陳文強(qiáng),顧玉磊，汪勇杰，陳 波

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 運(yùn)輸工程學(xué)院，陜西 西安 710064;2.長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引言

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，交通擁堵問題已經(jīng)擴(kuò)散到各級(jí)城市，城市尺度的道路收費(fèi)目標(biāo)逐步由收費(fèi)還貸轉(zhuǎn)變?yōu)槭召M(fèi)還貸與交通需求管理并重目標(biāo)。交通需求管理目標(biāo)之一，是通過擁堵定價(jià)增加沿線的出行成本來緩解路網(wǎng)擁堵，從而將交通流量從高峰時(shí)段轉(zhuǎn)為非高峰時(shí)段，從擁擠路線改為擁擠程度較小的路線，或從私家車改為公共交通工具[1]。

擁擠定價(jià)理論的起源可以追溯到Pigou[2]和Knight[3]，其以高速公路為例來解決外部性和最佳擁堵成本問題。此后，邊際成本定價(jià)的概念，即凈社會(huì)利益最大化而征收等于私人成本與道路社會(huì)成本之差的費(fèi)用，已廣泛應(yīng)用于道路網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中[4-8]。擁堵定價(jià)涉及到管理者與交通出行者之間、交通出行者之間的相互反應(yīng)，博弈論可以較好地處理主體間相互影響關(guān)系，利用博弈論研究擁堵收費(fèi)的成果十分豐富。P.Ferrari[9]對(duì)道路網(wǎng)絡(luò)收費(fèi)和社會(huì)福利之間關(guān)系做了系統(tǒng)研究；N.Xiao[10]基于道路參與者互動(dòng)原理提出了擁堵收費(fèi)設(shè)計(jì)框架；Zhu和Ukkusuri[11]使用排隊(duì)理論工具，將交通行為的動(dòng)態(tài)和隨機(jī)方面納入邊際擁堵成本的計(jì)算中，提出了一種基于距離的動(dòng)態(tài)收費(fèi)模型，并考慮了不確定的交通需求和供應(yīng)狀況，結(jié)果表明，收費(fèi)通行的總行程時(shí)間比模擬運(yùn)行減少了25%; AE Ohazulike[12]提出了擁堵收費(fèi)的多主體博弈模型；Dusica Joksimovic[13]基于博弈理論，提出了不同政策目標(biāo)下的擁堵收費(fèi)定價(jià)模型；Theodore Tsekeris[14]提出了不同路網(wǎng)管理措施下的定價(jià)策略的綜合評(píng)估框架，分析了道路交通擁堵的邊際社會(huì)成本定價(jià)和收益最大化的道路通行費(fèi)定價(jià)等情況；Wu和Huang[15]提出了在競(jìng)爭(zhēng)性公路/交通系統(tǒng)中，考慮道路擁堵和瓶頸隊(duì)列中的車輛擁堵，通過分析三種道路使用定價(jià)策略下的均衡來研究通勤者的出行方式；Z. Liu[16]提出了基于logit的隨機(jī)用戶均衡(SUE)約束的最優(yōu)惠價(jià)格的通行費(fèi)定價(jià)框架；Daganzo和Lehe[17]引入出行時(shí)間異質(zhì)性，提出了一種基于使用情況的時(shí)變通行費(fèi)，既減輕了擁堵，又優(yōu)先考慮了短途出行。李浩、虞明遠(yuǎn)等[18-19]基于公共性差異化、車輛排放水平差異化視角研究了公路收費(fèi)問題。

從目前檢索到的成果看，除文獻(xiàn)[17]引入了出行時(shí)間異質(zhì)性外，其他涉及利用博弈理論研究擁堵收費(fèi)的成果基本上將不同出行者的時(shí)間價(jià)值和出行效用做了無差別處理。而實(shí)際上，不同層次出行者的出行時(shí)間價(jià)值和出行效用是不同的，對(duì)于擁堵收費(fèi)費(fèi)率的敏感程度也會(huì)有差異，進(jìn)而影響模型精度。本研究基于文獻(xiàn)[13]提出的擁堵收費(fèi)定價(jià)模型，基于管理者不同決策目標(biāo)，將道路管理者和交通出行者看成是非合作靜態(tài)博弈的雙方，考慮不同出行者群體時(shí)間價(jià)值和出行效用差異性，建立雙層規(guī)劃模型，利用博弈論方法來詮釋不同決策目標(biāo)下的道路最優(yōu)定價(jià)，以期提高模型精度，為城市道路通行費(fèi)合理制定提供決策參考。

