陳 旭，章勝平，王春華，宋高麗，潘維平

(1.昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650214;2.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650504)

0 引言

鋼-混組合梁充分發(fā)揮了型鋼與混凝土材料性能優(yōu)勢，具有強(qiáng)度高、剛度大、延性好等優(yōu)點(diǎn)。然而連續(xù)組合梁負(fù)彎矩區(qū)組合截面處于力學(xué)劣勢(混凝土板受拉，型鋼受壓)，使混凝土橋面板在使用中受拉開裂，產(chǎn)生鋼筋銹蝕等耐久性問題，嚴(yán)重影響了橋梁結(jié)構(gòu)工作性能和使用壽命。連續(xù)組合梁鋼截面和負(fù)彎矩區(qū)混凝土開裂不考慮徐變，混凝土正彎矩區(qū)考慮徐變，意味著正彎矩區(qū)剛度隨著時間逐漸地相對減少，負(fù)彎矩區(qū)剛度相對地增加，由此帶來不利的冗余支座次彎矩增加，徐變次彎矩將加重鋼梁應(yīng)力風(fēng)險。另外，大跨度組合梁長期下?lián)显黾樱瑖?yán)重影響了對撓度要求嚴(yán)格的高速鐵路等結(jié)構(gòu)的安全性。這些問題與混凝土徐變和收縮有關(guān)[1-5]。

徐變是混凝土在持續(xù)應(yīng)力方向發(fā)生的，與時間相關(guān)的變形增加，等效于剛度的減小，如果用一個折減系數(shù)表示，將該折減系數(shù)乘以彈性模量，得到徐變換算模量[6-8]。基于徐變換算模量的有限元分析[9]是超靜定結(jié)構(gòu)分析的主要方法之一，文獻(xiàn)[10]用ABAQUS軟件對連續(xù)組合梁考慮開裂和徐變等進(jìn)行了三維分析，文獻(xiàn)[11]用MIDAS軟件對連續(xù)組合梁考慮施工過程和徐變試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正等徐變影響。解析法是有限元分析的有益補(bǔ)充[12]。與徐變換算模量比較，更為簡單方便的是等溫法[13]，因能更便潔地用于結(jié)構(gòu)分析軟件。

徐變等溫法是將收縮徐變效應(yīng)等效為溫度梯度效應(yīng)，如《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》(GB50017—2017)有“混凝土收縮產(chǎn)生的內(nèi)力及變形可按組合梁混凝土板與鋼梁的溫差-15 ℃計算”[14]。除了收縮引起的徐變效應(yīng)，還有永久荷載、支座位移等其他荷載類型引起的徐變效應(yīng)，而目前相關(guān)規(guī)范針對其他荷載類型作用沒有給出相應(yīng)的內(nèi)容。為此，本研究采用解析法推導(dǎo)永久荷載作用組合梁徐變的等效溫度梯度的計算公式。

1 規(guī)范理解與假定

現(xiàn)有規(guī)范徐變效應(yīng)計算包括定值有效模量比、定值徐變因子[15]和降溫3種簡化方式。

1.1 定值有效模量比

在工程實(shí)踐中通常將徐變效應(yīng)以折減混凝土彈性模量方式簡化計算。如《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》[13]，有效模量比等于2。

(1)

式中，nφ為徐變后模量比;n0為徐變前模量比;Es為鋼彈性模量;Ec0為徐變前混凝土彈性模量;Ect為徐變后混凝土彈性模量。

該模量比應(yīng)用簡單，但是沒有考慮加載齡期等混凝土自身和外部環(huán)境因素影響。如，加載齡期早，徐變大，有效模量比大；室內(nèi)環(huán)境相比室外干燥，相對濕度小，徐變大，有效模量比大。另外，也沒有考慮荷載類型對徐變的影響。如，人們將連續(xù)梁內(nèi)支點(diǎn)施加支座沉降(強(qiáng)迫位移)產(chǎn)生正彎矩以達(dá)到減小負(fù)彎矩的目的，效果卻不佳，因?yàn)閺?qiáng)迫位移這種荷載類型的徐變效應(yīng)大，正彎矩因徐變而折減較多。因此徐變效應(yīng)分析首先應(yīng)區(qū)分荷載類型。

