盧永文 楊朱偉 楊 堯 魏 濤 秦 瑯

(中國船舶集團公司第七一一研究所，上海 201108)

1 研究背景

傳統(tǒng)船舶推進系統(tǒng)中軸系重量約占整船重量的2%(約100 t～200 t)，使用復合材料替代金屬可以使軸系減重25%～80%，因此復合材料軸在船舶推進系統(tǒng)的傳動功率密度提高上具有重要的應用前景。同時，復合材料傳動軸還具備隔聲減振效果，是未來船舶推進方式的重要發(fā)展方向。目前在美國海軍YP-654巡邏艇、瑞典海軍SMYGE氣墊船以及美國Sacramento級補給艦等艦艇上均使用了復合材料軸系[1]。復合軸系中涉及到大量復合材料與其他部件的連接，連接形式包括了膠接和機械連接等形式。其中機械連接在傳遞載荷能力以及可維修性上具有明顯優(yōu)勢，是復合材料連接結構的重要形式。但是在復合材料結構上開孔會對復合材料強度明顯削弱，同時螺栓以及鉚釘?shù)氖褂眠€會增加結構重量。

復合材料相對金屬材料具有力學性能分散性大的特點，傳統(tǒng)的安全系數(shù)法進行結構強度設計時是通過安全系數(shù)對各變量不確定性用一個均值進行簡化，會導致設計結果危險或保守[2]。在美國航空手冊(MIL-HDBK-17-1F)中根據(jù)復合材料部件是否屬于關鍵件，定義了復合材料結構設計的A基準值和B基準值，表示在給定置信度γ條件下，可以期望β×100%的樣本值大于該下限值的問題[3]。因此，復合材料基準值設計法是基于力學性能的下分位進行分析，表明結構設計保守。結構的概率可靠性設計方法則是基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論，將結構設計中的材料性能的分散性以及外載荷的隨機性等不確定因素直接進行了量化，通過計算得到結構的失效概率充分考慮了材料的分散性[4]。因此對于復合材料傳動軸機械連接部位進行強度可靠性分析具有重要的意義。

某型碳纖維復合材料傳動軸額定工況下承擔著大轉矩，目前采用4倍額定工況進行確定性設計，對于材料的隨機性未加以考量，因此需要對結構進行可靠性分析，對結構設計進行指導。

本文首先對結構強度可靠性分析方法進行研究，建立了基于響應面模型的結構強度可靠度計算方法。隨后對某型復合材料傳動軸機械連接結構進行了多種額定扭轉工況下強度的確定性分析，最后基于確定性計算結果對復合材料軸機械連接部位強度可靠性進行了計算分析。

2 基于響應面模型的結構可靠性分析

2.1 結構可靠性理論

結構可靠性是指結構或結構構件在設計工作期內(nèi)滿足各項規(guī)定要求的能力,用可靠度來度量可靠性的大小，表示結構在設計期限內(nèi)，依據(jù)設計工況使用時，保持結構的安全性、功能性以及耐久性等功能狀態(tài)的能力[5]。

目前，針對結構可靠性的分析模型主要包括概率可靠性分析模型、模糊可靠性分析模型以及非概率可靠性分析模型三種。其中概率可靠性分析模型以及模糊可靠性分析模型都屬于概率可靠性分析模型，概率可靠性分析模型主要針對變量可以依據(jù)大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到其概率分布，表明了變量的客觀性，而模糊可靠性模型則主要是依據(jù)主觀判斷來量化一些難以通過大量數(shù)據(jù)得到變量概率分布的方法，體現(xiàn)了變量的模糊性。非概率可靠性分析模型則完全不涉及到概率，描述的是對于一些不確定數(shù)據(jù)較少，采用集合模型來描述這些輸入的不確定因素。