1 問題描述與建模

交通網(wǎng)絡(luò)中，管理者通過改變出行費(fèi)率實(shí)現(xiàn)對(duì)出行者的引導(dǎo)，出行者基于出行效用選擇出行路線，這是個(gè)典型的1+N雙層博弈問題。上層是管理者1與N個(gè)交通出行者參與的最優(yōu)決策問題，下層是N個(gè)交通出行者的交通均衡問題。

為研究方便，設(shè)公路網(wǎng)中任意兩點(diǎn)間有多條線路可以通行，其中至少有一條為收費(fèi)線路。出行者決策原則是出行收益大于出行成本，其中出行成本包括時(shí)間成本和財(cái)務(wù)成本。令cxi表示出行者i選擇路線x的出行成本，則cxi可以表示為：

cxi=aiτx+θx，

(1)

式中，τx是選擇x路線出行，完成全程所用的時(shí)間；θx是選擇x路線出行支付通行費(fèi)；αi是出行者i單位出行時(shí)間價(jià)值。

(2)

根據(jù)出行線路決策原則，uxi>0，出行者出行；uxi<0，出行者放棄出行。

1.1 交通均衡模型

令Si表示出行者i可以選擇的策略集，si(θ)表示出行者i根據(jù)管理者決策(設(shè)通行費(fèi)率為θ采取的策略集，其中si(θ)∈Si，s-i表示在此決策的基礎(chǔ)上其他出行者i決策集，其中s-i=(si,…,si-1)。假設(shè)出行者是考慮到其他出行者合理選擇的基礎(chǔ)上單獨(dú)進(jìn)行決策來尋求收益最大，此時(shí)令Ji(s-i(θ),si(θ),θ)表示在給定的決策策略θ下，出行者i的收益。出行者收益包括出行效用和出行成本。出行者i收益表達(dá)式為：

Ji(s-i(θ),si(θ),θ)=uxi-cxi。

(3)

(4)

1.2 管理者決策模型

(5)

假定式(4)、(5)適合所有局中人，則式(4)中θ=θ*。另外假定定價(jià)博弈模型是一個(gè)完全信息博弈模型，即每一位局中人對(duì)其他局中人信息、策略空間和收益函數(shù)有準(zhǔn)確把握。則最優(yōu)定價(jià)公式可以表示為：

(6)

此模型是一個(gè)典型的非合作靜態(tài)Stackelberg博弈模型。

1.3 不同目標(biāo)下的定價(jià)模型

目標(biāo)不同，最優(yōu)定價(jià)策略也會(huì)有所不同：

(1)總出行收益最大。交通管理者通過改變通行費(fèi)率來平衡不同線路上的交通流量，以減少總的交通出行成本和因擁擠而產(chǎn)生的延遲，提高每條線路的利用率，使路網(wǎng)上交通總出行收益最大，其目標(biāo)函數(shù)為：

(7)

(2)通行費(fèi)最大。交通管理者通過通行費(fèi)率變化改變收費(fèi)路網(wǎng)上交通量，使兩者乘積最大。目標(biāo)函數(shù)為：

(8)

式中，qp(s*)，θp分別表示利用線路p的出行者數(shù)量和通行費(fèi)率。

(3)社會(huì)剩余最大。社會(huì)剩余最大即社會(huì)的總福利最大，是指生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余之和最大，本研究等同于通行費(fèi)收與所有出行收益之和最大，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

∑pqp(s*(θ))θp。

(9)

1.4 模型求解

雙層規(guī)劃模型，它是一種具有二層遞階結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)優(yōu)化問題，上層決策者和下層決策者都有各自的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，上層先給定一個(gè)決策變量，下層各子系統(tǒng)以這個(gè)決策變量為參量，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件，在可能的范圍內(nèi)求得一個(gè)最優(yōu)值，并反饋給上層，上層再在下層的最佳反應(yīng)的基礎(chǔ)上，在可能的范圍內(nèi)求得整體上的最優(yōu)解?；诒狙芯磕繕?biāo)函數(shù)、約束條件特性和最優(yōu)解特點(diǎn)(整數(shù)規(guī)劃)，論文采用分枝定界法進(jìn)行模型求解[20]。求解步驟，先進(jìn)行下層N個(gè)局中人的納什-Wardrop均衡模型求解。納什-Wardrop均衡可由Beckmann平衡分配模型及其F-W求解算法獲得[21]；在此基礎(chǔ)上利用圖解法進(jìn)行上層N+1人的非合作靜態(tài)Stackelberg博弈模型求解，最后對(duì)不同目標(biāo)下的最優(yōu)定價(jià)策略進(jìn)行研究。

