靳 爽 劉曉晶 程 旭

（上海交通大學 核科學與工程學院 上海200240）

在反應堆計算流體力學（Computational Fluid Dynamics，CFD）數(shù)值模擬中，計算精度和計算時間是一對突出的矛盾。為了能夠較好地兼顧計算效率和計算精度，實現(xiàn)在較高計算效率下取得滿意的計算結果，研究人員嘗試了多種新技術方法，比如并行計算、對網(wǎng)格劃分方式進行優(yōu)化［1-2］等。隨著大數(shù)據(jù)和人工智能等領域的發(fā)展，機器學習也成為解決上述問題的一種可行路徑。一方面，大量先前已有的數(shù)值模擬結果、理論研究成果和實驗結果積累為數(shù)據(jù)訓練提供了廣泛的訓練資源；另一方面，隨著反應堆熱工水力研究和應用的不斷發(fā)展，對“物理過程相似、工況參數(shù)不同的大批量多組工況”的CFD數(shù)值模擬需求日益凸顯，例如研究多種不同入口速度下的棒束流動傳熱CFD結果、多種搖擺條件（搖擺俯角、搖擺周期的各類組合）下的反應堆CFD計算結果等，在該類問題中，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的CFD粗網(wǎng)格模擬優(yōu)化方法對于“實現(xiàn)在較高計算效率下實現(xiàn)較高精度的數(shù)值模擬”具有顯著效果。

根據(jù)美國愛達荷國家實驗室于2018年發(fā)布的報告［3］，在數(shù)據(jù)驅動的機器學習架構中可以使低分辨率的模型計算出高分辨率模型下的模擬結果，并對絕熱腔室中射入空氣湍流模擬結果進行了優(yōu)化。目前，通過機器學習針對反應堆熱工水力數(shù)值模擬進行優(yōu)化的案例研究還較少，本文擬應用機器學習方法，針對粗網(wǎng)格下5×5棒束出口截面冷卻劑子通道溫度的CFD結果進行優(yōu)化，以期為機器學習方法在反應堆熱工領域實現(xiàn)較高計算效率和較高計算精度的數(shù)值模擬應用提供參考。

1 數(shù)值模擬優(yōu)化方法

1.1 棒束模型

本文計算的棒束模型是截短型組件的5×5棒束柵元，其主要參數(shù)參考一體化模塊小型反應堆常用的截短型組件參數(shù)而設定［4-7］，如表1所示。

針對本文計算的棒束模型，可以劃分為36個子通道，從左上到右下依次編號為子通道1（sub 1）、子通道2（sub 2）、……、子通道36（sub 36），如圖1所示。

表1 5×5棒束柵元主要參數(shù)Table 1 Main parameters of 5×5 rod bundle

圖1 5×5棒束柵元子通道劃分方式Fig.1 Subchannel division method of 5×5 rod bundle

1.2 問題描述

本文旨在對不同入口速度工況中出口截面上36個子通道各自的平均溫度值進行修正，粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格均采用STAR-CCM中的結構化定向網(wǎng)格［8］，基礎網(wǎng)格為多邊形網(wǎng)格，對于邊界層處的網(wǎng)格，均使用棱柱層網(wǎng)格生成，粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格下均設置棱柱層層數(shù)為三層，棱柱層增長率取默認值1.5，棱柱層總厚度取默認值即網(wǎng)格尺寸基數(shù)的33.3%。其網(wǎng)格參數(shù)的具體設置如表2所示。

細網(wǎng)格參數(shù)的選取達到網(wǎng)格無關性的要求，基礎尺寸為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm網(wǎng)格下的子通道1、子通道2、子通道16（分別為角通道、邊通道、中心通道）的溫度計算結果如表3所示。

