優(yōu)化方法越來越受到管理學界的重視,并呈現(xiàn)出欣欣向榮的景象。但是由于生產(chǎn)計劃調整問題有其獨特的特點,從可行性和有效性的角度,需要建立在可靠的產(chǎn)能、效率測量的基礎上,并且需要根據(jù)企業(yè)的實際情況,確定適合柔性調整的生產(chǎn)資源,同時還要確保調整幅度盡可能小。究其原因,任何資源配置的改變,都會牽一發(fā)而動全身,給企業(yè)的正常生產(chǎn)運營秩序帶來混亂。

目前,理論界和實業(yè)界都鮮有最小化調整原生產(chǎn)資源配置方案來應對生產(chǎn)計劃變更的有效解決辦法。需要指出的是,無論是原生產(chǎn)計劃制定的科學與否,還是調整方案制定的是否有效,都是基于對企業(yè)的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)效率判斷的準確性。盡管企業(yè)的生產(chǎn)設備在出廠階段有核定的理論產(chǎn)能和效率標識,但隨著生產(chǎn)設備使用年限的增長,伴隨著設備的老化、磨損等情況,設備的產(chǎn)能和效率都會不同程度的降低,而該產(chǎn)能和效率的降低又難以精確度量。由此可見,設備的生產(chǎn)能力和生產(chǎn)效率參數(shù)也存在一定的不準確性。在生產(chǎn)計劃調整中,一旦調整不好,就很容易引發(fā)生產(chǎn)混亂、廢品增加、成本陡增等問題。因此,如何找到一種準確測量設備生產(chǎn)能力和生產(chǎn)效率的方法是生產(chǎn)計劃調整的前提和基礎。而如何最小化地調整生產(chǎn)資源配置參數(shù),使得新方案對原方案的擾動性最小,是亟待解決的難點問題。

與正優(yōu)化方法相比,采用逆優(yōu)化解決訂單變動的生產(chǎn)資源再調整,具有明顯的優(yōu)越性與適用性。傳統(tǒng)的正優(yōu)化是已知模型及其參數(shù),在可行域范圍內,尋求理論上最優(yōu)的決策方案。正優(yōu)化是一個已知輸入尋求輸出結果的“尋優(yōu)”問題。由此可見,正優(yōu)化方法不適合解決已知優(yōu)化模型的生產(chǎn)計劃結果而反求達到該計劃的最優(yōu)資源參數(shù)的問題。與之相反,逆優(yōu)化是已知結果,反求引發(fā)此結果原因的參數(shù)反演問題,鑒于多種輸入可以得到同一個輸出,在由結果反求原因時,不僅加上參數(shù)調整的可行范圍,同時加上在初始參數(shù)的基礎上,調整量越小越好的目標函數(shù)。根據(jù)逆優(yōu)化的定義,結合本研究要解決的具體管理問題,已知變動后的訂單、原始訂單及其資源配置方案,尋求在原資源配置方案的基礎上,調整越小越好的達到新訂單的資源參數(shù)調整方案。該問題與逆優(yōu)化的思想不謀而合,因此,采用逆優(yōu)化方法來開展此問題的研究具有先進性。

逆優(yōu)化是已知決策方案,通過在最小化的參數(shù)調整的前提下反求參數(shù),以期實現(xiàn)在原生產(chǎn)計劃模型及新的參數(shù)下,模型輸出的理論最優(yōu)結果即為實際生產(chǎn)方案。因此,逆優(yōu)化方法與本研究所要解決的實際需求相匹配。生產(chǎn)計劃逆問題的研究具有挑戰(zhàn)性：其一,逆優(yōu)化模型轉化難,逆優(yōu)化模型的構建是建立在原模型基礎上的,不同的原模型,對應著不同的逆優(yōu)化模型,需要基于對偶理論,基于一系列的數(shù)學推導實現(xiàn)；其二,逆優(yōu)化的求解難,逆優(yōu)化問題常常是不適定問題,本逆生產(chǎn)計劃模型涉及到反求生產(chǎn)線不同的產(chǎn)品種類及其數(shù)量,引發(fā)組合爆炸問題,導致求解難上加難。