2 實(shí)證計(jì)算與結(jié)果分析

(10)

根據(jù)交通工程理論，建成環(huán)境條件一定的情況下，車輛行駛速度(時(shí)間)與道路通行能力、交通流量有關(guān)。經(jīng)調(diào)查，B點(diǎn)出行者在早高峰駕車到達(dá)C點(diǎn)一般預(yù)留36 min在途時(shí)間。經(jīng)實(shí)地測(cè)定，任意一組在早高峰從B點(diǎn)至C點(diǎn)選擇收費(fèi)線路，收費(fèi)線路和免費(fèi)線路處于自由流階段，經(jīng)收費(fèi)線路全程行駛時(shí)間為24 min(2/5 h)，經(jīng)免費(fèi)線路全程行駛時(shí)間為36 min(3/5 h)；兩組都選擇收費(fèi)線路，全程行駛時(shí)間為36 min(3/5 h)；兩組都選擇免費(fèi)線路時(shí)，全程行駛時(shí)間為48 min(4/5 h)。數(shù)學(xué)描述為：

(11)

(12)

利用函數(shù)式(10)、(11)、(12)，結(jié)合上述測(cè)算值，通行費(fèi)率為θ出行者收益如表1所示。

表1 通行費(fèi)率為θ時(shí)的出行者收益Tab.1 Traveler’s profit at toll rate θ

基于決策收益，研究“最大出行收益”、“最大通行費(fèi)”和“最大社會(huì)剩余”目標(biāo)下的路網(wǎng)最優(yōu)定價(jià)問題。

2.1 最大出行收益目標(biāo)下的最優(yōu)定價(jià)

出行者總出行收益最大數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(7)，設(shè)管理者選擇θ∈φ決策，決策收益如表2所示。

表2 總出行收益最大的決策收益Tab.2 Decision-making profit with largest total travel profit

由表1可知，當(dāng)0≤θ<5，根據(jù)收益最大原則，高單位時(shí)間價(jià)值組首選收費(fèi)道路，因?yàn)檫x擇收費(fèi)道路收益(264-θ)大于選擇免費(fèi)線路收益259或不出行收益0；當(dāng)0≤θ<4時(shí)，低單位時(shí)間價(jià)值出行者會(huì)選擇收費(fèi)道路出行，因?yàn)檫x擇收費(fèi)道路出行收益(152-θ)大于免費(fèi)道路的收益148和不出行收益0。因此，當(dāng)0≤θ<4時(shí)，雙方都會(huì)選擇收費(fèi)道路出行，即s*={s低單位價(jià)值組(θ≠0),s高單位價(jià)值組(θ≠0)}此時(shí)實(shí)際收益為(407-2θ)。博弈結(jié)果見表3。

表3 通行費(fèi)率0≤θ<4時(shí)的出行者博弈Tab.3 Travelers’ game process when toll rate is between 0≤θ<4

當(dāng)4≤θ≤5，高單位時(shí)間價(jià)值組首選收費(fèi)道路，因?yàn)檫x擇收費(fèi)道路的收益(264-θ)大于等于選擇免費(fèi)道路收益259或不出行收益0；此時(shí)低單位時(shí)間價(jià)值組會(huì)選擇免費(fèi)道路出行，原因是選擇免費(fèi)道路收益148大于收費(fèi)道路的收益(152-θ)或不出行0。因此，當(dāng)4≤θ≤5時(shí)，兩者博弈決策策略為s*={s低單位價(jià)值組(θ=0),s高單位價(jià)值組(θ≠0)}，實(shí)際收益為412-θ。博弈結(jié)果見表4。

表4 通行費(fèi)率4≤θ≤5時(shí)的出行者博弈Tab.4 Travelers’ game process when toll rate is between 4≤θ≤5

當(dāng)θ>5，高單位時(shí)間價(jià)值組會(huì)選擇免費(fèi)道路出行，因?yàn)檫x擇免費(fèi)道路收益259大于收費(fèi)道路收益264-θ和不出行收益0；低單位時(shí)間價(jià)值組會(huì)也會(huì)選擇非收費(fèi)道路出行，選擇非收費(fèi)道路收益148大于收費(fèi)道路的收益152-θ或不出行收益0，兩者博弈決策s*={s低單位價(jià)值組(θ=0),s高單位價(jià)值組(θ=0)}，實(shí)際收益為407。博弈結(jié)果見表5。

