曹?，?，張書恒，費興彪，劉德用

(1.燕山大學 河北省土木工程綠色建造與智能運維重點實驗室，河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著道路工程的不斷發(fā)展，支擋結構被越來越多地運用于陡坡路基條件下，在擋墻發(fā)生過移動后的土壓力計算是否仍能按照極限狀態(tài)土壓力進行計算已經引起了越來越多的關注[1]。經典的土壓力理論因其簡單實用，一直被沿用至今，但在工程實際中，土體發(fā)生的位移很小，往往處于一種非極限狀態(tài)[2]，經典的郎肯理論和庫倫理論已不能滿足實際工程的需要，因此，研究非極限狀態(tài)下的土壓力計算模型，有著非常重要的意義。

目前研究非極限狀態(tài)下的土壓力問題，可歸納為以下4種途徑：現場監(jiān)測[3-4]、模型試驗[5-7]、數值模擬[8-10]和理論計算[11-15]。文獻[3-4]通過對擋墻實體工程的現場原位監(jiān)測, 研究分析了擋土墻后土體垂直土壓力、墻背側向土壓力分布規(guī)律。文獻[5-7]通過土工離心模型試驗、現場縮尺模型試驗等研究討論了擋墻不同位移模式下墻背土壓力和路基填土變形的影響關系,分析了剛性變位模式下擋墻土壓力的變化,得到了墻背土壓力的基本規(guī)律。文獻[8]進行了有限元模擬，以研究砂土的三維主動土壓力，分析了變形模式、長寬比、相對密度和墻土摩擦角對土壓力-位移的影響。文獻[9-10]通過模型試驗和數值模擬相結合的方法，研究了土體位移隨填土高度的變化規(guī)律和土壓力的分布特性。

理論計算大致可歸為以下幾類：第1類是考慮非極限土壓力與填土位移的關系，建立土壓力與位移之間的函數關系式[11-13]。此類方法抓住了土壓力大小主要取決于填土位移這一關鍵問題，其缺點是兩者的函數關系式很難統一。第2類是考慮了土體在運動過程中自身參數從初始值到極限值的發(fā)揮過程，用非極限狀態(tài)下的土體參數替換經典土壓力計算理論中的土體參數[14-16]。此類方法使用了土的抗剪強度發(fā)揮值的概念，思路清晰，不足之處在于缺乏揭示土體強度參數與位移之間非線性關系的實測數據。第3類是通過改進的庫侖極限平衡理論，利用薄層單元法開展非極限狀態(tài)土壓力計算[17-18]。此類方法推導過程嚴密，但因涉及的計算參數眾多，目前適合復雜工況的理論公式并不多見。理論計算方法中的這幾種思路在一定程度上解決了非極限土壓力的計算問題，推動了相關研究的發(fā)展，但也存在著計算誤差較大、過程繁瑣的弊端。

雖然已有的關于非極限土壓力的研究有了較大的進展，但其理論研究仍處于不成熟階段，還需進一步深入。本研究基于非極限土壓力與靜止土壓力和極限土壓力的關系特性，在文獻[11]的基礎上，運用加權組合的數學思想，結合已有非極限土壓力的研究成果，提出一種簡單實用、計算結果準確的非極限土壓力計算模型，并與已有方法比對驗證，證明該模型的合理性。

1 加權組合計算模型

在支護結構中，當位移為0時，土體處于靜止狀態(tài)，此時的土壓力為靜止土壓力；由于某種原因導致支護結構產生偏離或偏向土體的位移時，會使得水平應力衰減或增長，直至土體達到極限平衡狀態(tài)，衰減和增長的土壓力分別稱為松弛應力和擠壓應力[11]，靜止狀態(tài)與極限狀態(tài)之間的“中間狀態(tài)”稱為非極限狀態(tài)，相應的土壓力為非極限主動土壓力或非極限被動土壓力。

在相同條件下，靜止土壓力、非極限土壓力、極限土壓力之間存在如下關系：

(1)

(2)

非極限土壓力可用如下形式表示[11]：

(3)

(4)

式中，pr為松弛應力；ps為擠壓應力。

對式(3)變形為：

(5)

由式(1)、式(5)可得，最大松弛應力prmax為：

prmax=p0-pa。

(6)

顯然，非極限主動土壓力的大小取決于松弛應力的大小，松弛應力大，則非極限主動土壓力??；松弛應力小，則非極限主動土壓力大。因此，可以引入一個反映松弛應力大小對非極限主動土壓力影響程度的參數。盧坤林等[12]通過引入位移函數來描述松弛應力與其最大值之間的關系，但考慮到函數模型的普適性以及模型參數的不確定性，在非極限土壓力的計算中仍有諸多不便。