本文根據(jù)入口速度的不同，將20組工況作為訓練組用于機器學習，另外5組工況作為驗證組以檢驗修正的效果。其中，5組驗證組工況中既包括相對于訓練組的內(nèi)含參數(shù)工況，也包括外延參數(shù)工況。訓練組工況及驗證組工況的入口速度設定情況如表4所示。鑒于本文計算的物理過程并不復雜，在本文涉及的計算工況中，所選用的湍流模型均為可實現(xiàn)的k-ε（Realizablek-ε）模型。

表2 粗網(wǎng)格參數(shù)和細網(wǎng)格參數(shù)Table 2 Parameters of coarse grid and fine grid

表3 網(wǎng)格無關性驗證結果Table 3 Results of grid independence verification

表4 訓練組和驗證組工況入口速度設定情況Table 4 Inlet speed of training group and verification group working conditions

1.3 基于機器學習的優(yōu)化方法

數(shù)值模擬的誤差來源主要包括以下三類：第一類是由于物理簡化和（或）數(shù)學近似導致的模型誤差；第二類是由于網(wǎng)格的存在，導致守恒方程或源項在時空平均方法下產(chǎn)生信息丟失所引起的網(wǎng)格誤差；第三類是由于迭代收斂、算法選擇等原因引起的其他誤差。

對于第一類誤差，針對流體和壁面間傳熱、質量交換、動量交換等現(xiàn)象存在多種關系模型進行模擬，與網(wǎng)格尺寸相關的特征長度是這些模型中的一個重要參數(shù)。對于第二類誤差，同樣由網(wǎng)格尺寸決定。而第三類誤差相較前兩類誤差對計算結果的影響要小得多。因此，數(shù)值模擬的誤差與網(wǎng)格尺寸密切相關，且實際分析時往往無法區(qū)分模型誤差和網(wǎng)格誤差，應將其作為一個整體來考慮。

我們可以運用模式識別和統(tǒng)計分析等機器學習方法，從數(shù)據(jù)中直接獲得容易被人忽視的信息，試圖尋找到包括網(wǎng)格信息、模型信息、物理信息在內(nèi)的參數(shù)與誤差之間的定量關系。在此基礎上，運用該定量關系對粗網(wǎng)格模擬結果進行修正，實現(xiàn)滿足計算要求的快速數(shù)值模擬。

根據(jù)問題的需要，我們可以將模擬對象的幾何參數(shù)、模擬工況的物理參數(shù)及數(shù)值計算的網(wǎng)格參數(shù)納入機器學習的輸入變量中。針對本文研究的工況，每組工況均采用同一套粗網(wǎng)格和同一套細網(wǎng)格，各組工況在進行CFD計算時選用的湍流模型、傳熱模型一致，僅有冷卻劑入口速度設定不同。因此，本文通過機器學習需要得出的是入口速度、粗網(wǎng)格下出口截面各個子通道溫度、細網(wǎng)格下出口截面各個子通道溫度之間的隱含關系。

根據(jù)Chang等［9］的文章，目前數(shù)據(jù)驅動的熱工水力模擬機器學習架構可以依據(jù)數(shù)值模擬是否包含偏微分方程、偏微分方程的形式是否已知、偏微分方程本身是否作為機器學習對象、模型的建立是否需要在不同尺度上分別進行等四項標準分成5種類型，本文的研究屬于上述五種架構類型中的第二類，其主要步驟如圖2所示。

圖2 基于機器學習的數(shù)值模擬優(yōu)化框架[9]Fig.2 Optimization framework for numerical simulation based on machine learning[9]

本文中，定義粗網(wǎng)格下子通道i（subi）的平均溫度為TLi，作為待修正值；細網(wǎng)格下子通道i的溫度記為THi，作為精確值（修正目標值）。定義誤差函數(shù)如下：

根據(jù)前述的優(yōu)化原理，將誤差函數(shù)E i設置為如下的形式：

式中：V為冷卻劑入口速度，子通道編號i=1，2，3，...，36，誤差函數(shù)中的具體函數(shù)形式由機器學習方法得到。將粗網(wǎng)格計算結果按照誤差函數(shù)修正后的子通道i的溫度記為TMi，即有：

