何波波 李建婷

(蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院 蘭州 730070)

引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化、顧客需求個性化和產(chǎn)品多樣化時代的到來，供應(yīng)鏈管理過程不僅是資金流、信息流的流動，更多的是產(chǎn)品的增值過程。供應(yīng)商的交付水平以及融資運(yùn)營都會影響到下游制造商[1]。合理的供應(yīng)商選擇能夠減少企業(yè)的成本、增加企業(yè)的利潤，同時也能提高顧客的滿意度，這使得供應(yīng)商選擇問題成為近些年國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點[2]。

Ventura等[3]在研究兩階段中的供應(yīng)商選擇與訂單數(shù)量分配的問題中，建立兩種混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。Alegoz等[4]提出了一種基于模糊TOPSIS，梯形模糊層次分析法和目標(biāo)規(guī)劃的混合方法。王一雷等[5]將供應(yīng)商的碳排放加入到選擇標(biāo)準(zhǔn)中，以AHP和GP相結(jié)合的方法進(jìn)行了研究，且通過實例驗證了方法的有效性。Svoboda等[6-7]考慮庫存風(fēng)險，研究了厭惡風(fēng)險的供應(yīng)商和過于自信的制造商的最優(yōu)決策和策略偏好，為庫存模型的提供了研究方向。雷紹雍等[8]在綜合考慮裝備采購中，構(gòu)建多目標(biāo)約束的指派模型，并運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行求解。Jadidi等[9-13]研究在供應(yīng)商能力有限的情況下，考慮數(shù)量折扣，以及多產(chǎn)品供應(yīng)的數(shù)量分配問題，設(shè)計啟發(fā)式算法進(jìn)行求解驗證，其中文獻(xiàn)[13]設(shè)計蛙跳算法求解，取得了很好的效果。Che、楊桂芝等[14-15]在求解供應(yīng)商選擇問題時運(yùn)用改進(jìn)的遺傳算法NSGA-II，求得多目標(biāo)規(guī)劃的Poreto解，并與加權(quán)求和法做了對比，發(fā)現(xiàn)NSGA-II算法在時間和解的效果上明顯更優(yōu)。亓堯等[16]就供應(yīng)商選擇問題建立基于悲觀值和樂觀值的機(jī)會約束規(guī)劃，轉(zhuǎn)化為等價方法進(jìn)行求解。

綜上可知，現(xiàn)有文獻(xiàn)多是研究確定環(huán)境下單產(chǎn)品供應(yīng)商選擇問題，對不確定環(huán)境下的多產(chǎn)品供應(yīng)商的選擇問題研究較少；同時，供應(yīng)商選擇問題大多并未將庫存成本考慮在內(nèi)，即使考慮在內(nèi)，也是以一個常數(shù)表示，這與現(xiàn)實情況不符；另外，極少有文獻(xiàn)對多產(chǎn)品供應(yīng)商選擇問題研究它的批量限制和數(shù)量折扣等情況，對供應(yīng)商的服務(wù)水平指標(biāo)選取單一?；诖?，本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮到市場對產(chǎn)品的隨機(jī)需求，給出了價格、質(zhì)量、交貨能力、采購提前期、售后服務(wù)水平、供應(yīng)商產(chǎn)品的配額柔性等作為供應(yīng)商選擇問題的評價指標(biāo)。同時，也考慮到制造商的需求量、供應(yīng)商的供應(yīng)能力以及由于產(chǎn)品缺貨風(fēng)險而造成的損失問題，將庫存成本以分段函數(shù)表示，建立了多產(chǎn)品、有折扣、無缺貨情況下的供應(yīng)商選擇問題的機(jī)會約束規(guī)劃模型。以總成本最小、次品數(shù)量最小和延遲交貨數(shù)量最小為目標(biāo)，將隨機(jī)模擬、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、NSGA-II算法相結(jié)合設(shè)計了混合元啟發(fā)式算法對該問題進(jìn)行求解驗證。

