袁 愛(ài) 霞，房 少 軍，劉 浩 然，段 云 夢(mèng)

(1.大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116026；2.大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116034)

0 引 言

無(wú)線通信系統(tǒng)中，濾波器性能的優(yōu)劣影響到一個(gè)通信設(shè)備的整體質(zhì)量，因此，對(duì)濾波器性能的優(yōu)化提出了更高的標(biāo)準(zhǔn)[1]。LC濾波器的優(yōu)化是一個(gè)多約束、非線性的規(guī)劃問(wèn)題[2]。該問(wèn)題具有目標(biāo)相互耦合，互相制約的特點(diǎn)。如需得到最優(yōu)解，運(yùn)算量大，傳統(tǒng)的運(yùn)算已經(jīng)無(wú)法滿足濾波器優(yōu)化的要求。國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用不同的算法對(duì)各類型濾波器進(jìn)行了優(yōu)化，如基于混沌遺傳算法、量子遺傳算法、自適應(yīng)遺傳算法的濾波器優(yōu)化[3-5]。

NSGA-Ⅱ算法是在第一代非支配排序遺傳算法改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法，提出了精英保留的策略，擴(kuò)大了種群迭代的選擇范圍，避免了最優(yōu)個(gè)體的缺失，提高了算法的運(yùn)行速度，很大程度地降低該算法計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜度，改進(jìn)了傳統(tǒng)算法的性能[6]。目前對(duì)NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行了較多的研究[7-14]。Zhang等[8]利用改進(jìn)的NSGA-II完成了對(duì)陷波器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，引入了不同目標(biāo)重要性向量；肖懷碩等[10]基于改進(jìn)的NSGA-Ⅱ?qū)收舷蘖髌鬟M(jìn)行了配置優(yōu)化，提出了局部微分法提高搜索能力。但沒(méi)有關(guān)于如何選取最優(yōu)解的論述。因此，提出了一種采用NSGA-Ⅱ算法，對(duì)濾波器的多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方案。

本研究針對(duì)一個(gè)截止頻率為50 MHz，特征阻抗為的50 Ω的5階π形定K型低通濾波器，用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行了優(yōu)化。算法首先設(shè)定初始化種群，對(duì)算法中群體的多樣性和全局搜索能力進(jìn)行改進(jìn)，確定適應(yīng)度函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)，建立約束條件，對(duì)濾波器的插入損耗、反射損耗、群時(shí)延進(jìn)行優(yōu)化；并完成優(yōu)化結(jié)果的仿真與性能分析，優(yōu)化后的濾波器性能較初始設(shè)計(jì)有了明顯的改善。

1 優(yōu)化前濾波器性能分析

截止頻率50 MHz，特征阻抗50 Ω的5階π形定K型低通濾波器[15]，如圖1所示，這種濾波器存在著截止頻率不準(zhǔn)確、性能較差等問(wèn)題。但是這種濾波器元件種類少，級(jí)數(shù)易于增加，制作簡(jiǎn)單。如圖1所示低通濾波器的仿真結(jié)果為插入損耗3 dB，截止頻率為45.6 MHz，不是初始計(jì)算時(shí)規(guī)定的50 MHz截止頻率，如圖2所示。因此針對(duì)這個(gè)濾波器的截止頻率不準(zhǔn)確等性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，使濾波器更加符合需求。

圖1 5階π形定K型低通濾波器Fig.1 Fifth order π-shaped fixed K-type low pass filter

圖2 5階低通濾波器截止特性和反射損耗Fig.2 Cut-off characteristics and reflection loss of 5th order low pass filter

2 基于NSGA-Ⅱ的濾波器優(yōu)化

2.1 初始種群的產(chǎn)生

隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)個(gè)體，作為開(kāi)始進(jìn)行迭代運(yùn)算的初始種群。初始種群數(shù)量的規(guī)模大小，會(huì)影響算法優(yōu)化后產(chǎn)生結(jié)果和運(yùn)行效率[16]。

