毛素珍

(南昌工程學院 理學院，江西 南昌 330099)

1 引言

本文主要研究來源于非線性光學中的耦合非線性薛定諤方程組

(1)

其中i是虛數(shù)單位；耦合常數(shù)β表示2種物質(zhì)態(tài)的相互作用：當β>0時，說明它們是相吸引的，否則就是相排斥的。

為得到式(1)的孤立波解，假設Φj(x，t)=uj(x)eiλjt，則式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

當n≤3時，式(2)吸引了國內(nèi)外許多數(shù)學家的研究興趣，例如式(2)基態(tài)解的存在性見[1]；同步解、相分離解見文獻[2-3]和文獻[5]。當n=4時(注意到此時Sobolev臨界指數(shù)2*=4)，式(2)變成臨界問題，郭玉霞等人在文獻[4]中，討論了式(2)解的存在性、唯一性和不存在性。式(1)和式(2)的研究現(xiàn)狀和背景，還可以見上述文獻中的參考文獻。

在文[6]中，M.Badiale等人研究了非線性波方程的渦旋解，他們主要通過考慮一類特殊的波函數(shù)，滿足角動量不為零，從而得到渦旋解。借鑒該想法，當N=2時，近期鄧金等人在文獻[3]中，得到了式(1)的渦旋解存在性及其性態(tài)。本文主要討論N≥2時，式(1)的渦旋解的存在性和唯一性。當N≥2時，式(1)會有更多的耦合項，這給該問題的研究帶來了困難。

為了得到渦旋解，考慮uj是復值的[6]。定義Φj(x，t)=uj(x)ei(k0θ(x)+λjt)，其中θ(x)∈/2π，k0=0，則式(1)等價于以下方程組：

(3)

本文只考慮二維(即n=2)的情形。假設u(x)=u(|x|)且

(4)

(5)

注意到當k0=0時，式(5)即為式(2)。在本文中，考慮k0>0情形，為簡便起見，假設k0≡1。注意到式(5)帶有奇性項uj/|x|2，與式(2)比較，該問題更為復雜。

下面陳述本文的主要結(jié)果。 設Q(x)=Q(|x|)是方程

(6)

的唯一正基態(tài)解。記

其中對所有的i，j=1，…，N，有βij=βji。利用變分方法，可以得到以下同步解的存在性。

(7)

進一步，還可以證明定理得到的解是唯一的。

將在第3部分證明定理1和定理2，并在第2部分介紹一些預備知識。

2 預備知識

將利用臨界點理論來證明式(5)的存在性和唯一性，所以考察式(5)對應的能量泛函E：H=Hλ1×…×HλN→，即

定義約束泛函

其中

下面，回顧幾個有用的結(jié)果。

命題1[3]考慮極小問題

3 主要定理的證明

定理2的證明(解的唯一性)：設(v1，0，…，vN，0)是式(5)任一最小能量正解，對1≤m，l≤N，固定數(shù)對(m，l)，視βml為變量.因為E，M和C的定義都依賴于βml，在下面證明中分別用符號Eβml，Mβml和C(βml)表示.對每一個j，定義

(8)

其中(Fkj)表示矩陣F的逆.

由泰勒展開式，可知

其中