1 多產(chǎn)品供應(yīng)商選擇問題的多目標(biāo)規(guī)劃

問題描述：在整個供應(yīng)商選擇的過程中，單一地選擇一家供應(yīng)商不足以應(yīng)對瞬息萬變的市場，采購商需要從多個供應(yīng)商處采購產(chǎn)品。這就要求供應(yīng)商也能供應(yīng)多種產(chǎn)品，才能不被市場淘汰。供應(yīng)商和采購商兩者相互配合滿足廣大居民的需要。為了最大化各自的利潤，以成本、次品數(shù)和延遲數(shù)三準(zhǔn)則為目標(biāo)函數(shù)，其余各目標(biāo)為約束條件建立供應(yīng)商選擇問題的多目標(biāo)規(guī)劃模型。由于多目標(biāo)之間是相互沖突的，不能同時滿足目標(biāo)要求，可將其轉(zhuǎn)化為不確定環(huán)境下的隨機(jī)機(jī)會約束規(guī)劃。在不能完全滿足約束的情況下，假定目標(biāo)和約束條件是在一定的置信水平上成立，這樣求出的決策方案更符合實際。

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)1: 采購商可從每個供應(yīng)商處采購多種商品，且商品間相互獨立。

假設(shè)2：當(dāng)采購數(shù)量達(dá)到一定范圍時考慮數(shù)量折扣，且采購的所有同種物品價格統(tǒng)一。

假設(shè)3：任何供應(yīng)商的商品均不允許缺貨。

假設(shè)4：運(yùn)輸成本由供應(yīng)商承擔(dān)。

假設(shè)5：物品前置期為常數(shù)。

假設(shè)6：供應(yīng)商必須按時按質(zhì)地完成制造商的產(chǎn)品，否則會受到相應(yīng)的懲罰；

假設(shè)7：供應(yīng)商最大化自己利潤，對小批量訂單也不放棄，但是限制最小的總批量。

1.2 多目標(biāo)規(guī)劃模型

1)目標(biāo)函數(shù)

模型Ⅰ

最小化采購費(fèi)用：最小化購貨成本包括產(chǎn)品成本、訂貨成本、運(yùn)輸成本、存儲成本以及處罰成本等。由于運(yùn)輸成本由供應(yīng)商承擔(dān)，故不考慮運(yùn)輸成本?？紤]到供應(yīng)商的折扣價格，采購商可能采購更多的物品，從而增加沒必要的庫存，產(chǎn)生額外的庫存費(fèi)用。假設(shè)此模型未考慮存儲成本外的其他運(yùn)作成本，僅產(chǎn)生存儲費(fèi)用M。另外，考慮到現(xiàn)實因素各供應(yīng)商存在未按時按質(zhì)交貨的情況，采購商對此設(shè)置了相應(yīng)的處罰，但是比起產(chǎn)品缺貨與質(zhì)量問題造成的損失，處罰成本顯得少之又少，故可加到總成本。

(1)

i:供應(yīng)商序號，i=1,2,…,I；

j:供應(yīng)產(chǎn)品種類的序號，j=1,2,…,J；

t：第t個階段的折扣，t=1,2,…,T;

xij：向供應(yīng)商i處訂購產(chǎn)品j的數(shù)量(決策變量)；

pij:無折扣時供應(yīng)商i供應(yīng)產(chǎn)品j的單價(包括運(yùn)輸成本)；

eij：供應(yīng)商i對供應(yīng)產(chǎn)品j未按時按質(zhì)地交貨所產(chǎn)生的單位處罰成本；

qij：供應(yīng)商i交付不合格產(chǎn)品j的百分比；

dij：供應(yīng)商i逾期交付產(chǎn)品j的百分比；

rijt：從供應(yīng)商i處訂購產(chǎn)品j的數(shù)量達(dá)到相應(yīng)要求時，第t個階段的折扣；

Dj:產(chǎn)品j的計劃總需求量(隨機(jī)變量)；

Oi：采購商付給供應(yīng)商i的訂貨費(fèi)；

(2)

令zi=h(xij)，當(dāng)zi=1時，表示供應(yīng)商i至少供應(yīng)一種產(chǎn)品；否則，zi=0，表示供應(yīng)商i不供應(yīng)任何產(chǎn)品。

