賈 逸，魏良帥，黃海峰

(1.中國地質(zhì)科學院探礦工藝研究所，四川 成都 611734；2.中國地質(zhì)調(diào)查局地質(zhì)災害防治技術中心，四川 成都 611734；3.四川成綿蒼巴高速公路有限責任公司成都分公司，四川 成都 641400)

0 引 言

紅層在我國西南地區(qū)廣泛分布，孕育了大量滑坡體，威脅人類生命財產(chǎn)安全[1-2]。滑帶是指在滑坡發(fā)育、發(fā)生過程中經(jīng)歷物理化學作用，力學性質(zhì)大幅衰減的下滑界面[3]。當滑帶土蠕變累積至某一程度，易在降雨、地震等外界因素的誘發(fā)下發(fā)生滑坡。因此，研究滑帶土蠕變力學特性對邊坡長期穩(wěn)定性分析及災害防治具有十分重要的意義[4]。對于滑帶土蠕變的研究已有較多成果，賴小玲等[5]在傳統(tǒng)Mesri蠕變經(jīng)驗模型的基礎上，將基質(zhì)吸力作為獨立變量，建立考慮基質(zhì)吸力的滑帶土蠕變經(jīng)驗模型；Bhat等[6]采用扭剪蠕變儀研究滑帶土在殘余狀態(tài)下的蠕變行為；Maio等[7]開展直剪蠕變試驗，研究孔隙水含鹽量對滑帶土殘余蠕變強度的影響；Wen等[8]研究發(fā)現(xiàn)含礫量與滑帶土蠕變強度之間無直接關聯(lián)；李夢姿[9]構建了滑帶土非線性Burgers模型；黃海峰等[10]通過Log-Modified函數(shù)描述應變-時間關系，建立新的滑帶土蠕變經(jīng)驗模型；蔣樹等[11]引入非線性黏塑性損傷元件，改進傳統(tǒng)Cvisc模型，對滑帶土蠕變行為模擬取得良好成效；朱榮森[12]以黃土滑坡滑帶土為研究對象，開展三軸壓縮蠕變試驗，得到蠕變力學性質(zhì)與含水率和圍壓之間的規(guī)律。

土體蠕變本構模型以針對性較強的經(jīng)驗模型和適用性較強的元件模型為主。經(jīng)驗模型由于擬合參數(shù)無明確物理意義難以推廣。為解決經(jīng)驗模型適用性弱的難題，本文在傳統(tǒng)Mesri經(jīng)驗模型的基礎上，保留原有雙曲線方程描述應力-應變關系，引入分數(shù)階微積分理論反映土體應變-時間關系，使經(jīng)驗模型參數(shù)物理意義更為明確，得到改進后的蠕變經(jīng)驗模型。利用該模型對西南地區(qū)某紅層滑坡滑帶土和相關文獻中的黃土和高含鹽細砂土蠕變數(shù)據(jù)進行辨識對比，證明本模型的可行性和適用性，可為土體蠕變經(jīng)驗模型構建及紅層邊坡長期穩(wěn)定性分析提供參考。

1 滑帶土蠕變試驗

1.1 試樣制備及試驗儀器

試樣取自西南地區(qū)某紅層滑坡滑帶，由于鉆孔取樣時不可避免有一定擾動，取原狀土條件受限，故本文以重塑樣進行固結不排水三軸壓縮蠕變試驗。土樣密封運回試驗室風干后將其碾散，過1 mm篩，通過擊實法并以天然含水率12%制備直徑39.1 mm、高度80 mm的圓柱體試樣，最大允許差值在1%以內(nèi)，符合GB/T 50123—2019《土工試驗方法標準》的規(guī)定，用保鮮膜充分包裹，靜置1 d使試樣水分均勻。土樣物理力學參數(shù)見表1。

表1 土樣物理力學參數(shù)

試驗儀器為CSS-2901TS土體三軸流變試驗機。該試驗機由軸向加載系統(tǒng)、圍壓加載系統(tǒng)和變形測量系統(tǒng)等組成，最大軸向荷載達10 kN，圍壓及孔隙水壓力變化范圍皆為0～2 MPa，軸向位移量測范圍為0～20 mm。

1.2 試驗方法

首先開展滑帶土三軸不排水剪切試驗，得到不排水剪切強度τf。由于滑帶在滑坡體內(nèi)所處位置較淺，實際圍壓較低，故將圍壓設置為100、200 kPa和300 kPa，應力水平D取為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7和0.75，則每級偏應力對應為0.5τf、0.55τf、0.6τf、0.65τf、0.7τf和0.75τf。應力路徑示意見圖1(以圍壓100 kPa為例)。蠕變試驗加載方案見表2。蠕變試驗首先以0.2 kPa/min的速率將圍壓加載至預定值，接著固結土樣，固結時間設定為4 h，之后再以0.05 mm/min的剪切速率施加剪切荷載，每0.2 mm的剪切位移記數(shù)1次。