引入松弛應力發(fā)揮系數w：

(7)

將式(3)、(6)代入式(7)可得：

(8)

由式(1)、(8)可知：0≤w≤1。

松弛應力發(fā)揮系數體現的是應力松弛程度的大小，反映了松弛應力大小對非極限主動土壓力的影響程度，由式(8)知，松弛應力發(fā)揮系數越大，應力松弛程度越大，非極限主動土壓力越小。當w=0時，土體未發(fā)生松弛，即處于靜止狀態(tài)；當w=1時，土體完全松弛，達到主動狀態(tài)；當0

(9)

式(9)即為基于松弛應力發(fā)揮系數的加權組合計算模型。

2 非極限主動土壓力計算

2.1 松弛應力發(fā)揮系數的引入

經典的土壓力理論中，對無黏性土，土壓力可表示成如下形式：

pa=Kaγz,

(10)

p0=K0γz，

(11)

式中，K0為靜止土壓力系數；Ka為主動土壓力系數；γ為填土重度；z為所計算點到填土面的高度。

當土體處于非極限狀態(tài)時，作如下假定：(1) 擋土墻后填土為無黏性土；(2)土體處于非極限狀態(tài)時，土體中存在潛在的滑動面；(3)填土表面無超載。

依據上述假設，非極限主動土壓力可表示為如下形式[17]：

(12)

把式(10)～(12)代入式(8)可得：

(13)

2.2 松弛應力發(fā)揮系數的推導

文獻[17-18]通過薄層單元法研究了擋土墻非極限狀態(tài)下的主動土壓力，推導了非極限狀態(tài)下各參數的表達式，在上述研究的基礎上，通過推導非極限側土壓力系數與摩擦角的關系，提供一種簡單實用的非極限主動土壓力計算方法。以文獻[17]中推導的公式為計算依據：

(14)

其中：

(15)

(16)

式中，α，β分別為墻背的傾斜角、墻后填土面的傾角；φm，δm分別為非極限狀態(tài)下的土體內摩擦角、墻土摩擦角；θ為準滑動面與水平面傾角。

當α=0，β=0時，對式(14)～(16)作簡化：

(17)

(18)

(19)

當墻背光滑，即δm=0時，作進一步簡化可得：

sq=1,

(20)

(21)

(22)

(23)

因此，在α=0，β=0，δm=0時，

(24)

圖與λm關系圖Fig.1 Relationship between and λa

用Matlab擬合函數關系，如表1所示。

表與λa關系表

(25)

作m,b這兩個參數與sinδm的關系圖，如圖2、圖3所示。

圖2 m與sin δm關系圖Fig.2 Relationship between m and sin δm

圖3 b與sin δm關系圖Fig.3 Relationship between b and sin δm

按線性關系處理時，相關系數為0.981 9。用Matlab擬合可得如下關系：

m=0.371sinδm+1.021 6。

(26)

在Matlab中用二次函數擬合：

b=0.184 7(sinδm)2-0.031 4sinδm-0.001 9。

(27)

文獻[12]通過研究應力-應變關系，建立了非極限內摩擦角與位移的關系。

sinφm=

(28)

式中，φ為主動極限狀態(tài)時的填土內摩擦角；η為位移比，η=s/sc(s為位移，sc為達到極限狀態(tài)時的位移)，r為破壞比，取值0.75～1.0。

假設墻土摩擦角與內摩擦角有相同的變化規(guī)律，則：

sinδm=

(29)

式中δ為極限狀態(tài)時的墻土摩擦角。

表2 非極限主動側土壓力系數

在式(28)中：

K0=Kη=0。

(30)

Ka=Kη=1。

(31)

3 非極限被動土壓力計算

3.1 擠壓應力發(fā)揮系數的引入

引入擠壓應力發(fā)揮系數ζ：

(32)

式中psmax為最大擠壓應力。

同理可得到基于松弛應力發(fā)揮系數的加權組合計算模型：

(33)

ζ可按照下式計算：

(34)

3.2 擠壓應力發(fā)揮系數的推導

對于非極限被動土壓力，仍可采用與非極限主動土壓力類似的計算模型來進行計算，即：使用加權組合的數學思想來計算非極限被動土壓力。同理，非極限被動土壓力的大小跟擠壓應力的大小有關，擠壓應力大，則非極限被動土壓力大；擠壓應力小，則非極限被動土壓力小。因此，引入一個反映擠壓應力大小對非極限被動土壓力影響程度的參數，即擠壓應力發(fā)揮系數。