在機器學習方法的選擇上，目前主要使用深度學習的方法。原則上，任何兩層以上的神經(jīng)網(wǎng)絡都可以被認為是深度學習。Hornik等［10］在文章中論證了多層神經(jīng)網(wǎng)絡是一種通用方法，可以捕捉任何可度量信息的特性。神經(jīng)網(wǎng)絡包括卷積神經(jīng)網(wǎng)絡和前饋神經(jīng)網(wǎng)絡兩種方式。其中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡通常具有更好的預測能力，但所需的數(shù)據(jù)訓練量也更多。鑒于本文研究的工況相對簡單，本文選用所需數(shù)據(jù)量較少的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡。對于神經(jīng)網(wǎng)絡層數(shù)和神經(jīng)元數(shù)量的選取，海軍工程大學曹植珺等［11］的綜述文章中指出目前缺少很好的參數(shù)調(diào)節(jié)的手段，包括訓練神經(jīng)網(wǎng)絡時隱含層數(shù)、隱含節(jié)點數(shù)、輸入節(jié)點數(shù)等基本依靠經(jīng)驗。對于不復雜的關系結構，神經(jīng)網(wǎng)絡的層數(shù)通常為2～3層，神經(jīng)元數(shù)量不超過10個，本文選擇的神經(jīng)網(wǎng)絡層數(shù)為兩層，神經(jīng)元數(shù)量為4個，其結構如圖3所示。

第一層為輸入變量層，包括工況冷卻劑入口速度V以及粗網(wǎng)格下出口截面子通道溫度TLi(i=1，2，3，...，36)共計37個輸入變量；第二層為神經(jīng)元層，共包括4個神經(jīng)元N1，…，N4；第三層為輸出變量層，包括粗網(wǎng)格與細網(wǎng)格下出口截面各個子通道溫度的誤差預估值E1，E2，…，E36，共計36個輸出變量。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡的基本原理，各層元素之間的關系如下：

圖3 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡學習架構Fig.3 Framework of feedforward neural network(FNN)

式中：f為神經(jīng)網(wǎng)絡學習的函數(shù)形式，為表達方便，記：

本文采用均方根誤差來評估優(yōu)化效果，分別定義未經(jīng)優(yōu)化的粗網(wǎng)格下出口截面36個子通道溫度與精確值（細網(wǎng)格下相應計算結果）之間的均方根誤差為RMSEL，經(jīng)過優(yōu)化的粗網(wǎng)格下出口截面36個子通道溫度與精確值（細網(wǎng)格計算結果）之間的均方根誤差為RMSEM，其形式如下：

通過比較RMSEM與RMSEL的大小差異來評估優(yōu)化效果，如果0～RMSEM?RMSEL，則可認為達到預期優(yōu)化效果。

2 優(yōu)化結果

2.1 計算精度

使用機器學習得到的誤差函數(shù)對訓練組和驗證組的粗網(wǎng)格結果進行優(yōu)化前后，出口截面36個子通道溫度與細網(wǎng)格下模擬結果的均方根誤差如圖4所示。

其中，5組驗證組工況的粗網(wǎng)格結果優(yōu)化前后的均方根誤差如表5所示。

圖4 粗網(wǎng)格結果優(yōu)化前后的均方根誤差Fig.4 Root mean square error(RMSE)before and after optimization

表5 驗證組工況粗網(wǎng)格結果優(yōu)化前后的均方根誤差Table 5 Root mean square error before and after optimization of the verification group results

通過圖4和表5可以看出，訓練組和驗證組粗網(wǎng)格下修正優(yōu)化后的結果相比于優(yōu)化前，與細網(wǎng)格下結果的均方根誤差大大降低，5組檢驗組工況出口截面36個子通道溫度均方根誤差平均值從1.16 K降低為9.24×10-3K，滿足0～RMSEM?RMSEL，達到預期的優(yōu)化效果。