表2 蠕變試驗加載方案 kPa

圖1 應力路徑

2 試驗成果

2.1 滑帶土蠕變曲線

通過圖1所示應力路徑開展固結不排水三軸蠕變試驗，得到分級加載蠕變曲線，見圖2；通過Boltzmann線性疊加[13]處理圖2，繪制分別加載蠕變曲線，見圖3。圖2、3中，將各級應力水平標識于曲線上。從圖2可看出，分級加載蠕變曲線為“臺階式”攀爬的曲線，每一級“臺階”高于前一級。高圍壓下的應變量值總是大于低圍壓。從圖3可看出，土樣在加載瞬間首先表現(xiàn)出瞬彈性變形，緊接著是歷時較短的衰減蠕變階段，該階段曲線斜率逐漸降低，蠕變速率遞減，隨后進入穩(wěn)定蠕變階段，此時蠕變速率基本保持平衡，應變量值基本保持恒定。土樣軸向應變由瞬時應變和蠕變應變組成，蠕變應變包含衰減、穩(wěn)定蠕變階段。圍壓300 kPa時，第6級加載下穩(wěn)定蠕變階段的曲線斜率呈明顯增大趨勢，說明蠕變變形現(xiàn)象更為顯著。對于同一滑帶土，隨著土體垂直壓力的增加，圍壓不斷增大，軸向應變值遞增。

圖2 分級加載蠕變

圖3 分別加載蠕變

2.2 滑帶土的等時偏應力-應變特性

從圖3中擇取1、11、21、31、41、51、61 h和71 h共8個時間節(jié)點的偏應力和應變值，繪制等時偏應力-應變曲線，見圖4。從圖4可以看出，滑帶土等時偏應力-應變曲線近乎為一束曲線簇，其形態(tài)近似為雙曲線，具有明顯的非線性特征。蠕變時間為1 h的曲線與11、21、31、41、51、61 h和71 h這7條曲線組成的曲線簇明顯分離，這說明土樣在初始荷載下存在明顯的彈性變形，第1級加載情況下尤為顯著。分析可知，滑帶土總應變由瞬時彈性應變和蠕變應變組成。

圖4 等時偏應力-應變關系

3 蠕變經(jīng)驗模型

3.1 經(jīng)驗型蠕變模型的建立

滑帶土總應變由瞬時應變和蠕變應變組成，暫不考慮瞬時應變，將滑帶土蠕變應變ε2表示為

ε2=f1(k)f2(t)

(1)

式中，f1(k)、f2(t)分別為土樣的應力-應變關系函數(shù)、應變-時間關系函數(shù)；k、t分別為函數(shù)f1(k)、f2(t)的自變量。

3.2 應力-應變關系

由于滑帶土等時偏應力-應變曲線近似雙曲線，參考傳統(tǒng)Mesri經(jīng)驗模型[14]引入Kondner雙曲線型偏應力-應變方程，即

(2)

式中，σ1、σ3分別為最大和最小主應力；a、b為雙曲線方程參數(shù)。

對式(2)等號兩側(cè)同時求微分，得到初始切線模量Eu為

(3)

當ε→∞時，對式(2)取極限值即為最終偏應力差(σ1-σ3)ult，即

(4)

實際上，土樣應變不可能無窮大，當外界荷載達到排水剪切強度τf時土樣開始破壞。為了在Kondner雙曲線中體現(xiàn)破壞點[εf，(σ1-σ3)f]，其中，εf為破壞點對應的應變，(σ1-σ3)f為破壞偏應力。引入破壞比Rf[5]，公式為

(5)

將式(3)、(5)代入式(2)得到應力-應變本構關系式，即

(6)

式中，D=(σ1-σ3)/(σ1-σ3)f。

3.3 應變-時間關系

蠕變經(jīng)驗模型中，應變-時間關系多通過雙曲線函數(shù)、冪次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)甚至生長函數(shù)等[10，15]多種形式進行描述，盡管能取得一定的擬合效果，但會導致應力-應變關系參數(shù)無實際物理意義，難以表征蠕變發(fā)展過程的內(nèi)在性質(zhì)，且由于其具有較強的針對性，無法進行推廣，故本文引入分數(shù)微積分理論反映土樣應變-時間關系。

分數(shù)階微積分的核心在于其階數(shù)為有理分數(shù)、無理數(shù)和復數(shù)，可表征與某一現(xiàn)象的整個發(fā)展歷史有關的性質(zhì)[16]。分數(shù)階微積分物理意義清晰，結構簡單，在非線性動力系統(tǒng)中優(yōu)勢顯著?；瑤潦且环N非線性的地質(zhì)材料，故引入應用較為廣泛的Riemann-Liouville型分數(shù)階微積分。依據(jù)該理論，函數(shù)f(t)在可積區(qū)間[0，t]的α階Riemann-Liouville積分定義為

(7)

式中，Γ(α)為伽馬函數(shù)，α為大于0的分數(shù)階數(shù)；s為用于拉普拉斯變換的某一自變量。 函數(shù)f(t)的α階微分相應地定義為

(8)

式中，n=[α]。Γ(α)定義為

(9)

在滑帶土蠕變發(fā)展過程中，土樣蠕變應變一般用牛頓體本構方程描述，即

(10)

基于分數(shù)階微積分理論，可將該本構關系其轉(zhuǎn)化為

(11)