基于此,本文采用如下思路開展研究：首先,在生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型方面,正優(yōu)化模型旨在解決需求預測型生產(chǎn)模式下最優(yōu)成本的產(chǎn)品品種及其數(shù)量的生產(chǎn)計劃問題,該模型的建立并不是為了據(jù)此開展決策,而是為逆優(yōu)化模型提供轉化的基礎,原模型在實踐中常常遇到的困難是基于單一設備生產(chǎn)率引發(fā)的參數(shù)不準確和不穩(wěn)定,進而影響了模型的實用性。通過考慮各條生產(chǎn)線的時間開動率、性能開動率以及合格品率的設備綜合效率來測定綜合生產(chǎn)效率,以期提高生產(chǎn)率指標值的準確性和穩(wěn)定性[17]。在各類型產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不低于預測需求數(shù)量、且實際生產(chǎn)時間不超過計劃生產(chǎn)時間的條件下,求解各生產(chǎn)線生產(chǎn)各類型產(chǎn)品的數(shù)量,并且追求最小化總的生產(chǎn)成本,即形成初始生產(chǎn)計劃。其次,在逆優(yōu)化模型轉化方面,構建描述調整成本最小化的函數(shù)表達式,選擇對不同生產(chǎn)線的生產(chǎn)時間進行最小化調整,作為新的決策變量,將原生產(chǎn)計劃模型轉化為與之對應的逆生產(chǎn)計劃模型。將機器學習中的正則化方法引入逆優(yōu)化模型的目標函數(shù),控制決策變量的稀疏性,利用L0范數(shù)減少資源調整類型項數(shù),進而降低逆優(yōu)化過程中的附加成本。最后,在逆優(yōu)化求解方面,將L0范數(shù)非凸優(yōu)化問題轉化為L1范數(shù)問題,并通過絕對值替代法,將L1范數(shù)轉化為標準的線性規(guī)劃模型,再通過構建“松弛約束-中位數(shù)約束-緊松弛約束”三階段產(chǎn)能約束法化解逆優(yōu)化求解中的組合爆炸問題。通過上述方法,在原生產(chǎn)計劃的基礎上,通過逆優(yōu)化反演轉化,可以實現(xiàn)在新的參數(shù)下,滿足變動下的實際需求的同時,保證成本的最小化。

本文有如下貢獻：在理論層面,提出了一種市場需求變動下生產(chǎn)計劃調整的資源再配置問題的解決方法。將生產(chǎn)計劃、生產(chǎn)資源配置與逆優(yōu)化相結合,為面向需求變動的生產(chǎn)計劃調整問題構建了新的數(shù)學模型,能夠給出調整成本最小的滿足新需求的生產(chǎn)資源再配置方案。根據(jù)產(chǎn)品銷售需求的演化結果,由已知的結果來探求生產(chǎn)計劃模型的輸入?yún)?shù),也就是生產(chǎn)資源配置方案,起著倒果求因的作用。將三階段法和L0范數(shù)正則化方法相結合,通過三階段法化解逆優(yōu)化組合爆炸問題的求解難度,通過L0范數(shù)進一步降低資源調整成本。本文轉換了沿著供應鏈的產(chǎn)品流動順序正向進行生產(chǎn)決策的思維方式,改變了按照生產(chǎn)輸入、輸出的自然順序來研究企業(yè)供應鏈演化過程的傳統(tǒng)思維方式,有助于拓展生產(chǎn)計劃研究解決問題的思路。在實踐層面,引入綜合生產(chǎn)率和三階段生產(chǎn)效率的設備產(chǎn)能和效率核定方法,為企業(yè)實際生產(chǎn)狀況提供測量方法,為生產(chǎn)計劃調整提供決策方法支持,不僅最大程度降低了調整成本,也為如何調整給出了方案。有助于企業(yè)有效應對市場需求變動,促進需求變動下的穩(wěn)定生產(chǎn)。

1 生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型

1.1 問題描述與邏輯框架

本文以制造商為決策主體,以下游銷售商訂單數(shù)據(jù)為決策依據(jù),以滿足市場需求前提下最小化資源配置變更成本為決策目標,應用逆優(yōu)化方法提高企業(yè)市場需求響應能力,從而降低因供需不平衡帶來的損失,最大化企業(yè)生產(chǎn)價值。

具體描述如下：一組大型成套生產(chǎn)設備包括多條不同的生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線可以生產(chǎn)不同類型的產(chǎn)品。在哪條生產(chǎn)線生產(chǎn)多少某型號的產(chǎn)品即為大型成套設備的生產(chǎn)計劃。企業(yè)制定生產(chǎn)計劃過程一般包括3個階段：①為了提高生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品對市場的響應速度,企業(yè)根據(jù)需求預測生產(chǎn)資源的配置方案,以助于節(jié)約生產(chǎn)準備時間。這也就表現(xiàn)為構建生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型。②在實際的生產(chǎn)周期中,受到輿情、大規(guī)模突發(fā)事件、促銷活動等方面的影響[18],銷售端零售商根據(jù)消費者對各類型產(chǎn)品真實訂單及偏好需求大數(shù)據(jù)反饋給生產(chǎn)商,形成本周期真實需求數(shù)據(jù)。也就是訂單驅動的真實需求。同時確定企業(yè)可以調整的資源類型。③在本期真實需求數(shù)據(jù)驅動下,由于生產(chǎn)計劃的調整,伴隨著生產(chǎn)資源的調整,生產(chǎn)資源的調整意味著生產(chǎn)成本的增加,故生產(chǎn)計劃調整時要遵循在滿足新的生產(chǎn)需求的前提下調整成本越小越好的原則。

