楊宗樺， 孫杰， 陳士海

(1. 華僑大學 土木工程學院， 福建 廈門 361021；2. 濟南城建集團有限公司， 山東 濟南 250031)

為了預防地面交通荷載對隧道產生的振動損害，研究地面交通荷載對淺埋隧道的動力響應具有重要意義.眾多學者對振動波在地層中的傳播展開研究.Eason[1]通過對運動荷載作用下土體動應力分布的研究，得到地層中的一維解；De Barros等[2]利用波數(shù)積分法對運動荷載作用下的地層動荷載響應進行研究；Sneddon[3]利用位移積分法對運動荷載作用下的彈性模型進行求解,并給出積分形式的位移解;Pao等[4]針對波入射單層支護隧洞的問題，利用波數(shù)展開法討論隧道結構的動力響應分布；Davis等[5]引入大圓弧假定，給出入射波在無支護洞室時的衍射解;Forrest[6]提出由土壤包圍的無限長殼模型，用來計算地下列車引起的地基振動問題.而對于地面移動荷載振動作用下引起的隧道結構動力響應問題，文獻[7-8]采用格林函數(shù)法解決粘彈性體各種動荷載作用下的響應問題，取得了突破性進展；戚桂峰等[9]采用格林函數(shù)法得到鐵軌交通荷載作用下土層的振動解析解；曾晨等[10]采用空間飽和土三維隧道襯砌振動模型，對地面交通載荷作用下地層土的動力反應特點進行研究；羅紅星等[11]建立有限元數(shù)值模型，分析地面交通荷載下淺埋隧道圍巖變形的影響；鄭余朝等[12]建立三維數(shù)值模型，得出列車荷載下穿隧道的拱頂壓力隨埋深變化的規(guī)律；蔣博林等[13]結合數(shù)值模擬分析和正交試驗,分析各計算參數(shù)對懸浮隧道跨中豎向振動位移的影響；文獻[14-15]研究地面交通荷載引起淺埋隧洞的振動問題，首次給出半空間隧洞的動力響應解析解；青松勇等[16]采用有限元分析的方法，分析飛機滑動荷載作用下對既有地鐵的動荷載分布規(guī)律；范昌杰[17]選用有限元分析的方法給出地面交通荷載影響下的隧洞變形規(guī)律；趙俊澄等[18]采用數(shù)值模擬的方法，研究是否考慮交通荷載時隧道上方的路基沉降差值.

目前，分析車輛荷載對地下隧道的動應力問題通常采用數(shù)值模擬的方式.為了對數(shù)值模擬的結果進行驗證，本文進行理論推導，建立三維彈性半空間淺埋圓形隧道數(shù)學模型，研究移動荷載作用下圓形隧道在彈性半空間的動力響應問題，并分析不同車速和埋深對響應的影響.

1 工程概況

濟南市順河快速路南延(英雄山立交至南繞城高速)建設工程,是構建濟南市快速路路網(wǎng)骨架的重要組成部分,承擔著主城區(qū)對外進出交通的快速集散任務，同時承擔著重要的公共交通走廊功能.項目北起英雄山立交, 南至南繞城高速，全長約5.1 km.主線采用淺埋隧道形式,全長2.2 km，雙向6車道，分左右線布設.地下道路工程暗挖段采用小凈距隧道的結構形式，左、右線間最大凈距25 m,最小凈距為北端洞口7 m，南端洞口5 m，全線最小圓曲線半徑1 350 m，最大圓曲線半徑13 000 m.隧道縱斷線形為W形，符合現(xiàn)狀地面道路走勢，以暗挖段最大埋深13 m為控制原則，兩端明暗挖分界線位置埋深3～4 m.隧道拱頂位置處圍巖屬于第四系黏性土、碎石土，洞身地層巖性以第四系碎石、黏性土為主，根據(jù)《公路工程地質勘察規(guī)范》規(guī)定，隧道圍巖分級為Ⅴ級.初期支護由工字鋼拱架、徑向錨桿、鋼筋網(wǎng)及噴射混凝土組成.圍巖和初期支護的參數(shù)，如表1所示.表1中：E為彈性模量;ρ為密度;ν為泊松比;d為支護結構厚度.

