孫靚

教材中的例題是一些中考題的重要來源，因此，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)要回歸教材，關(guān)注例題傳遞出來的信息?！案怕逝c統(tǒng)計(jì)”作為中考的必考內(nèi)容，更側(cè)重于讓同學(xué)們體會(huì)如何將不同的問題歸納為同一個(gè)概率模型。

例1 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第132頁例2）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球。

（1）會(huì)有哪些等可能的結(jié)果？

（2）摸到白球、摸到紅球的概率各多少？

【解析】（1）分別給這5個(gè)球編上號(hào)碼，白球分別編為1、2、3，紅球分別編為4、5。有5種等可能的結(jié)果：摸到1號(hào)球，摸到2號(hào)球，摸到3號(hào)球，摸到4號(hào)球，摸到5號(hào)球。

（2）摸到1號(hào)球、摸到2號(hào)球、摸到3號(hào)球這3種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，“摸到白球”這一事件發(fā)生，所以P（摸到白球）=[35]。

摸到4號(hào)球、摸到5號(hào)球這2種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，“摸到紅球”這一事件發(fā)生，所以P（摸到紅球）=[25]。

【點(diǎn)評(píng)】例題是摸球試驗(yàn)，從袋中任意摸出1個(gè)球時(shí)，每個(gè)球被摸到的機(jī)會(huì)相同，這5種可能出現(xiàn)的結(jié)果是等可能性的。事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)與所有等可能的結(jié)果數(shù)之比。

【拓展1】（2020·江蘇鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球和1個(gè)黃球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率等于。

【解析】由題意知，任意摸出一個(gè)球共有6種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的結(jié)果有5種，所以P（摸到紅球）=[56]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，和教材例題考查的知識(shí)點(diǎn)相同，只做了數(shù)據(jù)調(diào)整。

【拓展2】（2020·黑龍江綏化）在一個(gè)不透明的袋子中裝有黑球m個(gè)、白球n個(gè)、紅球3個(gè)，除顏色外無其他差別，任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（）。

A. [3m+n]B. [3m+n+3]

C. [m+nm+n+3]? ? ? D. [m+n3]

【解析】任意摸出一個(gè)球共有m+n+3種等可能的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果有3種，所以P（摸出一個(gè)球是紅球）=[3m+n+3]。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題是將教材例題中的數(shù)據(jù)更換成了字母。用字母表示數(shù)，考查了對(duì)等可能條件下概率概念的理解。

【拓展3】（2020·福建）若從甲、乙、丙3位“愛心輔學(xué)”志愿者中隨機(jī)選1位為學(xué)生在線輔導(dǎo)功課，則甲被選到的概率為。

【解析】隨機(jī)選擇1位志愿者在線輔導(dǎo)，共有3種等可能的結(jié)果，其中甲被選到的結(jié)果只有一種，所以P（甲被選到）=[13]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的計(jì)算，雖然與教材例題背景不同，不是摸球試驗(yàn)，但考查的知識(shí)點(diǎn)及方法相同。

例2 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第136頁例4）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，一共有9種可能的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱味济郊t球”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

【點(diǎn)評(píng)】例題是摸球試驗(yàn)，為了方便列出所有等可能的結(jié)果，對(duì)兩個(gè)紅球分別編號(hào)。第一次任意摸出1個(gè)球，共有3種等可能的結(jié)果，記錄顏色并放回，所以第二次摸球也有3種等可能的結(jié)果。當(dāng)事件涉及兩個(gè)因素時(shí)，列表可以幫助我們列出所有等可能的結(jié)果，從而計(jì)算出事件發(fā)生的概率。

【拓展4】（2020·重慶）盒子里有3張形狀、大小、質(zhì)地完全相同的卡片，上面分別標(biāo)著數(shù)字1、2、3，從中隨機(jī)抽出1張后不放回，再隨機(jī)抽出1張，則兩次抽出的卡片的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是。

【解析】列表表示所有可能的結(jié)果如下：

由上表可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有4種，所以P（數(shù)字之和為奇數(shù)）=[46]=[23]。故答案為[23]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的計(jì)算，雖然與教材例題背景不同，將球換成了卡片，但不影響解題的方法。同學(xué)們需要認(rèn)真區(qū)分“放回”及“不放回”，此處是“從中隨機(jī)抽出1張后不放回”，即第一次抽取到的卡片，第二次不能再被抽取。

【拓展5】（2020·江蘇淮安）一只不透明的袋子中，裝有三個(gè)大小、質(zhì)地都相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有字母A、O、K。攪勻后先從袋中任意摸出一個(gè)球，將對(duì)應(yīng)字母記入圖中的左邊方格內(nèi)，然后將球放回袋中攪勻，再從袋中任意摸出一個(gè)球，將對(duì)應(yīng)字母記入圖中的右邊方格內(nèi)。

（1）第一次摸到字母A的概率為 。

（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩個(gè)方格中的字母從左往右恰好組成“OK”的概率。

【解析】（1）共有3種等可能的結(jié)果，其中是字母A的只有1種，因此，第一次摸到字母A的概率為[13]。故答案為[13]。

（2）用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中從左到右能構(gòu)成“OK”的只有1種結(jié)果，所以P（組成“OK”）=[19]。

【點(diǎn)評(píng)】本題對(duì)例題稍做變化，將不同顏色變?yōu)椴煌帜?，并?duì)事件發(fā)生的結(jié)果提出了順序要求。通過本題，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩步試驗(yàn)，除了用例題所列的表格之外，畫樹狀圖也可以幫助我們不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，從而計(jì)算出事件發(fā)生的概率。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）