生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型是構建逆優(yōu)化模型的基礎和鋪墊,并不是實質用于決策的優(yōu)化問題,為了方便逆優(yōu)化模型的構建,生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型追求完成預測需求的成本越小越好的生產(chǎn)資源配置初始方案?；诖?生產(chǎn)計劃逆優(yōu)化方法,采用逆向思維,通過逆優(yōu)化的思想和方法,實現(xiàn)既確保滿足客戶訂單需求,又使得資源調整成本最小化,且盡可能小地對原系統(tǒng)進行調整,保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。生產(chǎn)計劃逆優(yōu)化邏輯框架如圖1所示。

圖1 需求變動的生產(chǎn)計劃重配置逆優(yōu)化邏輯框架

1.2 數(shù)學符號及其含義

數(shù)學模型的符號及其含義：

Cv——總可變成本

ci——第i類型產(chǎn)品的單位可變成本

xij——初始生產(chǎn)計劃安排下第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品的實際生產(chǎn)數(shù)量

kij——第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品的生產(chǎn)效率

aij——第j條生產(chǎn)線在單位時間內生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品的數(shù)量

tij——第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品的初始計劃生產(chǎn)時間

αi——初始生產(chǎn)計劃安排中第i種類型產(chǎn)品的最低生產(chǎn)數(shù)量

Cadjust——總調整成本

t1——一個周期所包含的設備可生產(chǎn)時間

pij——增加每單位第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品生產(chǎn)時間的調整成本

qij——減少每單位第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品生產(chǎn)時間的調整成本

rij——第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品生產(chǎn)時間的調整成本

τj——第j條生產(chǎn)線的額定生產(chǎn)能力,表示該條生產(chǎn)線單獨生產(chǎn)某種類型產(chǎn)品的最大數(shù)量,或生產(chǎn)某種產(chǎn)品組合的最大數(shù)量

‖t+‖0——L0范數(shù),t+不為0的個數(shù)

‖t-‖0——L0范數(shù),t-不為0的個數(shù)

E——單位矩陣

1.3 生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型

生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型是在企業(yè)現(xiàn)有資源的生產(chǎn)效率參數(shù)和核定生產(chǎn)能力參數(shù)下,生產(chǎn)不少于預測需求各種產(chǎn)品數(shù)量的成本最小的哪條生產(chǎn)線生產(chǎn)多少哪種產(chǎn)品的決策問題。

(1)生產(chǎn)效率核定方法。生產(chǎn)效率是指生產(chǎn)線單位時間實際生產(chǎn)某種合格產(chǎn)品的數(shù)量。本文應用設備綜合效率指標測量設備效率。設備綜合效率由設備可用率(時間開動率)、表現(xiàn)性(性能開動率)和質量指數(shù)(合格品率)3個關鍵要素測量[19]。可用率指標用以評價停機損失,包括設備故障、原材料短缺等原因引起的計劃外生產(chǎn)停工的全部事件；表現(xiàn)性指標用以評價生產(chǎn)速度損失,包括設備磨損、操作失誤等原因引起的生產(chǎn)降速的所有事件；質量指數(shù)指標用以評價質量損失,反映包括問題產(chǎn)品返工、殘次品損耗等為滿足生產(chǎn)質量要求的所有事件。綜合效率評價模型如下式所示[20]：

式中：Rtime為時間開動率,用設備負荷時間Tload、故障停機時間Tfault以及調整初始化時間Tadjust差值所表示的設備開動時間與設備負荷時間的比率表示：

Rperformance為性能開動率,用設備凈開動率Rnet(具體表示為加工數(shù)量與實際加工周期的乘積與設備開動時間的比值)與速度開動率Rspeed(表示理論加工周期與實際加工周期的比值)的乘積：

Rqualified為合格品率,用合格產(chǎn)品數(shù)量Qqualified與加工產(chǎn)品數(shù)量Qprocessing的比率表示。即

進而,全局設備效率可表示為

(2)額定生產(chǎn)能力確定方法及其與方案關聯(lián)。τ是額定生產(chǎn)能力,即某條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品的最高數(shù)量或某幾種產(chǎn)品組合的最高數(shù)量。