以入口速度為2.25 m?s-1的工況為例，其細網(wǎng)格下、粗網(wǎng)格下結果修正前后36個子通道的溫度如圖5所示。通過圖5可以看出，修正優(yōu)化后的各個子通道溫度值相比于優(yōu)化前，明顯更加接近細網(wǎng)格下的結果；且對于邊通道和角通道，優(yōu)化提升的效果更加明顯。

2.2 計算效率

使用本文的方法可以對粗網(wǎng)格下的計算結果進行修正，取得了良好的優(yōu)化效果，這也使得CFD計算效率大幅提升。

對于粗網(wǎng)格、細網(wǎng)格工況，在運算時均以連續(xù)20個迭代步內(nèi)出口平均溫度變化不超過0.01℃為判斷計算達到收斂的條件。本文涉及的表4中共計25個工況在粗網(wǎng)格、細網(wǎng)格下進行CFD運算所需要的總CPU系統(tǒng)時間如表6所示。

圖5 V=2.25 m?s-1工況下粗網(wǎng)格結果優(yōu)化前后子通道溫度值與細網(wǎng)格下結果的對比Fig.5 Comparison of subchannel temperature before and after optimization under the condition of V=2.25 m?s-1

從表6可以看出，不同工況下粗網(wǎng)格計算所需的總CPU系統(tǒng)時間遠遠小于細網(wǎng)格下所需時間，上述25個工況粗網(wǎng)格下總CPU系統(tǒng)時間的平均值約為細網(wǎng)格下平均值的2.54%。就本文研究的問題而言，若需要得到入口速度從1.65～2.85 m·s-1間等距100個工況的計算結果，傳統(tǒng)方法需運行100個細網(wǎng)格工況，而基于神經(jīng)網(wǎng)絡的粗網(wǎng)格優(yōu)化方法下，僅需計算25個細網(wǎng)格工況和100個粗網(wǎng)格工況（以表6的CPU系統(tǒng)時間平均值計算，約相當于三個細網(wǎng)格工況的計算量），總體的計算效率得到大幅提高。

3 結語

本研究利用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的機器學習方法，對不同入口速度工況下出口截面子通道冷卻劑溫度粗網(wǎng)格下的CFD數(shù)值模擬結果進行了優(yōu)化，得到如下結論：

1）采用神經(jīng)網(wǎng)絡方法對本文工況粗網(wǎng)格下的結果進行修正后，5組檢驗組工況出口截面36個子通道溫度的均方根誤差平均值從1.16 K降低為9.24×10-3K，誤差大大減小，優(yōu)化效果顯著。

2）在本文研究的問題中，粗網(wǎng)格下總CPU系統(tǒng)時間的平均值約為細網(wǎng)格下平均值的2.54%。通過神經(jīng)網(wǎng)絡對粗網(wǎng)格結果優(yōu)化的方式，對于批量化的CFD計算或者已有較為充分的訓練數(shù)據(jù)的CFD計算，其計算效率將大幅提高。

3）就本文算例來看，基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的機器學習框架對于內(nèi)部預測（即驗證工況的速度值在訓練集速度值范圍內(nèi)）的優(yōu)化效果好于外部預測。但由于本文算例較為局限，這一結論還需要更多算例結果的支持驗證。

本文的研究為利用機器學習框架對粗網(wǎng)格數(shù)值模擬進行優(yōu)化，從而兼顧計算效率與計算精度提供了可行參照。未來，可以在反應堆熱工水力領域的更多問題特別是多耦合或非穩(wěn)態(tài)問題上進行更廣泛的驗證。

表6 25個工況在粗網(wǎng)格、細網(wǎng)格下運行所需的總CPU系統(tǒng)時間Table 6 The total CPU system time required for 25 operating conditions to run under coarse and fine grids