葉麗霞，蘭德新，李燕云

(武夷學院 數(shù)學與計算機學院，福建 武夷山 354300)

在種群生態(tài)學中，捕食者—食餌系統(tǒng)之間的關(guān)系，一直以來都是生物數(shù)學研究的重點，它對于生物界種群的死亡和發(fā)展有著重要的影響。功能性反應函數(shù)對于捕食者—食餌系統(tǒng)有著重要的意義，它能夠確切地表現(xiàn)出捕食者的捕食能力。Holling[1]通過實驗，得出了不同物種的三種不同的功能反應函數(shù)。文獻[2-5]對Holling II 、Holling III型的捕食者—食餌系統(tǒng)的正周期解的存在性、正平衡點的穩(wěn)定性等動力性行為建立了相應的研究成果。在生物系統(tǒng)中，種群的捕撈或放養(yǎng)在極短時間內(nèi)不會對種群密度造成極大的變化，即表現(xiàn)為時滯現(xiàn)象，因此，時滯對生物的演化具有重要的影響。研究表明，建立具有時滯的生物模型具有非常重要的應用價值[6-13]。

1 基本概念

研究Rn中的微分方程組

(1)

定義1[9]若?ε>0，?δ>0(δ一般與t0和ε有關(guān))，使當任一x0滿足‖x0‖≤δ時，式(1)描述的系統(tǒng)由初始條件x(t0)=x0確定的解x(t)，對一切t≥t0均有‖x(t)‖<ε，則稱系統(tǒng)的零解x=0為穩(wěn)定的。

定義3[9]若式(1)描述系統(tǒng)的零解x=0為漸進穩(wěn)定的，且吸引域是Rn，則系統(tǒng)為全局漸進穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)論

本文考慮的具有時滯和Holling III型功能反應的捕食系統(tǒng)被描述如下：

(2)

其中x(t)表示t時刻食餌的密度；y(t)表示t時刻捕食者的密度；r為食餌固有增長率；q為捕食者死亡率；a為食餌中間作用系數(shù)；b為捕食者中間作用的系數(shù)；m為半捕捉飽和常數(shù)；τ為捕食者從幼年到具備捕食能力所需要的成長時間；r、a、q、b皆為正數(shù)。

2.1 持續(xù)性生存

證明由式(2)可得x′(t)≤x(t)[r-ax(t)]，由比較原理知：

(3)

同理可得：

(4)

(5)

(6)

由條件(i)～(ii)知，n，N，h，H均存在，且全部大于0，則該系統(tǒng)是持續(xù)性生存。

2.2 正平衡點的存在性

定理2設(shè)式(2)描述的系統(tǒng)中的系數(shù)r，a，m，q，b為正數(shù)，若該系統(tǒng)滿足(1-qm)r-abq>0，r2-a2q>0時，則該系統(tǒng)存在正平衡點。

證明設(shè)式(2)的平衡點為E*(x*(t)，y*(t))，則

(7)

由式(7)可得：

(8)

則有

-abm2x*5(t)+brm2x*4(t)+(qm-2abm-1)x*3(t)+

2brmx*2(t)+(q-a)bx*(t)+br=0.

令

由于r，a，m，q，b皆為正數(shù)，則有：

則函數(shù)f(x*(t))在(0，+∞)穿過x軸，即關(guān)于x*(t)的方程在(0，+∞)有解，即系統(tǒng)(2)存在x*(t)>0的解。

下面證明系統(tǒng)(2)存在解y*(t)>0.

由定理2的已知條件(1-qm)r-bq(a+H)>0，r2-a2q>0及r，a，m，q，b為正數(shù)，可得(1-qm)>0，則式(8)可化為

故系統(tǒng)(2)存在正平衡點。

2.3 全局漸進穩(wěn)定

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

其中c1，c2為大于零的常數(shù)，V(t)為定正函數(shù)。

將V(t)函數(shù)沿著式(2)對t求導數(shù)

c1a[|x(t)-x*(t)|-|x(t-τ)-x*(t-τ)|]+c2b[|y(t)-y*(t)|-|y(t-τ)-y*(t-τ)|]+

c1a[|x(t)-x*(t)|-|x(t-τ)-x*(t-τ)|]+c2b[|y(t)-y*(t)|-|y(t-τ)-y*(t-τ)|]=

{[mx*2(t-τ)+mx*(t)y(t-τ)][x(t)+x*(t)]-(1-c1)a}|x(t)-x*(t)|-

由于0

3 數(shù)值仿真

取系統(tǒng)(2)的初始值為(2，1)，即食餌的密度為2，捕食者的密度為1，r=1，a=2，m=0.5，q=0.1，b=2，用Matlab對系統(tǒng)(2)在τ=0.55和τ=6進行仿真，結(jié)果如圖1～2所示。

圖1 τ=0.55捕食者和食餌的密度函數(shù)圖像 圖2 τ=6捕食者和食餌的密度函數(shù)圖像

可以看出，圖2趨近穩(wěn)定的速度比圖1 更慢，表明時滯因素能夠延遲系統(tǒng)達到穩(wěn)定，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有重要影響。

4 結(jié)束語

本文基于實際應用背景，考慮捕食者從幼年到具備捕食能力需要成長時間，對功能反應函數(shù)中的捕食者y(t)和食餌x(t)加入時滯效應，研究了一類具有時滯和Holling III型功能反應的捕食者-食餌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)的持續(xù)性生存、正平衡點的存在性和全局漸進穩(wěn)定。定理1和定理2分別給出該系統(tǒng)持續(xù)性生存和正平衡點存在的一個充分條件，定理3給出該系統(tǒng)達到全局漸進穩(wěn)定的一個判別定理。最后，通過對系統(tǒng)(2)選取合理參數(shù)，借助Matlab軟件作圖，具體描述系統(tǒng)在不同時滯因素下捕食者和食餌的密度隨時間變化的情況圖，結(jié)果表明時滯因素能夠延遲系統(tǒng)達到穩(wěn)定，對系統(tǒng)穩(wěn)定具有重要的影響。