生產(chǎn)方案是指基于構建的運籌學模型,具體包括正優(yōu)化模型、常規(guī)的逆優(yōu)化模型、引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型,以及為了求解L0范數(shù)逆優(yōu)化模型而構建的L1范數(shù)的逆優(yōu)化模型和求解轉化為線性規(guī)劃的逆優(yōu)化模型的最優(yōu)化而確定的。最優(yōu)生產(chǎn)方案確定的前提是模型及其參數(shù)是已知且唯一的。當模型參數(shù)不同時,通過模型求解得到的生產(chǎn)方案也隨之不同。本文所構建的模型的特殊性在于：額定生產(chǎn)能力τ不是唯一的,根據(jù)生產(chǎn)線額定生產(chǎn)能力的定義,生產(chǎn)線的額定生產(chǎn)能力是指該條生產(chǎn)線生產(chǎn)一種或幾種產(chǎn)品組合的產(chǎn)品的最大數(shù)量。由于每一條生產(chǎn)線都可以生產(chǎn)m種不同的產(chǎn)品,考慮所有產(chǎn)品的組合情況,即每一條生產(chǎn)線的額定生產(chǎn)能力都有2m-1個取值情況。在每一個取值下,都會對應一組生產(chǎn)方案。即生產(chǎn)方案會隨著τj取值的不同而發(fā)生變動。

(3)正優(yōu)化生產(chǎn)計劃模型構建。生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型是在預測型需求生產(chǎn)模式下,在各類型產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不低于預測需求數(shù)量、且實際生產(chǎn)時間不超過計劃生產(chǎn)時間的條件下,總成本最小的各生產(chǎn)線生產(chǎn)的各類型產(chǎn)品的數(shù)量,即原生產(chǎn)計劃。固定成本不受生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量增減變動影響,不影響決策,可變成本在一定期間內與產(chǎn)品產(chǎn)量具有正相關關系。因此,本文以最小化企業(yè)生產(chǎn)成本為目標函數(shù),目標函數(shù)可簡化為最小化企業(yè)生產(chǎn)可變成本。

設企業(yè)有m種產(chǎn)品,n條生產(chǎn)線,則原生產(chǎn)計劃優(yōu)化模型為：

并且,生產(chǎn)線在某類產(chǎn)品的生產(chǎn)時間tij與產(chǎn)量xij有如下關系：

1.4 基于時間調整的生產(chǎn)計劃調整逆優(yōu)化模型

生產(chǎn)計劃調整逆優(yōu)化模型主要解決的問題是：由于市場需求變化必須對生產(chǎn)計劃進行變更,在滿足新生產(chǎn)要求的條件下,通過最小化各生產(chǎn)線的各類型產(chǎn)品生產(chǎn)時間調整量,達到滿足實際市場需求的優(yōu)化生產(chǎn)資源配置方案,同時要降低生產(chǎn)變動成本。逆優(yōu)化模型是指在市場需求訂單與現(xiàn)有資源約束條件下,求解使得調整成本最小的各類產(chǎn)品生產(chǎn)時間配置方案。逆優(yōu)化模型可表示為：

資源配置方案的調整會帶來對生產(chǎn)的擾動,破壞生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。決策者希望盡可能少地調整原有資源配置,這不僅體現(xiàn)在資源變動的數(shù)量上,同樣也體現(xiàn)在變動資源項數(shù)上,當資源調整量相同時,資源調整項數(shù)越多,目標函數(shù)值越大；反之,目標函數(shù)越小。為減少因過多項資源變動而帶來的附加成本,引入L0范數(shù)降低資源變動項數(shù),L0范數(shù)描述向量中非0元素的個數(shù),L0范數(shù)在模型中可以使正則化項(即模型參數(shù)向量分量)盡量稀疏[21]。L0范數(shù)逆優(yōu)化模型如下所示：

式中：

表示t+不為0的個數(shù)；

表示t-不為0的個數(shù)。

1.5 逆優(yōu)化模型求解

逆優(yōu)化模型的決策變量為時間調整量：t+ij為生產(chǎn)時間增量,t-ij為生產(chǎn)時間減量,故

對同一條生產(chǎn)線,增加某一產(chǎn)品的生產(chǎn)時間與減少該產(chǎn)品的生產(chǎn)時間成本相當,即生產(chǎn)時間調整成本pij與qij數(shù)值近似,即通過對兩者取算數(shù)平均數(shù)作為生產(chǎn)時間調整量的成本系數(shù)是合理的。令rij表示第j條生產(chǎn)線生產(chǎn)第i種類型產(chǎn)品生產(chǎn)時間的調整成本,即rij=(pij+qij)/2。

由于L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型為非凸優(yōu)化問題,是NP-hard問題,很難直接求解,故采用凸松弛算法轉化為最優(yōu)凸近似的L1范數(shù)。根據(jù)文獻[22],L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型式(9)可轉化為如下式所示的L1范數(shù)的逆優(yōu)化模型(L1范數(shù)又稱稀疏規(guī)則算子,指向量中各個元素絕對值的和)：