M：采購商對所有采購物資的庫存費(fèi)用(這里假設(shè)任意產(chǎn)品都是同樣的價格，庫存費(fèi)用只與存儲數(shù)量有關(guān))。

1923年7月，蔡元培偕夫人周養(yǎng)浩(1892—1975)和子女再度赴歐洲學(xué)習(xí)考察，先居住于比利時布魯塞爾，次年1月移居法國。1924年8月，蔡元培自法國赴荷蘭、瑞典參加一個關(guān)于哥倫布未發(fā)現(xiàn)新大陸之前美國民族問題的國際民族學(xué)會議，巧遇但采爾。此時，但采爾已從萊比錫大學(xué)博士畢業(yè)，在漢堡大學(xué)做教授。

(3)

其中，A,a,b為常數(shù)，A為存儲的起步價格，當(dāng)存儲數(shù)量小于等于a時，使用統(tǒng)一價格A元，當(dāng)存儲數(shù)量超過a時，每多一件產(chǎn)品，費(fèi)用增加b元，存儲數(shù)量無上限。

最小化采購產(chǎn)品的次品數(shù)量：任何采購商在決定采購方案之前都會在多家供應(yīng)商中進(jìn)行比較，結(jié)合多種評價指標(biāo)以及該供應(yīng)商所設(shè)置的某種產(chǎn)品的次品比例，選取產(chǎn)品質(zhì)量最優(yōu)的供應(yīng)商作為最佳選擇。

(4)

最小化采購產(chǎn)品的延遲交貨數(shù)量：由于供應(yīng)商的多樣性，不同供應(yīng)商有不同的信譽(yù)。采購商根據(jù)自己設(shè)置的延遲交貨比例以及各供應(yīng)商以往所供產(chǎn)品的評價等級等多種指標(biāo)體系，選擇信譽(yù)較高、延遲數(shù)量最少的供應(yīng)商供應(yīng)某種產(chǎn)品以達(dá)到采購商的目的。

(5)

2)約束條件

xij≤Uij

(6)

Uij：供應(yīng)商i可提供產(chǎn)品j的上限。

(6)式表示供應(yīng)能力約束。供應(yīng)能力是供應(yīng)商選擇問題的一個重要指標(biāo)，任何采購商訂購產(chǎn)品皆不能超過各供應(yīng)商的供應(yīng)能力。

(7)

(7)式需求約束。由于此問題是建立在無缺貨的基礎(chǔ)之上，從各個供應(yīng)商處采購的各種產(chǎn)品總量要超過計劃需求量Dj。

(8)

ui：供應(yīng)商i對采購商要求采購的總最小量。

(8)式最小采購約束。從供應(yīng)商的角度考慮，為了最大化利潤，供應(yīng)商i要求采購商在該處的采購總量要大于等于預(yù)先設(shè)定的數(shù)額，才可安排人力物力供應(yīng)該產(chǎn)品。

(9)

Sj：采購方對產(chǎn)品j要求的最低服務(wù)水平。

(9)式服務(wù)水平約束。由于企業(yè)間的競爭，任何采購商都會考慮各供應(yīng)商的售后服務(wù)水平，即對該產(chǎn)品由于多種原因造成的損失后，所采取補(bǔ)救措施的有效性。以此來判斷是否達(dá)到采購商規(guī)定的計劃訂購量與服務(wù)水平的乘積要求。

(10)

fij：供應(yīng)商i對產(chǎn)品j的配額柔性，以調(diào)查專家打分的歷史數(shù)據(jù)得出適應(yīng)外部環(huán)境和內(nèi)部環(huán)境的改變而做出調(diào)節(jié)的能力；

Fj：要求供應(yīng)商對產(chǎn)品j供應(yīng)配額柔性的下限。

(10)供應(yīng)商的配額柔性約束。供應(yīng)商的配額柔性指的是在企業(yè)活動生產(chǎn)中，供應(yīng)商處理環(huán)境變化或者其他不確定變化的能力，包括適應(yīng)性能力，創(chuàng)新性能力以及其他能力。它們的綜合評價應(yīng)大于等于采購商規(guī)定的一定數(shù)量產(chǎn)品所具有的配額柔性。