Bode對鋼-混凝土組合梁給出了考慮加載齡期、環(huán)境相對濕度(室內(nèi)、室外)和荷載類型(永久作用、收縮和強(qiáng)迫位移)定值有效模量比計算表[16](見表1)。

表1 有效模量比Tab.1 Effective module ratio

雖然表1定值有效模量比已是細(xì)致，但忽略了徐變系數(shù)與時間的發(fā)展關(guān)系。如，徐變與應(yīng)力持續(xù)時間的關(guān)系；應(yīng)力持續(xù)時間越長，徐變越大，有效模量比越大。因此，將有效模量比表示為徐變系數(shù)的函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)定值有效模量比的改進(jìn)，即為基于徐變因子的有效彈性模量法。

1.2 定值徐變因子

《鋼-混凝土組合橋梁設(shè)計規(guī)范》(GB 50917—2013)[17]參考?xì)W洲規(guī)范4，按照應(yīng)力產(chǎn)生的原因?qū)⒑奢d分為3種類型，給出了不同荷載類型的定值徐變因子(ψL)，即永久作用徐變因子1.1，用于調(diào)整內(nèi)力的強(qiáng)迫位移作用徐變因子1.5，混凝土收縮作用徐變因子0.55。則徐變后混凝土彈性模量變?yōu)?

(2)

式中，φ(t,t0)為t時刻徐變系數(shù);t0為加載齡期。

有效模量比為:

(3)

現(xiàn)行歐洲規(guī)范4徐變因子，由德國學(xué)者Roik及其學(xué)生提出，其推導(dǎo)過程與理解見文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[18]，其基本假定為：

(1)伯努利平截面假定；

(2)混凝土不開裂；

(3)鋼和混凝土在瞬時荷載作用下滿足胡克定律；

(4)在正常使用條件下，混凝土為線性黏彈性體，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足Boltzmann疊加原理；

(5)收縮與徐變變化規(guī)律相同。

Roik按照彎曲、軸壓、收縮和強(qiáng)迫位移作用4種荷載類型，通過截面分析推導(dǎo)獲得相應(yīng)的定值徐變因子，沒有考慮鋼梁與混凝土板交界面彈性連接產(chǎn)生的相對滑移，認(rèn)為鋼梁與混凝土板沒有豎向分開，在二者的交界處，它們的豎向變形保持一致。換句話說，歐洲規(guī)范4定值徐變因子反映的是單獨(dú)的徐變效應(yīng)。Roik定值徐變因子依據(jù)德國舊規(guī)范DIN 4227徐變系數(shù)，出現(xiàn)了歐洲規(guī)范4徐變因子與歐洲規(guī)范2徐變系數(shù)不一致的情況，另外Roik定值徐變因子推導(dǎo)假定忽略混凝土板彎曲變形引起的軸向應(yīng)變(不符合矮梁特性)，對此Kindmann等進(jìn)行了改進(jìn)并提出了一套新的定值徐變因子[19]。

1.3 降溫法

《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》[13]建議收縮作用徐變效應(yīng)計算采用溫差-15 ℃“定值降溫”。降溫法是將徐變等效為溫度梯度作用(線性)。借鑒收縮作用“降溫法”思路，本研究對永久作用等溫法公式解析解進(jìn)行了推導(dǎo)，推導(dǎo)遵循歐洲規(guī)范4徐變因子基本假定，因此本研究等效溫度梯度解析解可與Kindmann徐變因子算例對比驗(yàn)證(見表2)。