進一步,可以將模型轉化為

進一步化簡可得：

為了求解方便,將非線性模型式(12)轉化為如下線性規(guī)劃模型：

模型式(13)是一個簡單的線性規(guī)劃模型,可以通過現(xiàn)有求解器lingo等直接求解[23]。

需要指出的是：在求解正優(yōu)化模型,未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型,引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化及為求解轉化的逆優(yōu)化模型時,都需要先給上述各模型中的τj參數(shù)賦值。在常規(guī)求解優(yōu)化模型時,已知參數(shù)的值是固定的。然而,本文所要求解的模型的特殊性在于：額定生產(chǎn)能力的值有很多種可能,該值的取值范圍是產(chǎn)品種類的指數(shù)函數(shù)形式,而該參數(shù)的確定又直接決定了所要求解的模型的可行域。因此,這就出現(xiàn)了“最優(yōu)解”與“約束額定生產(chǎn)能力參數(shù)”之間“先已知固定單一的生產(chǎn)線額定生產(chǎn)數(shù)量的值,再以此為基礎求解出模型最優(yōu)解,進而得到生產(chǎn)的產(chǎn)品類型都包含什么”,和“先知道生產(chǎn)的產(chǎn)品類型包含哪些,才能確定額定生產(chǎn)能力參數(shù)的值”的“已知生產(chǎn)線的額定生產(chǎn)數(shù)量,才能優(yōu)化求解最優(yōu)產(chǎn)品種類及數(shù)量”,“已知最優(yōu)產(chǎn)品種類,才能確定額定生產(chǎn)能力參數(shù)值”這種互為前提的難題。即模型在具體求解過程中,額定生產(chǎn)能力參數(shù)取值的不同,會得到不同的最優(yōu)生產(chǎn)方案。即最優(yōu)生產(chǎn)方案會隨著τj取值的不同而有別。

但是由于不知道最優(yōu)的生產(chǎn)方案的產(chǎn)品組合種類,導致在優(yōu)化模型實際求解中τj的具體單一值還是無從得知。也就是說,盡管企業(yè)根據(jù)設備已有數(shù)據(jù),已知生產(chǎn)線生產(chǎn)單獨某種產(chǎn)品的最大生產(chǎn)數(shù)量,或者不同產(chǎn)品的各種組合的總生產(chǎn)數(shù)量。τj根據(jù)生產(chǎn)線實際生產(chǎn)的產(chǎn)品類型及其組合的不同情況,各類型產(chǎn)品的生產(chǎn)情況共有2m -1種取值方案,額定生產(chǎn)數(shù)量τj同有2m -1種取值。也就意味著隨著τj取值的不同,每一個要求解的模型都可以分形為2m -1個待求解的模型。顯然,從求解效率的角度,遍歷τj的所有情況是低效的。

為此,本文給出解決此類參數(shù)是離散范圍、未確定的一類解決方法,針對額定生產(chǎn)數(shù)量賦值采用典型賦值法,即松弛賦值、中位數(shù)賦值和緊松弛賦值法。但是由于τj采用松弛賦值、中位數(shù)賦值和緊松弛賦值合理與否還需要與優(yōu)化求解出的產(chǎn)品組合的類型進行對比分析,當τj賦值的方法(指松弛賦值、中位數(shù)賦值和緊松弛賦值中的一種)與優(yōu)化求解后的產(chǎn)品包含的類型相一致時,則認為該賦值是合理的,否則是不合理的,故還需要如下檢驗是否合理的一個過程。

(1)松弛約束。τj=max(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產(chǎn)線單獨生產(chǎn)m種類型產(chǎn)品最大數(shù)量vij中的最大值。該方案下,目標函數(shù)的可行域相較于τj準確取值的目標函數(shù)可行域(以下簡稱原可行域)變大,最終求得的最優(yōu)解可能不在原可行域內,即為非可行解,故需將該解代入模型中驗證,若滿足模型式(7)中的原約束條件,則該解為逆優(yōu)化模型最優(yōu)解；反之,則該解為非可行解,轉用中位數(shù)約束求解方案求解。

(2)中位數(shù)約束。τj=median(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產(chǎn)線單獨生產(chǎn)m種類型產(chǎn)品最大數(shù)量vij中的中位數(shù)。該方案下,目標函數(shù)的可行域較松弛約束變小,最終求得的最優(yōu)解為局部最優(yōu)解,但不一定為全局最優(yōu)解,也不一定為可行解,故需將該解代入模型中驗證,若滿足模型式(7)中的原約束條件,則該解為可行解；反之,則該解為非可行解,轉用緊松弛約束求解方案求解。