結構可靠性采用可靠度來進行量化，代表了結構在規(guī)定時間和條件下完成預定功能的概率，用Pr表示。由于結構的可靠性是與時間以及工作條件密切相關的，同時預定功能也是特定結果，因此在進行結構可靠性計算時必須明確。 結構可靠度受到材料性能、結構的幾何尺寸以及外載荷作用等影響，這些影響因素可以用基本變量的形式來表示，并構建一個隱式結構功能函數(shù)。設隨機變量為X=(X1,X2,X3,…,Xn)，則結構應力狀態(tài)包括失效狀態(tài)、臨界狀態(tài)和安全狀態(tài)三種狀態(tài)，不同應力狀態(tài)的結構功能函數(shù)如下所示：

其中，Z(X)表示結構功能狀態(tài)函數(shù)，R(X)表示結構所有抗力效應，S(X)表示結構載荷效應。

結構可靠與結構失效是兩個互不相容事件，因此可以得到結構的可靠度與結構失效概率的大小滿足：

Pr+Pf=1

假設隨機變量的失效概率密度函數(shù)為fX(x1,x2,…,xn)，則可以得到結構的失效概率：

由Z(X)=R(X)-S(X)可以得到：

從而得到結構可靠度的大小為：

Pr=1-Pf

2.2 響應面模型

目前針對結構可靠性的計算方法包括一次二階矩法和蒙特卡洛法，其中一次二階矩法包括中心點法和驗算點法。中心點法和驗算點法是解析方法，他們的區(qū)別在于，中心點法不考慮變量的分布形式，在平均值處進行泰勒展開進行結構可靠度的解析求解。驗算點法則通過對變量進行當量正態(tài)化，將不滿足正態(tài)分布的變量進行變換使得其滿足正態(tài)分布，進而進行結構可靠度的解析求解。

蒙特卡洛法是基于概率論的大數(shù)理論，通過對大量樣本點進行統(tǒng)計計算，失效次數(shù)與總的試驗總次數(shù)的比值就是結構的可靠度。由于蒙特卡洛法的理論基礎是大數(shù)理論，因此在使用蒙特卡洛法進行可靠性計算時沒有太多的限制。但是如果需要更為可靠的計算結果則需要進行成千上萬次的試驗。因此單純使用蒙特卡洛法進行結構的可靠性計算存在計算量過大的問題。針對該問題，目前也提出了一些解決方法，主要是通過將結構隱式狀態(tài)方程進行近似擬合，從而實現(xiàn)大大降低計算量大小。

為了解決在可靠性計算中隱式狀態(tài)方程難以求解的問題，研究人員發(fā)展了響應面模型、神經(jīng)網(wǎng)絡模型以及kriging模型等近似模型，通過將目標函數(shù)、約束條件與設計變量之間隱式狀態(tài)函數(shù)使用近似模型進行表達，得到了狀態(tài)方程的顯示表達式[6]。響應面模型具有使用簡單、通用性強、獨立性高以及能與多種商業(yè)軟件結合等多種優(yōu)點，在本文的計算中選用響應面模型進行計算。

利用響應面模型進行可靠性計算時，基于試驗設計得到計算中的樣本點，并選取適當?shù)暮瘮?shù)形式對響應面進行表示，因此響應面的函數(shù)形式會影響最終響應面擬合的效率和精度。假設響應面包括隨機變量X=(X1,X2,X3,…,Xn)，可以得到目標函數(shù)與隨機變量之間的響應面函數(shù)關系如下：

y=β1g1(X1,X2,X3,…,Xn)+…+
βmgm(X1,X2,X3,…,Xn)+ε

其中gm為所選取的函數(shù)形式，βm為回歸系數(shù)，ε為隨機誤差[7]。為了評估響應面對原始模型的擬合精度，需要對響應面函數(shù)進行方差分析，計算此時的相關系數(shù)R2，相關系數(shù)越接近1表明響應面擬合效果越好。