雖然歐洲規(guī)范4定值徐變因子或等效溫度梯度適用于靜定梁，也適用于超靜定梁，靜定和超靜定梁等效溫度梯度公式(第2節(jié))相同，但超靜定梁彎曲剛度因負(fù)彎矩區(qū)縱向變化情況復(fù)雜。本研究等效溫度梯度公式應(yīng)用(第3節(jié))選擇超靜定梁進(jìn)行計算分析。超靜定負(fù)彎矩區(qū)混凝土開裂后退出工作，組合截面變?yōu)殇摻孛?型鋼+鋼筋)，不考慮混凝土徐變，因此需要確定負(fù)彎矩區(qū)范圍。采用數(shù)值迭代精確計算負(fù)彎矩區(qū)范圍過程復(fù)雜，無法在簡化計算中應(yīng)用，因此本研究采用歐洲規(guī)范4假定，即負(fù)彎矩區(qū)為跨度的0.15倍，負(fù)彎矩區(qū)不考慮混凝土徐變。

這樣，永久荷載作用超靜定連續(xù)梁徐變等溫法計算思路為：按照第2節(jié)解析解計算正彎矩區(qū)永久荷載作用等效溫度梯度，則徐變后超靜定連續(xù)梁的內(nèi)力和變形轉(zhuǎn)化為“按照材料和結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計算溫度梯度作用超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力(截面重分布內(nèi)力和超靜定支座次內(nèi)力)和變形”。

2 公式推導(dǎo)

2.1 等效溫度梯度解析解

分析組合梁徐變與溫度梯度作用，不難發(fā)現(xiàn)二者的相似之處：在正彎矩區(qū)，徐變使得混凝土板應(yīng)力減小，鋼截面應(yīng)力增加，梁的曲率和變形增加，這相當(dāng)于在截面高度方向施加了一個線性溫度差，上邊緣相對地降溫，下邊緣相對地升溫。當(dāng)截面高度為h，在組合梁高度方向作用線性分布溫度梯度，當(dāng)上、下邊緣溫度梯度為TΔ時，產(chǎn)生曲率(κT)為

(4)

式中，αT為混凝土或鋼材的溫度線膨脹系數(shù)(混凝土或鋼材的溫度線膨脹系數(shù)幾乎相同[13])，通常取αT=1×10-5℃。

如果已知徐變引起的曲率，按照曲率等效原則，由式(4)計算將得到徐變所等效溫度梯度(見圖1)，將溫度梯度施加于連續(xù)梁的正彎矩區(qū)，得到冗余支座溫度梯度次彎矩就是徐變次彎矩。另外，由式(4)可知，線性溫度梯度在數(shù)值上相當(dāng)于截面的無量綱曲率(曲率與截面高度的乘積)，而曲率反映了截面的轉(zhuǎn)角大小。換言之，在物理含義上，等效溫度梯度還表示了組合梁徐變引起的截面相對轉(zhuǎn)角大小。

圖1 等效溫度Fig.1 Equivalent temperature

由基本假定知組合梁曲率等于鋼截面曲率，徐變引起的曲率變化(徐變曲率κcr)表示為:

(5)

式中，Msr為鋼截面的重分布彎矩;Is為鋼截面慣性矩。鋼截面包括型鋼、普通鋼筋(或預(yù)應(yīng)力鋼筋)，在平截面假設(shè)條件下不同類型的鋼材可換算為一個鋼截面。

聯(lián)立式(4)和式(5)，徐變等效溫度梯度

(6)

Msr是組合截面在持續(xù)作用下徐變所引起的部分截面重分布內(nèi)力之一(下標(biāo)用r表示)。如圖2所示，混凝土板(下標(biāo)用c表示)和鋼(下標(biāo)用s表示)兩個部分截面內(nèi)力，按照時間分為t0的初始內(nèi)力(Mc0，Nc0，Ms0和Ns0)、重分布內(nèi)力(Mcr，Ncr，Msr和Nsr)、微分增量內(nèi)力(dMcr，dNcr，dMsr和dNsr)。圖2及文中失量的符號規(guī)定為：軸力或正應(yīng)力以受拉為正以受壓為負(fù)；彎矩或曲率以截面下邊緣受拉為正，反之為負(fù)；剪力以使脫離體順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。