(3)緊松弛約束。τj=min(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產(chǎn)線單獨生產(chǎn)m種類型產(chǎn)品最大數(shù)量vij中的最小值。該方案下,目標函數(shù)的可行域較中位數(shù)約束下的可行域變小,最終求得的最優(yōu)解為局部最優(yōu)解,但不一定為全局最優(yōu)解。

“松弛約束-中位數(shù)約束-緊松弛約束”三階段約束方法：若中位數(shù)約束下的解為可行解,則將其代入目標函數(shù)并與緊松弛約束下的目標函數(shù)值相比較,若前者較小,則為中位數(shù)約束下的解為逆優(yōu)化模型最優(yōu)解,否則為緊松弛約束下的解為逆優(yōu)化模型最優(yōu)解。具體執(zhí)行過程如圖2所示。

圖2 生產(chǎn)線額定生產(chǎn)數(shù)量賦值求解模型流程

2 算例分析

2.1 算例基本信息及參數(shù)

某汽車制造企業(yè)有6種類型產(chǎn)品,5條生產(chǎn)線,即m=6,n=5。通過專家訪談法,獲得該企業(yè)制造企業(yè)的相關數(shù)據(jù)(見表2),基于表2的生產(chǎn)效率各項指標,根據(jù)式(1)～(5),得到全局設備效率(見表3),理論上生產(chǎn)線-產(chǎn)品單位時間生產(chǎn)數(shù)量如表4所示。通過調研法,得到各類型產(chǎn)品單位可變成本(見表5),企業(yè)根據(jù)市場需求預測(即原始需求)如表6所示,實際需求(即變動后需求)如表7 所示。通過對某汽車制造企業(yè)的設備數(shù)據(jù)的分析,得到額定生產(chǎn)能力如表8所示。根據(jù)表8,若采用松弛約束,則τ={150,310,232,275,221}；若采用中位數(shù)約束,則τ={60,105,66,107,81.5}；若采用緊松弛約束,則τ={51,101,132,75,163}。單位資源變動成本如表9所示。

表2 生產(chǎn)效率指標

表3 全局設備效率

表4 理論上生產(chǎn)線-產(chǎn)品單位時間生產(chǎn)數(shù)量

表5 各類型產(chǎn)品生產(chǎn)單位可變成本

表6 產(chǎn)品預測需求數(shù)量(原始需求)

表7 各類產(chǎn)品市場需求數(shù)量(變動后需求)

表8 各生產(chǎn)線額定生產(chǎn)數(shù)量

表9 生產(chǎn)線-產(chǎn)品單位生產(chǎn)時間調整成本

2.2 正優(yōu)化及逆優(yōu)化模型求解

按照生產(chǎn)計劃正優(yōu)化模型式(6),計算得出滿足最低預測需求的各條生產(chǎn)線生產(chǎn)各類產(chǎn)品的數(shù)量,如表10所示。但是當汽車投放市場之后,由于客戶體驗、突發(fā)事件等因素導致實際需求與初始需求存在偏差。為了滿足新的需求變動,可以采用常規(guī)的未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化方法,生產(chǎn)時間調整量計算結果如表11所示,生產(chǎn)成本調整量如表12所示。采用引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化方法,根據(jù)模型式(13),生產(chǎn)時間調整量計算結果如表13所示,生產(chǎn)成本調整量如表14所示。

表10 原生產(chǎn)計劃下的正優(yōu)化模型求解結果

表11 未引入L0 范數(shù)逆優(yōu)化計算的需求變動下生產(chǎn)時間調整方案

表12 未引入L0 范數(shù)逆優(yōu)化計算的需求變動下生產(chǎn)線-產(chǎn)品逆優(yōu)化調整成本

表13 引入L0 范數(shù)逆優(yōu)化計算的生產(chǎn)時間調整方案

表14 引入L0 范數(shù)逆優(yōu)化計算的生產(chǎn)線-產(chǎn)品逆優(yōu)化調整成本

(1)原產(chǎn)品需求的正優(yōu)化計算結果。通過原生產(chǎn)計劃下的正優(yōu)化模型的求解結果(見表10),可以得到初始的各條生產(chǎn)線生產(chǎn)不同種類產(chǎn)品的時間安排。

(2)未引入L0范數(shù)逆優(yōu)化計算的需求變動下的計算結果。表11 表明,在正優(yōu)化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產(chǎn)周期,基于模型式(13)完成初始生產(chǎn)計劃的生產(chǎn)時間安排,具體調整方案如下：第1條生產(chǎn)線不需要做任何調整；第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品2的時間減少3天,生產(chǎn)產(chǎn)品4的時間減少2天；第3條生產(chǎn)線無需改變；第4條生產(chǎn)線無需改變；第5條生產(chǎn)線增加第2種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間1天。表12表明,采用未引入L0范數(shù)逆優(yōu)化的資源調整總成本為2.11萬元。