(11)

vij：供應(yīng)商i對產(chǎn)品j所得的評價值；

Vj：采購商要求供應(yīng)商對產(chǎn)品j要求的評價值下限。

(11)式供應(yīng)商評價值約束。采購商在采購?fù)暝摴?yīng)商產(chǎn)品后，經(jīng)過一系列過程會分銷出去，進(jìn)而得到不同顧客的反饋。為了提高供應(yīng)商產(chǎn)品的質(zhì)量，采購商會公示各供應(yīng)商的信用度、準(zhǔn)時性、產(chǎn)品合格率、付款合理性等多種指標(biāo)，綜合得到供應(yīng)商的評價值。

1.3 隨機(jī)機(jī)會約束規(guī)劃模型

模型Ⅱ

(12)

s.t.

xij≤Uij

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

在上述所有目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，i=1,2,…,I；j=1,2,…,J，上式中Pr{?}，表示{?}此事件以一定的置信水平成立。α,β為決策者為限定機(jī)會約束成立而預(yù)先設(shè)定的置信水平。

2 混合多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計

由于本文求解模型是多目標(biāo)優(yōu)化，與單目標(biāo)優(yōu)化不同。某些目標(biāo)的優(yōu)化可能會導(dǎo)致其他目標(biāo)的劣化。所以，對于多目標(biāo)優(yōu)化問題一般難以求得問題的最優(yōu)解，而是求得問題的最優(yōu)解集，也就是最接近目標(biāo)的滿意解。一般情況下，用非劣解集或者Pareto解集表示，即Pareto前沿。基于此文章利用隨機(jī)模擬技術(shù)為成本函數(shù)產(chǎn)生輸入輸出數(shù)據(jù)，并訓(xùn)練一個向前的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)來逼近不確定函數(shù)，最后與NSGA-II算法相結(jié)合產(chǎn)生混合多目標(biāo)遺傳算法。NSGA-II算法是Deb為了克服NSGA算法的缺點而提出的一種改進(jìn)算法—帶精英策略的非支配排序遺傳算法。

2.1 NSGA-II算法

2.1.1 NSGA-II算法優(yōu)點

1)提出快速非支配排序算法，降低了算法的復(fù)雜性。假設(shè)種群規(guī)模為N，目標(biāo)函數(shù)個數(shù)為m，則遍歷整個種群，由之前的復(fù)雜度o(mN3)降低為o(mN2)。

2)引入精英策略，將父代種群與子代種群合并，共同競爭產(chǎn)生下一代，擴(kuò)大了采樣空間，有利于優(yōu)良個體被繼續(xù)選擇，并對種群進(jìn)行分層，提高種群的整體水平。

3)提出擁擠度和擁擠度比較算子，彌補(bǔ)需要制定共享半徑的缺點，并能在同級種群中選出更好的個體，并將Pareto域中的個體擴(kuò)展到整個Pareto域，保證了種群的多樣性。

2.1.2 主要思想

1)通過隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為N的初始種群P0，依據(jù)NSGA算法進(jìn)行非支配排序，指定每個個體的層次值。隨后進(jìn)行遺傳算法的選擇，交叉與變異操作，產(chǎn)生第一代子代種群Q0。

2)從第二代開始將父代種群Pt與子代種群Qt合并后的種群Rt(規(guī)模為2N)，進(jìn)行快速非支配排序，同時對同層的非支配個體進(jìn)行擁擠度計算和排序，根據(jù)非支配序值和擁擠度選擇合適的個體組成新的父代種群。

快速非支配排序指：先找出群體中的非支配解集，記為F1,將其中所有個體的非支配序賦值為rank=1，并從整個群體中將F1中的個體移去，在剩余的群體里找到非支配解集，記為F2，相應(yīng)地rank=2。以此類推，直到整個群體被分層。

3)通過遺傳算法的選擇、交叉和變異產(chǎn)生新的子種群。

2.1.3 算法設(shè)計

1)編碼設(shè)計。標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法采用二進(jìn)制編碼，但它具有一定的缺點。文中使用浮點數(shù)編碼，二維數(shù)組表示。二維數(shù)組的每個值表示決策變量的值(即基因值)，此方法具有計算方便、操作效率高等特點。假設(shè)向量Xk為一條染色體，結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖1，其中0≤i<3，i為供應(yīng)商的數(shù)量，j為產(chǎn)品種類。其中xij表示供應(yīng)商i供應(yīng)產(chǎn)品j的數(shù)量。例如：6種產(chǎn)品，有3個供應(yīng)商可供選擇，如下所示：