主動非極限狀態(tài)和被動非極限狀態(tài)是土體運動過程中的兩個相反的過程，因此，把主動非極限狀態(tài)下計算公式中的相關參數(φm，δm)取相反數[19]，即可得到非極限被動狀態(tài)下的計算公式。當α=0，β=0時：

(35)

(36)

(37)

當墻背光滑，即δm=0時，作進一步簡化可得：sq=1。

(38)

(39)

(40)

因此，在α=0，β=0，δ=0時，

(41)

圖與λp關系圖Fig.4 Relationship between and λp

在圖4中，與線性關系明顯，按照線性關系處理時其相關系數大于0.98，用Matlab擬合函數關系，如表3所示。

表與λp關系表

(42)

圖5、圖6分別為n、c與sinδm的關系圖。

圖5 n與sin δm關系圖Fig.5 Relationship between n and sin δm

圖6 c與sin δm變化關系圖Fig.6 Relationship between c and sin δm

用Matlab擬合圖中關系可得：

n=5.811 6(sinδm)2-2.571 4 sinδm+1.007 5。

(43)

用Matlab擬合圖中關系可得：

c=-9.625 7(sinδm)2+3.524 7sinδm-0.036 1。

(44)

徐日慶等[20]提出了非極限狀態(tài)摩擦角從靜止狀態(tài)到極限狀態(tài)隨墻體位移變化的計算公式：

tanφm=tanφ0+Kd(tanφ-tanφ0),

(45)

tanδm=tanδ0+Kd(tanδ-tanδ0),

(46)

式中，Kd為考慮s對φm和δm影響的系數，Kd=4arctanηπ；δ0為靜止狀態(tài)時的墻土摩擦角,δ0=φ/2。

K0=Kη=0。

(47)

Kp=Kη=1。

(48)

表4 非極限被動側土壓力系數

4 驗證分析

4.1 邊界條件驗算

當擋土墻位移為0時，土體處于靜止狀態(tài)，圖7所示為本研究方法、經典理論(為簡化計算，采用摩擦角代替有效摩擦角，因此，計算結果偏小)與賈寧法[21]對靜止土壓力系數的計算結果比較。

圖7 K0計算結果比較Fig.7 Comparison of calculation results of K0

由圖7可知，3種方法的計算結果比較相近，當摩擦角較小時，本研究方法的計算結果略大于賈寧法和簡化后的經典理論計算結果，隨著內摩擦角的增大，賈寧法越來越接近本研究方法，而兩種方法的計算結果與經典理論的計算結果都相差較小，因此用本研究方法來計算靜止土壓力也能得到比較理想的結果。

當擋土墻向離開土體方向發(fā)生位移達到極限狀態(tài)時，土體處于主動狀態(tài)。圖8所示為本研究方法與庫侖理論和朗肯理論在計算主動土壓力系數時的比較結果。

圖8 Ka計算結果比較Fig.8 Comparison of calculation results of Ka

由圖8可知，本研究方法計算結果大于朗肯理論和庫侖理論的計算結果，而朗肯理論忽略了墻背與填土之間的摩擦，本身就會使計算結果較大，因此，采用本研究方法計算主動土壓力時會帶來較大的誤差。

當擋土墻向土體方向發(fā)生位移達到極限狀態(tài)時，土體處于被動狀態(tài)。圖9所示為本研究方法與朗肯理論、庫侖理論在計算被動土壓力系數時的比較結果。

圖9 Kp計算結果比較Fig.9 Comparison of calculation results of Kp

由圖9可知，本研究方法與朗肯方法計算結果較為相近，庫侖理論在計算被動土壓力時會帶來較大的誤差。當摩擦角較小時，本研究方法計算結果略小于朗肯理論，隨著摩擦角的增大本研究方法的計算結果會略大于朗肯理論，而朗肯理論在計算被動土壓力時會偏小，因此，在土體的摩擦角較大時，采用本研究方法計算被動土壓力會得到更為理想的結果。

4.2 實例驗證

4.2.1 非極限主動土壓力

Fang[22]試驗的試驗條件如下：剛性擋土墻墻背直立，墻高h=1.0 m，填土為干砂，填土面水平無超載，γ=15.4 kN/m3，內摩擦角φ=34.0°，取δ=2φ/3，r=0.85，進行分析計算時分別取η=0.1、η=0.2。圖10為本研究計算結果、盧坤林方法[12]與試驗實測結果的比較。