(3)引入L0范數(shù)逆優(yōu)化計算的需求變動下的計算結果。表13表明,在正優(yōu)化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產(chǎn)周期,基于模型式(13)完成初始生產(chǎn)計劃的生產(chǎn)時間安排,具體調整方案如下：第1條生產(chǎn)線不需要做任何調整；第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品2的時間減少4天；第3條生產(chǎn)線無需改變；第4條生產(chǎn)線無需改變；第5條生產(chǎn)線增加第2種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間4天。表14表明,采用未引入L0范數(shù)逆優(yōu)化的資源調整總成本為1.64萬元。

(4)正優(yōu)化模型的需求變動下的計算結果。表15表明,在滿足變動后市場需求的情況下,生產(chǎn)安排為：第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)第1種產(chǎn)品12輛,生產(chǎn)第3種產(chǎn)品5輛,生產(chǎn)第4種產(chǎn)品6輛,生產(chǎn)第6種產(chǎn)品5輛；第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)第2種產(chǎn)品5輛,生產(chǎn)第4種產(chǎn)品2輛,生產(chǎn)第5種產(chǎn)品3輛；第3條生產(chǎn)線生產(chǎn)第1種產(chǎn)品5輛,生產(chǎn)第5種產(chǎn)品4輛,生產(chǎn)第6種產(chǎn)品8 輛；第4 條生產(chǎn)線生產(chǎn)第2 種產(chǎn)品15輛,生產(chǎn)第4種產(chǎn)品7輛,生產(chǎn)第6種產(chǎn)品4輛；第5條生產(chǎn)線生產(chǎn)第2種產(chǎn)品3輛,生產(chǎn)第3種產(chǎn)品6輛,生產(chǎn)第5種產(chǎn)品5輛。表16表明,在正優(yōu)化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產(chǎn)周期,基于模型式(6)完成初始生產(chǎn)計劃的生產(chǎn)時間安排,具體調整方案如下：第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品1的時間增加5天,生產(chǎn)產(chǎn)品3的時間增加1天,生產(chǎn)產(chǎn)品4的時間減少4天,生產(chǎn)產(chǎn)品6的時間增加1天；第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品1的時間減少7天,生產(chǎn)產(chǎn)品2的時間減少2天,生產(chǎn)產(chǎn)品4的時間減少6天,生產(chǎn)產(chǎn)品5的時間減少3天；第3條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品5的時間減少1天,生產(chǎn)產(chǎn)品6的時間減少1天；第4條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品2的時間增加8天,減少第3種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間9天,增加第4種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間2天,減少第6種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間1天；第5條生產(chǎn)線減少第2種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間5天,增加第3種產(chǎn)品的生產(chǎn)時間1天。表17表明,采用未引入L0范數(shù)逆優(yōu)化的資源調整總成本為22萬元。

表15 需求變動下正優(yōu)化模型求解結果

表16 需求變動下正優(yōu)化生產(chǎn)時間調整量

表17 需求變動下正優(yōu)化生產(chǎn)線-產(chǎn)品調整成本

2.3 結果對比分析

從成本和求解效率兩個維度進行結果對比分析。從需求變動下成本的角度,在原需求生產(chǎn)成本15 039萬元的基礎上,按照正優(yōu)化模型,總的調整成本為增加22萬元,按照未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型,調整成本增加2.11萬元,按照引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型,調整成本增加1.64萬元。引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型比未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型成本增加了0.47萬元,增加了28.7%。同時,在引入L0范數(shù)的求解效率方面,由于正優(yōu)化的成本比逆優(yōu)化的成本高了約10倍,故需采用逆優(yōu)化模型進行調整。當生產(chǎn)需求發(fā)生變動時,引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化方法可使成本最小,未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化方法的成本次之,而采用正優(yōu)化方法的總成本最高。即在成本最小化方面,對于需求變動問題,引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化方法最具優(yōu)勢。

在求解效率方面,整體而言,求解時間都不長。引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型求解中的迭代次數(shù)為1 818次,非0項數(shù)為2,擴展的求解步驟為3；而未引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型求解中的迭代次數(shù)為2 925次,非0項數(shù)為3,擴展的求解步驟為4。由此可見,將L0范數(shù)引入逆優(yōu)化過程中能夠有效提高模型運算求解效率。

通過成本和求解效率兩方面的綜合分析,當生產(chǎn)需求發(fā)生變化時,引入L0范數(shù)的逆優(yōu)化模型在成本和求解效率方面都有優(yōu)勢。