目前應用較為廣泛的函數(shù)形式是線性多項式和二次多項式，其中線性多項式函數(shù)形式待定系數(shù)較少，所需樣本點少，計算量小，但缺少交叉項的考慮，對于隱式狀態(tài)方程的非線性行為缺乏考慮。二次多項式在一定程度上克服了線性多項式缺乏對非線性行為考慮的問題，但是待定系數(shù)也顯著增加，使得計算量大大提高?？紤]到本文目的在于建立一套針對復合材料結構的可靠性計算方法，因此采用了一次多項式進行響應面擬合，其基本函數(shù)形式如下[8]。

2.3 樣本設計方法

進行響應面擬合時，樣本點選取會對擬合速率與精度產(chǎn)生影響，因此采用恰當?shù)臉颖驹O計方法至關重要。

拉丁超立方設計方法是一種能夠用樣本點很好的充滿整個空間的試驗設計方法，其基本原理是假設在M維空間中，樣本數(shù)量為N，然后將每個設計變量劃分為N份，這樣就可以將設計空間分為NM個子空間[9]。對于單個設計變量而言，通過N次抽樣得到的樣本空間就可以代表這個變量在這個設計空間中的隨機分布。其具有在任一維空間中都有與樣本數(shù)量相同的子區(qū)間，并且在子區(qū)間中只有有且僅有一個樣本，樣本在每個子空間可以隨機選取。但是其不能保證樣本點在空間中分布的均勻性，基于拉丁超立方設計形成了最優(yōu)拉丁超立方設計方法，該方法兼顧了樣本點的正交性和空間中分布的均勻性。如圖1所示是九個樣本點在空間中的分布對比，從圖中樣本點的分布可以看出最優(yōu)拉丁超立方設計方法能夠更好的對空間進行描述[10]。因此，本文進行響應面擬合時選用的樣本設計方法為最優(yōu)拉丁超立方設計方法。

圖1 (1)拉丁超立方設計方法(2)最優(yōu)拉丁超立方設計方法

3 算例

3.1 復合材料軸計算模型

3.1.1 計算模型簡化

本文計算模型依據(jù)某型號復合材料傳動軸進行建立，針對螺栓連接結構進行了簡化，建立的1/16模型如圖2所示。其中復合材料軸的厚度為66 mm，鋪層順序為[±45°]，金屬法蘭與螺栓均采用45#鋼，彈性模量210 GPa，泊松比0.3。計算選用Abaqus/Standard模塊，采用C3D8R單元，單元數(shù)為7 804，節(jié)點數(shù)為20 647。對金屬法蘭施加固支約束，螺栓、金屬法蘭以及復合材料之間的接觸采用罰函數(shù)來模擬摩擦接觸。

圖2 復合材料軸連接結構有限元模型Fig.2 Finite element model of composite shaft connection structure

3.1.2 強度準則

碳纖維增強復合材料層合結構的破壞形式分為首層失效準則和最終層失效準則，首層失效準則是當出現(xiàn)某一層失效時就判定結構發(fā)生破壞，最終層失效準則是當所有層都發(fā)生破壞時才判定結構發(fā)生破壞。在實際的工程應用中，出于安全的考慮，通常采用保守的設計方案，因此在本文的計算中采用首層失效準則進行損傷判斷。

復合材料的失效準則包括最大應力準則、最大應變準則、Hashin失效準則以及蔡吳(Tasi-Wu)失效準則等，目前在工程應用領域Tasi-Wu失效準則應用較為廣泛，因此本文的計算中選用Tasi-Wu失效準則作為材料的失效判據(jù)[11]。其具體形式如下。

式中：

在本文的計算中取I12、I13、I23為0，由此可以得到在平面應力狀態(tài)下的Tasi-Wu失效準則：

當Tasi-Wu失效系數(shù)大于1時判定材料發(fā)生破壞。

3.1.3 材料

本文計算的復合材料軸使用T800纖維增強復合材料，單層板的材料參數(shù)如表1所示，單層厚度0.3 mm。

表1 復合材料單層板材料參數(shù)