圖2 應(yīng)變和內(nèi)力Fig.2 Strains and internal forces

當(dāng)考慮徐變時，截面剛度受到徐變的影響隨時間而變化，剛度是未知量，如果采用位移法，不能直接由內(nèi)力計算位移(應(yīng)變和曲率)，需借助于數(shù)值迭代逐步計算，無法建立變量之間的解析關(guān)系。因此為獲得重分布內(nèi)力的解析解，采用力法建立以內(nèi)力為未知量的在時間微分的變形(見圖2)和平衡關(guān)系方程。當(dāng)混凝土黏彈性本構(gòu)選擇改進(jìn)迪辛格應(yīng)力-徐變關(guān)系時，方程表示為:

(7)

式中，hd為板與鋼梁重心軸之間的距離；Ac0和Ic0分別為混凝土面積Ac和慣性矩Ic按照彈性模量比n0的換算面積和慣性矩，Ac0=Ac/n0，Ic0=Ic/n0，n0=1.4Es/Ec，混凝土彈性模量Ec除以系數(shù)1.4是按照呂休的建議[20]，將徐變中滯后彈變剝離出來納入初始彈性應(yīng)變考慮，徐塑系數(shù)φt=[φ(t,t0)-0.4]/1.4，即徐塑系數(shù)是剝離徐變系數(shù)φ中的滯后彈性變形部分后所剩下的徐變塑性變形部分；徐變系數(shù)應(yīng)該根據(jù)需要選擇相應(yīng)的規(guī)范計算或按照試驗(yàn)結(jié)果取值或修正。

當(dāng)組合截面受到軸力(N0)和彎矩(M0)的壓彎作用時，按照剛度的大小，混凝土板分配到的軸力(Nc0)和彎矩(Mc0)分別為:

(8)

式中，Ai為換算截面面積;Ii為換算截面慣性矩;Si為換算截面板或鋼對重心軸的面積矩。

將式(7)整理得到以Msr為未知量的一元二階微分方程

(9)

雖然式(9)在數(shù)學(xué)形式上是比較簡潔的二階常系數(shù)非齊次微分方程，但是它的手算求解過程還是比較復(fù)雜的，而且得出的解析解是非線性公式。盡管如此，解析解在其假設(shè)條件下為精確解，因此求出式(9)的解析解，聯(lián)立式(8)，代入式(6)整理。按照疊加原理，將壓彎截面分為純壓截面和純彎截面，分別給出計算公式。

對純壓組合截面，等效溫度梯度解析解為

(10)

對純彎組合截面，等效溫度梯度解析解為

(11)

從式(10)、(11)可知溫度梯度與荷載線性相關(guān)，但還與其他許多參數(shù)和變量有關(guān)(如截面特性參數(shù)和徐變系數(shù))，這些參量表達(dá)式復(fù)雜，難以分析出哪些是主要影響因子，為此開展簡化分析工作。

2.2 等效溫度梯度簡化解析解

鋼-混凝土組合截面彎曲剛度包括混凝土板、鋼截面剛度和軸力組合剛度，通常軸力組合剛度占比大，板剛度占比小，因此按照剛度分配原則板重分布彎矩增量dMcr相比于組合軸力之矩hddNcr較小，在同一等式中忽略前者可以說是一個合理的簡化。這樣二階的微分方程式(9)降階為了一階，即

(12)

求解式(12)：

Msr=(Mc0-hdNc0)(1-e-αsφt)。

(13)

這樣對純壓組合截面，等效溫度梯度公式簡化為

(14)

對純彎組合截面，等效溫度梯度公式簡化為

(15)

通過簡化分析可知，約束系數(shù)αs是影響徐變效應(yīng)的主要截面特性參數(shù)。αs反映了鋼截面對混凝土板彎曲徐變的約束能力，鋼截面對板的約束為偏心彈性約束，αs的取值介于0至1之間。