式中，ηα為分數(shù)階黏滯系數(shù)。

當應力σ恒定時，依據(jù)Riemann-Liouville積分理論，對式(7)進行Riemann-Liouville分數(shù)階積分得

(12)

式(12)即為土樣應變-時間關系。取σ為200 kPa，ηα為5×105kPa·h，通過式(12)繪制不同α值的蠕變曲線，見圖5。從圖5可看出，當α增大時，曲線斜率不斷增加，曲線逐漸遠離時間軸，表現(xiàn)出明顯的非線性特征；當α增至1時，表現(xiàn)出完全線性關系。

圖5 不同α值的蠕變

3.4 經(jīng)驗型蠕變模型

將式(6)、(12)同時代入式(1)可得

(13)

瞬時彈性應變ε1服從Hooke定律，ε1=σ/Eu，由于式(13)未考慮瞬時應變，故將式(13)改為

(14)

由于D=(σ1-σ3)/(σ1-σ3)f，將其代入式(14)化簡可得

(15)

式(15)即為本文所建蠕變經(jīng)驗模型。

4 模型驗證及參數(shù)求解

傳統(tǒng)經(jīng)驗模型皆是分別求解應力-應變關系和應變-時間關系參數(shù)，實際土體蠕變發(fā)展過程中變形同時受到應力和時間的影響，通過應力-應變-時間模型整體同時求解參數(shù)更為合理。本文建立的蠕變經(jīng)驗模型有Eu、Rf、ηα和α共4個參數(shù)，通過一般的非線性最小二乘算法求解即可。模型參數(shù)見表3。引用文獻[14]中傳統(tǒng)Mesri經(jīng)驗模型與所建模型進行對比，理論值與試驗值對比曲線見圖6。

表3 模型參數(shù)

從圖6可看出，引用經(jīng)驗模型對穩(wěn)定蠕變階段的擬合偏差較大，擬合精度相對較低，平均相關系數(shù)R2僅有0.947 6。而本文建立的模型對衰減蠕變階段和穩(wěn)定蠕變階段的辨識更為精準，平均相關系數(shù)R2達到0.983 9。傳統(tǒng)Mesri經(jīng)驗模型屬于傳統(tǒng)經(jīng)驗模型，具有很強的針對性，僅針對某一種土體，難以推廣。而本文建立的模型在傳統(tǒng)經(jīng)驗模型的基礎上，通過分數(shù)階微積分描述應變-時間關系，從而得到新的分數(shù)階經(jīng)驗模型。該模型參數(shù)具有一定的物理意義，模型內(nèi)涵較為豐富，可從某種意義上表征土體蠕變過程的內(nèi)在性質(zhì)，具有一定的推廣價值。

圖6 理論值與試驗值對比

為驗證本文所建模型描述土體蠕變力學性質(zhì)的適用性，引用文獻[17-18]中黃土、高含鹽細砂土的蠕變數(shù)據(jù)，利用本文所建模型進行模擬辨識，得到的理論值與試驗值對比曲線見圖7。從圖7可看出，本文模型對黃土、高含鹽細砂土蠕變曲線具有較強的辨識能力，平均相關系數(shù)R2分別為0.991 5和0.986 3，理論值和試驗值吻合較好。由此證明，本文建立的經(jīng)驗模型能較好地描述土體蠕變力學行為，具有一定的適用性。

圖7 理論值與試驗值對比

由于元件模型的參數(shù)多具有明確物理意義，辨識不同種類、區(qū)域的土體蠕變時每個參數(shù)表現(xiàn)出不同的規(guī)律，故土體元件模型在蠕變模擬中應用更為廣泛。經(jīng)驗模型一般僅針對某種土體，本文在傳統(tǒng)Mesri經(jīng)驗模型的基礎上，保留原有雙曲線方程描述應力-應變關系，引入分數(shù)階微積分理論反映土體應變-時間關系，使得改進后的經(jīng)驗模型具有一定的物理意義，突破傳統(tǒng)經(jīng)驗模型擬合參數(shù)無意義的限制，從某種程度上能體現(xiàn)土體蠕變過程的內(nèi)在性質(zhì)，為蠕變經(jīng)驗模型的深入研究提供一種新思路。但是，經(jīng)驗模型如何借鑒元件模型的優(yōu)點，通過一組或多組參數(shù)的差異反映土體性質(zhì)的規(guī)律性差異，這是接下來研究的重點。

5 結 語

滑帶土蠕變變形過程中，應變包含瞬時彈性應變和蠕變應變，其中蠕變應變表現(xiàn)出明顯的非線性特征，滑帶土等時應力-應變曲線近似雙曲線。本文在傳統(tǒng)經(jīng)驗模型的基礎上，保留原有雙曲線方程描述近似雙曲線形態(tài)的應力-應變關系，引入分數(shù)階微積分理論反映土體應變-時間關系，得到改進后的蠕變經(jīng)驗模型。利用所建模型對滑帶土、黃土和高含鹽細砂土蠕變數(shù)據(jù)進行辨識，理論曲線與試驗曲線較為吻合，擬合精度較高，證明本文模型具有一定的可行性和適用性。