由圖10看出，3種方法對非極限土壓力的計算中，土壓力變化呈現一致的規(guī)律，即隨深度的增加土壓力增加，隨位移的增加土壓力減小。但本研究方法與實測值的誤差更小，優(yōu)于盧坤林法，且本研究計算出的非極限土壓力是非線性變化的，與實測結果一致。

圖10 理論計算值與試驗結果比較Fig.10 Comparison of theoretical calculation value and test result

岳祖潤[23]試驗的試驗條件如下：離心模型試驗中采用壓實黏土，模型箱凈空25 cm×31 cm×41.5 cm。土體參數如下：γ=18.7 kN/m3，c=38.2 kPa，φ=22.7°，取δ=2φ/3，r=0.85。圖11、圖12分別為p16、p17測點土壓力本研究計算值、盧國勝方法[24]計算值與實測值的比較。

圖12 理論計算值與試驗結果比較(p17)Fig.12 Comparison of theoretical calculation value and test result (p17)

由圖11、圖12可以發(fā)現，在擋土墻某一高度處，隨著擋土墻位移的增加，非極限主動土壓力呈非線性減小，本研究方法與盧國勝法[24]的規(guī)律是一致的。在靜止狀態(tài)和主動狀態(tài)時兩種方法的計算結果均與實測值相同，但在非極限狀態(tài)時，本研究的計算值與實測值吻合更好，兩者之間誤差極小，優(yōu)于盧國勝法，更適用于非極限狀態(tài)下主動土壓力的計算。

雖然在非極限土壓力計算模式中所涉及的系數推導，存在著假設條件，但最后推導出的非極限土壓力計算模型中，只涉及到了摩擦角的變化過程。因此，無論是砂土還是黏性土，有無超載，以及填土面傾角等條件可能并不影響非極限土壓力的計算，在上述岳祖潤[23]試驗實例驗證中也說明了這一問題，當然這也需要更多理論和實例的支撐。

4.2.2 非極限被動土壓力

Fang[25]試驗：針對不同類型的砂土做了模型試驗，表5為試驗的相關數據。填土表面水平，墻高0.5 m。采用本研究方法分別計算了不同位移條件下相對密度(Dr)為38%，63%時砂土水平土壓力隨深度的變化值，并與試驗數據和楊泰華等方法[26](以下簡稱“文獻方法”)作了比較，如圖13、圖14所示。

表5 試驗數據

圖13 理論計算值與試驗結果比較(Dr=38%)Fig.13 Comparison of theoretical calculation value and test result (Dr=38%)

圖14 理論計算值與試驗結果比較(Dr=63%)Fig.14 Comparison of theoretical calculation value and test result(Dr=63%)

由圖13、14可知，當擋土墻位移較小時，本研究方法與文獻方法的計算結果都與實測值接近，能夠很好地估算非極限狀態(tài)下的被動土壓力，但當位移較大時，文獻方法與實測值的誤差增大，給非極限被動土壓力的計算帶來較大誤差，而本研究方法的誤差較小，更適用于計算非極限狀態(tài)下的被動土壓力。

5 結論

(1)基于加權組合的數學思想，建立了一種非極限狀態(tài)主、被動土壓力計算方法，該方法考慮了非極限狀態(tài)側土壓力系數與土體內摩擦角、墻土摩擦角的非線性關系；相比極限平衡狀態(tài)下經典土壓力計算方法，非極限狀態(tài)土壓力計算方法更適用于實際工況，具有重要的工程應用價值。

(2)靜止土壓力、極限狀態(tài)土壓力是非極限狀態(tài)土壓力的兩個邊界，這為加權組合計算模型的構建提供了前提條件；通過引入松弛應力發(fā)揮系數、擠壓應力發(fā)揮系數為加權組合計算模型在土壓力計算中的應用提供了實現路徑。

(3)非極限狀態(tài)側土壓力系數由于未考慮層間剪應力相互作用，導致本研究計算方法的精度仍有提高的空間；通過考慮墻土摩擦效應，提高了非極限土壓力計算精度，但墻土摩擦角計算結果與實際工況仍存在差異，若能進一步探明墻土摩擦效應規(guī)律，并建立墻土摩擦角計算公式，非極限土壓力的計算結果會更加精準；對于實際工況下側土壓力系數、墻土摩擦角的現場監(jiān)測是未來關注的重點。