需要說明的是，等效溫度梯度解析解與時間具有相關(guān)性(因?yàn)楣阶兞堪ㄐ熳兿禂?shù))。當(dāng)計算時間為某個特定時間(如10年)，徐變系數(shù)為定值，等效溫度梯度為定值。這樣，將定值等效溫度梯度應(yīng)用于有限元分析，相當(dāng)于將徐變的非線性有限元分析轉(zhuǎn)化為彈性有限元分析。

3 超靜定連續(xù)梁計算分析

3.1 組合梁特性

選擇文獻(xiàn)[19]連續(xù)梁的計算數(shù)據(jù)，已知，

Es=2.1×105N/mm2，Ec=3.35×104N/mm2，

Ac=3×107mm2，Ic=5.625×108mm4，

As=1.89×104mm2，Is=6.416×108mm4，

h=540 mm，hd=227 mm，φ(t,t0)=2.5。

在均布荷載作用下，中間15%跨度范圍的混凝土開裂(狀態(tài)Ⅱ)，混凝土退出工作，混凝土板開裂之后不考慮徐變，截面為板內(nèi)鋼筋與鋼梁組合的鋼截面。按照階躍式變剛度模型計算，內(nèi)支座負(fù)彎矩為384.87 kN·m，跨內(nèi)最大正彎矩為326.08 kN·m，見圖3。

圖3 計算簡圖Fig.3 Calculation diagram

3.2 溫度梯度計算

正彎矩區(qū)的彎矩在長度方向?yàn)樽兞?，計算最不利的最大正彎矩所等效的溫度梯度，用到的參?shù)有

Ec0=2.39×104N/mm2，n0=8.78，

Ac0=3.418×104mm2，Ic0=0.640 9×108mm4，

Ai=5.308×104mm2，Ii=13.328×108mm4，

jc=0.031，js=0.171，r1=-0.178，r2=-0.962，

αs=0.177，φt=1.5。

按照式(10)、式(11)的解析解有

0.249=16.9 ℃。

按照式(14)、(15)的簡化解析解有

1-e-0.177×1.5=0.233，

0.233=15.8 ℃。

等效溫度梯度的簡化解析解與解析解的偏差為-6.5%，表明簡化分析較大幅度地簡化了公式，還具有較高的精度。

3.3 徐變效應(yīng)計算

計算溫度梯度產(chǎn)生的次彎矩，應(yīng)該按照式(10)、(11)或式(14)、(15)計算正彎矩區(qū)每一截面彎矩所對應(yīng)的溫度差，由式(4)計算每一截面的曲率，再由虛功原理計算溫度梯度在單位虛荷載方向的位移，這種精確計算方式在實(shí)踐應(yīng)用中有所不便。

簡單方便也是比較常用的方法是：假設(shè)溫度梯度在正彎矩區(qū)內(nèi)為常量(按照最大正彎矩控制截面計算)，溫度梯度均勻分布于正彎矩區(qū)，即矩形加載方式(見圖3)。但是矩形加載方式是保守估計，計算結(jié)果偏差大，如表1矩形加載算得的徐變次彎矩69.08與文獻(xiàn)[19]的45.1偏差為53%。

為此開展了一些比較分析工作，發(fā)現(xiàn)用拋物線加載方式計算方便，精度較好，如表2拋物線加載徐變次彎矩46.05與文獻(xiàn)[19]的偏差2%。

從表2可見，負(fù)彎矩區(qū)混凝土板開裂之后，在撓度和內(nèi)支座剪力增加不大的情況下(撓度增幅約11.5%，剪力增幅約8%)，出現(xiàn)了正彎矩增加(增幅約16%)和負(fù)彎矩減小(減幅約23%)的可喜現(xiàn)象。但隨著時間發(fā)展，徐變產(chǎn)生了約58.6%的撓度增加，以及約12%的額外負(fù)彎矩，另一方面略緩解了內(nèi)支座的剪力(減幅約4%)。由此可見，徐變效應(yīng)與開裂效應(yīng)作用相反，因?yàn)樾熳兺嘶嘶炷涟宓膹澢鷦偠取Ｐ熳儗﹂_裂效應(yīng)的緩解作用還可從應(yīng)力方面來反映。