表5 通行費(fèi)率θ>5時(shí)的出行者博弈Tab.5 Travelers’ game process when toll rate θ>5

綜上，不同通行費(fèi)率θ下的出行者博弈決策結(jié)果和決策收益如式(13)、(14)所示：

s*(θ)=

(13)

maxR(s*(θ),θ)=

(14)

利用圖解法將總出行收益最大為目標(biāo)的管理者決策收益繪制成圖(如圖1所示)。通過圖1可以看出，公路通行費(fèi)率θ=4時(shí)，出行者總出行收益最大R=408。

圖1 基于最大總出行收益的決策收益示意圖Fig.1 Schematic diagram of decision-making profit based on largest total travel profit

2.2 最大通行費(fèi)目標(biāo)下的最優(yōu)定價(jià)

通行費(fèi)最大數(shù)學(xué)描述如函數(shù)式(8)，管理者選擇θ∈φ決策，決策收益如式(15)所示：

(15)

利用圖解法將最大通行費(fèi)下的管理者決策收益繪制成圖(圖2)。

圖2 基于最大通行費(fèi)收益的決策收益示意圖Fig.2 Schematic diagram of decision-making profit based on largest toll

從圖2可以看出，當(dāng)0≤θ<4，兩組出行者同時(shí)選擇收費(fèi)公路，此區(qū)間通行費(fèi)最大值趨于8；4≤θ≤5時(shí)，高單位時(shí)間組會(huì)選擇收費(fèi)公路，低單位時(shí)間價(jià)值組會(huì)選擇免費(fèi)道路，此區(qū)間通行費(fèi)最大值為5。當(dāng)θ>5，此區(qū)間通行費(fèi)為0，由上述分析可知，通行費(fèi)最大化目標(biāo)下的公路最優(yōu)定價(jià)θ趨于4，此時(shí)的管理者決策收益接近8。

2.3 最大社會(huì)剩余目標(biāo)下的最優(yōu)定價(jià)

管理者剩余最大數(shù)學(xué)描述如函數(shù)式(9)，管理者選擇θ∈φ決策，決策收益如式(16)所示：

(16)

利用圖解法將最大社會(huì)剩余最大的管理者決策收益繪制成圖(圖3)。

圖3 基于最大社會(huì)剩余的決策收益示意圖Fig.3 Schematic diagram of decision-making profit based on largest social surplus

從圖3可以看出，當(dāng)0≤θ<4，最大社會(huì)剩余為407；4≤θ≤5時(shí)，最大社會(huì)剩余為412；當(dāng)θ>5，最大社會(huì)剩余為407。可以看出，社會(huì)剩余最大化目標(biāo)下最優(yōu)定價(jià)為4≤θ≤5，此時(shí)決策收益為412。

3 結(jié)論與討論

本研究基于博弈論方法對(duì)不同決策目標(biāo)下的道路通行費(fèi)定價(jià)問題進(jìn)行了研究，結(jié)果顯示，基于博弈決策的道路通行費(fèi)定價(jià)模型，可以表達(dá)和測(cè)算不同通行費(fèi)率下道路參與者博弈過程和決策收益、不同決策目標(biāo)下的最優(yōu)通行費(fèi)率。文中構(gòu)建的出行情景中，通行費(fèi)為θ=4時(shí)，出行者出行收益最大；通行費(fèi)趨于4時(shí)，通行費(fèi)最大；當(dāng)通行費(fèi)4≤θ≤5時(shí)，社會(huì)剩余最大。可以看出，本研究中構(gòu)建的出行情景中通行費(fèi)率為4時(shí)，出行者收益、通行費(fèi)和社會(huì)剩余同時(shí)達(dá)到最大化，較好的滿足決策目標(biāo)。

為了驗(yàn)證模型的精度，本研究構(gòu)建了出行情景，在出行情景下重點(diǎn)研究了上層交通參與者決策過程，對(duì)下層交通均衡問題研究做了簡(jiǎn)單處理，將交通參與者分為高價(jià)值組和低價(jià)值組，對(duì)每組的數(shù)量、道路通行能力等進(jìn)行了假設(shè)，在此基礎(chǔ)上給出交通均衡結(jié)果，這樣處理的結(jié)果可能與現(xiàn)實(shí)中交通均衡問題有差異，但不影響論文研究目標(biāo)的達(dá)成，這部分內(nèi)容將在后續(xù)研究中補(bǔ)充完善。