3.2 復合材料軸機械連接部位強度計算

本文計算所用的復合材料傳動軸額定轉矩為4 000 KNm，在4倍額定轉矩工況時進行強度計算，計算結果如圖3所示。

圖3 4倍額定轉矩工況強度計算結果

由計算結果可知，在4倍額定轉矩工況下復合材料傳動軸的最大蔡吳失效系數(shù)為0.888<1，軸的強度滿足設計要求。隨后計算了復合材料傳動軸在5倍額定工況下的強度，計算結果如圖4所示。

圖4 5倍額定轉矩工況強度計算結果Fig.4 Five times the rated torque strength calculation results

由計算結果可知，在5倍額定轉矩工況下復合材料軸的最大蔡吳失效系數(shù)為1.110>1，強度不滿足設計要求。

綜合上述強度計算結果可知，復合材料傳動軸在4倍額定轉矩工況下強度滿足設計要求，而在5倍額定轉矩工況時則不安全。因此需要考慮材料分散性對結構強度的影響，對4倍額定轉矩時的結構強度進行可靠性分析。

3.3 結構強度可靠性計算

通過3.2中的確定性分析分析結果，得到了有限元計算的模型輸入文件(.inp)和計算結果文件(.dat)。基于響應面的結構可靠性計算方法，在Isight中對狀態(tài)方程的響應面進行擬合并進行蒙特卡洛模擬，搭建的計算流程如圖4所示。

圖5 在Isight中搭建的計算流程

根據(jù)擬合的響應面的精度的不同，需要的樣本點數(shù)量也存在差異。對4倍額定轉矩工況的結構可靠性進行分析，選取20個樣本點進行線性響應面擬合，得到此時響應面擬合精度R2=1.00，證明擬合的響應面能夠很好的對原始狀態(tài)方程進行描述。

隨后對擬合得到的響應面進行10萬次蒙特卡洛模擬，得到結構可靠度為0.94。根據(jù)航空中對于非關鍵件可靠性要求的B基準值0.94，此時結構可靠度0.94>0.90，說明目前結構設計給予的安全系數(shù)4滿足可靠性要求。由于此時結構強度可靠度高于B基準值，因此可以降低此時結構可靠度，通過減少目前結構鋪層厚度來提高材料利用率。

如圖6所示，通過分析各輸入變量對輸出結果的影響，得到影響結構的蔡吳失效系數(shù)最大值的主要輸入變量為X1t、X2t和。其中X1t、X2t與蔡吳失效系數(shù)的大小呈現(xiàn)負相關，G23與蔡吳失效系數(shù)的大小則呈現(xiàn)正相關。因此可以在保持結構厚度不變的情況下改用X1t、X2t更小或G23更大的復合材料進行傳動軸的結構設計。

圖6 4倍額定轉矩時各輸入變量對輸出結果的影響

4 結論

通過對結構可靠性計算方法進行研究，建立了基于響應面模型的結構可靠性分析方法，并利用Isight集成Abaqus，計算了復合材料軸機械連接部位強度可靠度大小，獲得的主要結論如下：

(1)建立了一套基于響應面模型的復合材料結構可靠性分析方法，通過對隱式狀態(tài)方程近似擬合，解決了復雜結構狀態(tài)方程難以求解的問題，具有重要的工程意義；

(2)根據(jù)復合材料軸機械連接部位的結構強度可靠度的計算結果，在4倍額定轉矩工況下的結構可靠度滿足B基準值要求。因此，在可靠度滿足B基準值的情況下，可以通過減少復合材料軸的鋪層厚度來提高材料利用率；

(3)根據(jù)各輸入變量對蔡吳失效系數(shù)的貢獻比例，可以在保持結構鋪層厚度不變的情況下改用、較小或較大的復合材料來進行軸的設計。