圖1 染色體結(jié)構(gòu)設(shè)計

即：供應(yīng)商1提供產(chǎn)品1,3,4,6，數(shù)量分別為256、244、697、646；供應(yīng)商2提供產(chǎn)品1,2,3,5，數(shù)量分別為120、234、431、325；供應(yīng)商3提供產(chǎn)品1、2、4，數(shù)量分別為342、445、543。

2)初始解的產(chǎn)生。首先在各供應(yīng)商供應(yīng)能力允許的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生滿足約束1的解(即為染色體)，將其保存，判斷這些染色體是否滿足約束2，如果滿足繼續(xù)保存；如果不滿足，直接舍棄；判斷約束2中保存的染色體是否滿足約束3，以此類推，直到找到滿足約束6的染色體并將其保存。重復(fù)以上步驟，直到最終保存下來的滿足約束6的染色體個數(shù)為po_size(種群規(guī)模)時停止，以這種方法產(chǎn)生的初始種群能夠有效避免解的無效性。

3)評價函數(shù)。適應(yīng)度值的好壞是評價個體能否存活更久的關(guān)鍵指標(biāo)。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)往往是相互沖突的，無法求得最優(yōu)的一個解，這里通過非支配排序原理對種群進(jìn)行分層得到不同個體的序值(作為適應(yīng)值)，從序值rank=1的個體集開始。適應(yīng)值越小，個體越優(yōu)。

4)選擇算子。選擇過程采用最佳個體保存和錦標(biāo)賽結(jié)合的方法。隨機(jī)地從po_size中選取k個個體(k

5)交叉算子。采用單點交叉，定義一個交叉概率pc,則每一次進(jìn)化的種群中平均有pc·po_size個個體進(jìn)行交操作。將個體1與個體2交叉，個體3與個體4交叉，個體i與個體i+1作為父代交叉。此方法保證將相異的優(yōu)良的個體經(jīng)過交叉后要么變得更優(yōu)，要么直接遺傳。加快尋優(yōu)的速度。首先隨機(jī)產(chǎn)生0到1 的小數(shù)cross，重復(fù)進(jìn)行po_size次，每進(jìn)行一次都判斷cross與pc的大小。

如果cross≤pc，則在{0,1,2,…,i}(0≤i

如果cross>pc，則將原來兩條染色體直接遺傳至下一代。

圖2 染色體交叉

6)變異算子。定義pm為變異概率，表示每次進(jìn)化中有pm·pop_size個染色體發(fā)生變異，即進(jìn)行變異操作。這樣做的目的是為了增加個體選擇的范圍、擴(kuò)大種群的多樣性。前期采用均勻單點變異的方法，后期采用提高局部搜索的高斯變異。先隨機(jī)產(chǎn)生0到1 的均勻小數(shù)variation，重復(fù)進(jìn)行po_size次，每進(jìn)行一次都判斷variation與pm的大小。

如果variation≤pm，則首先在{0,1,2,…,i}(0≤i

圖3 染色體變異

7)停止準(zhǔn)則。采用固定代數(shù)的方法，判斷是否達(dá)到預(yù)先設(shè)定的代數(shù)，若是則終止迭代，輸出結(jié)果，否則繼續(xù)。

2.2 算法流程圖

3 實例分析

假設(shè)某采購商需要采購6種產(chǎn)品，可供選擇的供應(yīng)商有3個。每個供應(yīng)商都可以提供相應(yīng)范圍的折扣價格，且至少可以提供四種產(chǎn)品。采購商規(guī)定的懲罰價格為產(chǎn)品價格的兩倍。折扣階段T=2。在各約束條件下，運(yùn)用VS2013進(jìn)行了仿真計算。所需的數(shù)據(jù)如下所示。表1為供應(yīng)商的供應(yīng)量、采購商的需求量和訂貨費(fèi)；表2為供應(yīng)商供應(yīng)能力的各指標(biāo)；表3為各產(chǎn)品的單價；表4為采購商對供應(yīng)商指標(biāo)的參數(shù)要求。

表1 產(chǎn)品供需量及訂貨費(fèi)

表2 供應(yīng)商供應(yīng)能力指標(biāo)