3 結論

企業(yè)需要在按照初始需求的正優(yōu)化安排的基礎上,以滿足實際需求為落腳點,以生產(chǎn)資源配置調整成本最小為依托,通過對初始生產(chǎn)資源配置方案的最小化調整,實現(xiàn)需求變動下的資源最小化重配置。即以“預測型”生產(chǎn)計劃為初始模型,以基于正優(yōu)化模型計算出的各條生產(chǎn)線生產(chǎn)各類產(chǎn)品的時間為逆優(yōu)化調整初始參數(shù),采用逆優(yōu)化方法,在正優(yōu)化模型及其參數(shù)的基礎上,通過盡可能小地調整模型參數(shù),滿足新的需求。本文以逆優(yōu)化為方法論,以市場需求變動為動因,以各生產(chǎn)線各類型產(chǎn)品的生產(chǎn)時間參數(shù)的最小幅度調整為目標,從生產(chǎn)線選擇和生產(chǎn)線時間兩個維度最小化調整成本,對生產(chǎn)資源重新配置,最小化資源調整成本,滿足新的生產(chǎn)需求。主要的結論和創(chuàng)新之處在于：

(1)在解決問題的思路上,本文在預測生產(chǎn)計劃的基礎上,基于市場訂單實際需求,對生產(chǎn)計劃的資源配置參數(shù)進行最小化調整,實現(xiàn)目標,本文將此轉化為已知實踐最優(yōu)生產(chǎn)方案反向求解讓該實踐方案成為生產(chǎn)計劃理論模型最優(yōu)方案的資源參數(shù)反演問題。

(2)通過“松弛約束-中位數(shù)約束-緊松弛約束”三階段方法確定生產(chǎn)線生產(chǎn)能力約束,能夠在增強最優(yōu)解準確性的同時提高求解效率。一般情況下,某條生產(chǎn)線的額定生產(chǎn)能力用單獨生產(chǎn)某一產(chǎn)品的最大數(shù)量表示,但由于生產(chǎn)線可生產(chǎn)產(chǎn)品種類較多,在額定生產(chǎn)能力的表述上傳統(tǒng)測度存在不準確性。在生產(chǎn)資源配置過程中,同一條生產(chǎn)線在某一生產(chǎn)周期內可能生產(chǎn)多種不同類型的產(chǎn)品,因此,額定生產(chǎn)能力的確定對決策具有重要影響,單一取值無法滿足決策需求,而精確取值會給模型求解帶來極大困難,“松弛約束-中位數(shù)約束-緊松弛約束”三階段方法確定的生產(chǎn)能力約束為求解最優(yōu)配置方案提供了一種新方法。

(3)引入L0范數(shù)降低資源變動項數(shù),進一步降低生產(chǎn)變更成本。L0范數(shù)通過描述向量中非0元素的個數(shù)被廣泛應用于機器學習中,L0范數(shù)在模型中可以使正則化項(通常為模型參數(shù)向量分量)盡量稀疏。而在資源優(yōu)化配置過程中,L0范數(shù)置于目標函數(shù)中用于約束參數(shù)調整量的數(shù)量。顯而易見,決策者總是希望能夠盡可能少地調整資源配置,這不僅體現(xiàn)在資源變動量上,同樣體現(xiàn)在變動資源項數(shù)上,過多項資源的變動會帶來不可避免的附加成本。本文通過最小化決策變量的L0范數(shù)使兩者達到某種平衡,從而最小化生產(chǎn)資源調整成本。

(4)采用全局設備效率(OEE)測量作業(yè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)效率,OEE是工業(yè)4.0時代生產(chǎn)效率新的測量標準,它通過全面量化設備參數(shù)指標對生產(chǎn)過程進行整體實時把控,一般用于業(yè)務流程改進與生產(chǎn)監(jiān)測。將OEE引入資源配置決策過程是在構造以重大裝備為核心的生產(chǎn)線進行不同類型產(chǎn)品生產(chǎn)行為效率的同時,將影響生產(chǎn)進度的因素(如停機時間、次品損耗等)全面壓縮至這一參數(shù)中,從而使得生產(chǎn)資源配置過程更具有全局性與系統(tǒng)性。

(5)制造企業(yè)在進行生產(chǎn)計劃調整時可能存在一味追求成本最小化與供需契合度而進行過度的資源調整的誤區(qū),該情況下的生產(chǎn)資源配置方案雖然能最大程度地貼合市場需求量,但由于多數(shù)需要調整資源變動幅度過大,實施過程中極難精準控制,即便技術條件允許,其成本也會大于收益,且極容易破壞企業(yè)的生產(chǎn)穩(wěn)定性,使得在企業(yè)實際應用過程中可操作性較差,不利于理論指導實踐。因此,制造企業(yè)在進行訂單驅動的重大裝備資源配置過程中,應注意資源調整的幅度限制,平衡市場需求與制造系統(tǒng)穩(wěn)定性間的關系,進行合理、穩(wěn)定的生產(chǎn)資源重配置決策。