在初始種群產(chǎn)生時(shí)，初始個(gè)體的決策變量通過(guò)min(i)+(max(i)-min(i))×rand(1)產(chǎn)生，其中max(i)為個(gè)體中決策變量的最大值，min(i)為個(gè)體中決策變量的最小值，由于rand(1)為隨機(jī)值，這就有可能造成初始值相差很小或相等，改進(jìn)的算法對(duì)每個(gè)產(chǎn)生的值和其他已產(chǎn)生的值進(jìn)行相減并取絕對(duì)值，如果該絕對(duì)值小于(max(i)-min(i))/N，該值就會(huì)舍棄，這樣就會(huì)保證個(gè)體密度值的均勻，確保了種群個(gè)體的多樣性，提高了算法的全局搜索能力。

2.2 適應(yīng)度函數(shù)的確定

采用非負(fù)函數(shù)的變換，把最小值通過(guò)取反加上最大值，變?yōu)楹瘮?shù)的最大值的形式求取。

(1)

式中：Cmax為f(x)中取值的最大值。

2.3 確定目標(biāo)函數(shù)

將濾波器的插入損耗S21、反射損耗S11和群時(shí)延作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。S21和S11用[ABCD]矩陣表示，可根據(jù)式(2)～(4)寫出5階低通濾波器電路的目標(biāo)函數(shù)。

(2)

(3)

(4)

式中：Z0表示濾波器的特征阻抗，H(jω)表示濾波器的傳輸函數(shù)。

2.4 建立約束條件

在NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化過(guò)程中對(duì)電感、電容的取值約束可以保證優(yōu)化效率，同時(shí)得到最優(yōu)結(jié)果。電感和電容的約束條件如式(5)、式(6)所示。

Cimin≤Ci≤Cimax

(5)

Limin≤Li≤Limax

(6)

式中：i=1，2，…，n，表示不同的元件；Cimin為電容容量的下限；Cimax為電容容量的上限；Limin為電感容量的下限；Limax為電感容量的上限。

2.5 NSGA-Ⅱ算法實(shí)現(xiàn)步驟

用NSGA-Ⅱ算法對(duì)低通濾波器進(jìn)行優(yōu)化，首先設(shè)定變量，種群總數(shù)為200，優(yōu)化代數(shù)為400，競(jìng)爭(zhēng)個(gè)體數(shù)為2，交叉算子為20，變異算子為20。根據(jù)約束條件產(chǎn)生初始種群，針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)優(yōu)化算法從中獲得一組最優(yōu)解，基于最優(yōu)解x=[C1，L2，C3，L4，C5]，實(shí)現(xiàn)該濾波器的優(yōu)化。NSGA-Ι算法的優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 基于NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow diagram of algorithm optimization based on NSGA-Ⅱ

2.6 基于距離值的最優(yōu)解分析

為了在Pareto解集中找到滿足要求的最優(yōu)解，對(duì)解集中的每個(gè)解增加了基于距離值分析的功能。距離值是指一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的任意一個(gè)解和設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)值間的差距。

首先通過(guò)式(7)算出解集中插入損耗每個(gè)解的距離值D1(N)(N=1，2，…，200)，同理計(jì)算出反射損耗、群時(shí)延的距離值D2(N)和D3(N)，然后將距離值增加在解集矩陣中。距離值越接近0，該目標(biāo)解越優(yōu)。

(7)

式中：T(obji)為目標(biāo)函數(shù)i設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)值，obji(N)為目標(biāo)函數(shù)i的任意一個(gè)解，max(obji)為目標(biāo)函數(shù)i解中的最大值，min(obji)為目標(biāo)函數(shù)i解中的最小值，i=1，2，3。

按照式(8)算出任意一組解中插入損耗、反射損耗、群時(shí)延的距離值和，距離值和最小的解為最優(yōu)解。

(8)

式中：d(N)表示距離值和，Pi為目標(biāo)函數(shù)i的權(quán)重，考慮該目標(biāo)函數(shù)，其權(quán)重為1，不考慮為0。

3 優(yōu)化仿真與性能分析

將插入損耗作為優(yōu)化目標(biāo)，其他兩個(gè)目標(biāo)不做考慮時(shí)，此時(shí)優(yōu)先保證插入損耗在50 MHz時(shí)是3 dB。用NSGA-Ⅱ算法運(yùn)算出Pareto解，通過(guò)式(7)和(8)找出插入損耗在截止頻率50 MHz處插入損耗為3 dB時(shí)元器件的值，如表1所示。