表3 各產(chǎn)品單價(元)

表4 對供應(yīng)商各能力的參數(shù)要求

各供應(yīng)商給出的數(shù)量范圍價格折扣：

3.1 參數(shù)設(shè)置

結(jié)合上述算法，設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)如下：100次循環(huán)迭代；50個種群規(guī)模，循環(huán)5000次；1000個訓(xùn)練樣本；交叉概率為0.8；變異概率為0.05；需求量Dj服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，μ、σ分別從區(qū)間[2000,6000]和[10,15]中隨機(jī)產(chǎn)生。置信水平(α,β)=(0.85,0.9)；存儲的起步價格A=2000元；存儲數(shù)量的分界值a=6000件；超過數(shù)量a的每件產(chǎn)品價格b=0.2元。

3.2 結(jié)果分析

將數(shù)據(jù)代入求解算得Pareto序值為1的解有10個，這里取其中三個做對比分析，其他解相似，如表5、6所示。

表5 Pareto最優(yōu)解

表6 目標(biāo)函數(shù)值

表5中的每個最優(yōu)解都對應(yīng)表6的一種采購方案，可以看出，供應(yīng)商2和3由于其自身的優(yōu)勢，獲得較大的市場配額。但是供應(yīng)商1，由于各項需求的約束、自身服務(wù)能力的不足及以競爭的劣勢，所獲得的市場配額相對較少。 總的來說，供應(yīng)商2和3在市場中供應(yīng)產(chǎn)品相對穩(wěn)定，其信譽(yù)度較高。采購商采購產(chǎn)品時，可根據(jù)實際情況做出決策，給予供應(yīng)商1更少的配額或者不給予任何配額。如果確需選擇供應(yīng)商1來提供產(chǎn)品，可指定訂購供應(yīng)商1的第一種產(chǎn)品。

3.3 結(jié)果對比(選方案1)

表7 算法結(jié)果對比

從表7中對比可知，NSGA-II算法較其他智能算法能明顯提高運(yùn)算效率，節(jié)省運(yùn)算時間,并能取得最優(yōu)解集。若多目標(biāo)遺傳算法適應(yīng)度采用之前的加權(quán)求和方法，加入人為的主觀因素，雖然能求得最優(yōu)解，但是權(quán)重不同，計算結(jié)果也不盡相同。若權(quán)重選擇不合理也可能獲得解的實際意義不大。在以后的計算中，可多應(yīng)用NSGA-II算法解決NP-難問題，可提高運(yùn)算效率，快速尋得更優(yōu)解。

4 結(jié)語與期望

文章研究了多產(chǎn)品，有折扣情況下的供應(yīng)商選擇問題，這一類問題在供應(yīng)鏈中具有重要的意義。文中以最小化成本、次品數(shù)量和延遲數(shù)量為目標(biāo)，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)為機(jī)會約束規(guī)劃。通過設(shè)計智能算法求得最優(yōu)解。本文的創(chuàng)新點在于將多目標(biāo)進(jìn)化算法NSGA-II、隨機(jī)模擬、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互結(jié)合求解問題的Pareto解。此方法在仿真過程中求解效率更高，也避免了加入權(quán)重這些人為的干擾因素。這樣獲得的解更有優(yōu)說服力，方便決策者選擇最佳方案。其次，文中將庫存成本設(shè)計為一個分段函數(shù)，以庫存數(shù)量和為自變量，庫存費(fèi)用為因變量。當(dāng)庫存數(shù)量在一定范圍時，設(shè)置為一個統(tǒng)一價格，之后隨著數(shù)量的增多，庫存費(fèi)用以單價方式倍增，這樣做更切合實際。在今后的研究中可從以下方面進(jìn)行研究：

第一，該模型是在前面諸多假設(shè)的基礎(chǔ)上，如任何商品均不允許缺貨、產(chǎn)品間相互獨立、未考慮其他運(yùn)作成本等，這與現(xiàn)實中的特殊情況不符，可進(jìn)一步考慮問題，建立更完善的模型。第二，NSGA-II算法雖然保證了進(jìn)化解的公正性，但是選擇途中也易產(chǎn)生退化解，后續(xù)研究可引入博弈論來避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。