表2 內(nèi)力和撓度Tab. 2 Internal forces and deflections

承受動力荷載的組合橋梁等結(jié)構(gòu)強(qiáng)度通常采用容許應(yīng)力彈性設(shè)計法。連續(xù)梁冗余支座為不利截面，因?yàn)榛炷涟迨芾摿菏軌?，與它們力學(xué)特性相反。計算冗余支座截面的正應(yīng)力(見表3)，結(jié)果表明開裂之后截面應(yīng)力得到較大幅度的釋放。但是另一方面徐變又使得應(yīng)力增加，其中鋼梁下邊緣的壓應(yīng)力增加較大(增幅約12%)。

表3 截面的正應(yīng)力Tab.3 Normal stresses of cross-section

值得注意的是，對允許開裂的非預(yù)應(yīng)力組合梁，如有較多應(yīng)用的高配筋現(xiàn)澆混凝土連續(xù)組合梁[21]，須考慮徐變對開裂效應(yīng)的緩解作用和對撓度的顯著增加作用，作用程度的大小還與型鋼大小等因素有關(guān)。

4 型鋼大小影響

在工程實(shí)踐中，鋼-混組合截面特性在不同結(jié)構(gòu)類型中特性差異較大，如在民用建筑中型鋼尺寸小，在公路和鐵路橋梁中型鋼尺寸大，型鋼大小是影響徐變的關(guān)鍵因素[15]。

選擇變化3.1節(jié)組合梁特性中的鋼梁大小，分析等效溫度梯度的解析解和簡化解之間的偏差，分析跨中撓度和徐變次彎矩等的變化范圍(見圖4)，其中型鋼選擇歐規(guī)HEA300至HEA1000的14個截面特性。

圖4 型鋼大小的影響Fig.4 Influence of size of section steel

從圖4(a)型鋼高度(等于牌號減去10 mm)曲線可見，約束系數(shù)與型鋼高度具有正相關(guān)關(guān)系。從圖4(b)和(c)可以看出，簡化解式(10)～(13)能夠較好地反映徐變的時隨規(guī)律，能夠作為解析解的有益補(bǔ)充。徐變導(dǎo)致的跨中撓度增加顯著，在型鋼牌號小的情況尤其應(yīng)該重視(如在圖4(d)中HEA300型鋼徐變撓度增幅為73.5%)。在約束系數(shù)大的情況下(型鋼牌號大)，徐變等效溫度梯度可低于10 ℃。而在約束系數(shù)小的情況下，徐變等效溫度梯度較大(超過30 ℃)，鋼梁底部壓應(yīng)力較大(約150 MPa)，若再疊加其他作用引起的不利壓應(yīng)力，則鋼梁底部很可能產(chǎn)生失穩(wěn)破壞。

5 結(jié)論

等溫法能夠便潔地用于連續(xù)組合梁的長期力學(xué)分析。組合梁彎曲徐變與許多因素有關(guān)，如荷載類型、截面特性和組合梁特性，因此采用解析方法推導(dǎo)得到了永久荷載作用徐變等效溫度梯度的解析解。

為進(jìn)一步獲知關(guān)鍵的主要影響因素，推導(dǎo)了解析解的簡化解析解。研究表明對永久荷載作用下的鋼-混連續(xù)組合梁，采用拋物線加載方式將等效溫度作用于正彎矩區(qū)，徐變效應(yīng)計算結(jié)果精度較高。徐變等溫法為連續(xù)組合梁工程實(shí)用計算提供了一種簡單方便的方法。

連續(xù)組合梁負(fù)彎矩區(qū)開裂之后應(yīng)力釋放，在撓度增加不大的情況下出現(xiàn)有利的彎矩重分布(負(fù)彎矩減幅達(dá)20%以上，正彎矩增幅約16%)，而徐變會緩解開裂重分布彎矩和應(yīng)力釋放程度。還須重視的是徐變會明顯增加連續(xù)梁的跨中撓度，在型鋼牌號小的情況增幅更顯著。