表1 截止頻率優(yōu)化的最優(yōu)解Tab.1 Optimal solution of cut-off frequency optimization

優(yōu)化后仿真結(jié)果如圖4所示，截止頻率已經(jīng)優(yōu)化至50 MHz，改善了原來(lái)低通濾波器截止頻率不準(zhǔn)確的問(wèn)題。

圖4 優(yōu)化截止頻率仿真圖Fig.4 Simulation of optimized cut-off frequency

將插入損耗、反射損耗和群時(shí)延同時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo)。要求在25 MHz時(shí)S11≤-15 dB，群時(shí)延delay≤1.3 ns，插入損耗盡量靠近50 MHz時(shí)3 dB帶寬。通過(guò)遺傳算法運(yùn)算出該條件下插入損耗、反射損耗和群時(shí)延的Pareto解。通過(guò)式(7)、(8)在這個(gè)解集中運(yùn)算出最優(yōu)解，這個(gè)解對(duì)應(yīng)的元器件值如表2所示。仿真結(jié)果如圖5和圖6中的S21(opt)、S11(opt)和delay(opt)。插入損耗-3 dB時(shí)的截止頻率優(yōu)化到了48.5 MHz，如圖7所示。在圖7中，考慮插入損耗、反射損耗和群時(shí)延，m1所指示的曲線綜合指標(biāo)特性較好，插入損耗特性較為平坦，并且截止頻率靠近50 MHz。如果不考慮反射損耗和群時(shí)延，截止頻率可以優(yōu)化至規(guī)定值。

表2 多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解Tab.2 Optimal solution of multi objective optimization

圖5 優(yōu)化反射損耗仿真圖Fig.5 Simulation diagram of optimized reflection loss

圖6 群時(shí)延仿真圖Fig.6 Simulation of group delay

圖7 截止頻率附近的衰減特性仿真圖Fig.7 Simulation of attenuation characteristics near cut-off frequency

4 實(shí)際模型仿真與性能分析

在制作濾波器時(shí)，需要購(gòu)置實(shí)際器件。電感和電容的理論設(shè)計(jì)值在實(shí)際中并不都存在，需要經(jīng)過(guò)電容和電感的并聯(lián)和串聯(lián)實(shí)現(xiàn)和理論值大致相等的實(shí)際值。優(yōu)化之前濾波器的理論設(shè)計(jì)電感值需要3個(gè)不同數(shù)值的電感串聯(lián)實(shí)現(xiàn)，理論設(shè)計(jì)電容值需要2個(gè)不同的電容并聯(lián)實(shí)現(xiàn)。需要的電感和電容實(shí)際值和型號(hào)見(jiàn)表3。

表3 優(yōu)化前實(shí)際電感和電容值Tab.3 Practical inductor and capacitor before optimization

按照表2中優(yōu)化后的濾波器元器件值制作出實(shí)際濾波器模型電路，如圖8所示。需要的電感和電容實(shí)際值和型號(hào)如表4所示。

表4 優(yōu)化后實(shí)際電感和電容值Tab.4 Practical inductor and capacitor after optimization

圖8 優(yōu)化后低通濾波器實(shí)際電路圖Fig.8 Practical circuit of optimized low pass filter

兩個(gè)實(shí)際模型電路的仿真結(jié)果如圖9所示，由于實(shí)際電容和電感存在誤差和損耗電阻，所以實(shí)際制作出的濾波器插入損耗比理論仿真值增大。但是經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的低通濾波器在50 MHz的插入損耗比優(yōu)化前的濾波器改善了約2.5 dB。

圖9 插入損耗比較圖Fig.9 Comparison of insertion loss

5 結(jié) 論

針對(duì)濾波器的插入損耗、反射損耗及群時(shí)延等參數(shù)相互制約并且運(yùn)算量大的問(wèn)題，利用NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法處理多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，將該算法用于低通濾波器性能優(yōu)化。研究結(jié)果表明利用該算法可以將截止頻率優(yōu)化至設(shè)計(jì)目標(biāo)，優(yōu)化后的濾波器實(shí)際模型電路比優(yōu)化前的插入損耗改善了約2.5 dB。研究結(jié)果為濾波器實(shí)際應(yīng)用中的性能優(yōu)化，提供了方法和應(yīng)用基礎(chǔ)。