表1 介質參數(shù)Tab.1 Medium parameters

圖1 移動荷載作用下的隧道模型Fig.1 Tunnel model under moving load

移動荷載作用下的隧道模型，如圖1所示.圖1中：P(t)為移動集中簡諧荷載;v為移動速度；h為隧道結構中心與地面的距離；X為隧道埋深；點O，O1分別為荷載地面作用點、隧道圓心；θ，r分別為坐標系(r，θ)的極角值和極軸；φr,ψr,φ11,ψ11,φ12,ψ12表示圍巖處產生的勢函數(shù)；φ21,ψ21,φ22,ψ22表示支護內產生的勢函數(shù)；r1,θ1分別為隧道內圓心坐標系的極徑和極軸；隧洞內半徑取6.9 m，初支厚度取0.35 m.在z=0平面上,沿x軸正方向以速度v勻速運動的列車的移動集中荷載可表示為

P(t)=P0eiω0tδ(x-vt)δ(y).

(1)

式(1)中：t為車輛經(jīng)過點O的時間;ω0為荷載變化的圓頻率；P0為車子總荷載；δ(y)為單位脈沖函數(shù).

2 基本方程

在彈性介質里，機械擾動的傳播形成彈性波動，簡稱彈性波.彈性波理論主要研究波的產生與傳播的規(guī)律，進而弄清彈性介質的位移矢量場、應力及應力張量場隨時間變化的情況.已知各向同性的彈性半空間體用位移表示的運動方程[9]為

(λ+μ)?θ+μ?2u+ρL=ρ?2u/?t2

.

(2)

式(2)中：L為土體體力,令L=0；u為土體位移；λ，μ為拉梅常數(shù)；?為哈密頓算子；?2為拉普拉斯算子.

根據(jù)斯托克斯-亥姆霍茲定理進行分解，式(2)的解可以表示為

u=up+us=?φ+?×ψ.

(3)

式(3)中：φ為位移的標量勢；ψ為位移的矢量勢，ψ=(ψ1,ψ2,ψ3)，且ψ3=0.

矢量勢函數(shù)滿足廣義規(guī)范條件?·ψ1=0,代入式(2)可得

(4)

若荷載關于θ=0對稱，利用分離變量法對方程(4)進行求解,可以得到圍巖中的勢函數(shù)表達.

3 彈性半空間內隧道的動力響應分析

3.1 圍巖中極坐標系下的波函數(shù)展開

振動位移在圍巖中產生的波勢函數(shù)，基于入射波動方程(?2+k2)φ=0，引入極坐標系，并利用分離變量法得到圍巖中的勢函數(shù)為

(5)

圖2 分層界面上入射波反射和折射Fig.2 Reflection and refraction of incident waves at layered interface

由于圍巖、支護、隧道內部間存在分界面，入射波在分界面上一般各形成2個反射波P波、SV波和2個折射波P波、SV波,如圖2所示.若不考慮波在彈性空間中的耗散，頻率為ω的入射彈性波位移勢函數(shù)可表示為

φj(x,z)=A0exp[k0,α(xsinθα-zcosθα)-iωt].

(6)

式(6)中：k0,α為入射波波數(shù)，k0,α=ω/c0,α，c0,α為入射波波速,ω=2πf，f為入射波頻率；θα為P波入射角度；t為時間變量；j為自然數(shù).

利用直角坐標系(x,z)與(x1,z1),極坐標系(r,θ)之間關系為

(7)

(8)

彈性波入射勢函數(shù)在極坐標系下表達式級數(shù)展開為

(9)

式(9)中：系數(shù)A0,n,B0,n,C0,n,D0,n可以表示為

反射P波和SV波的反射系數(shù)由邊界條件確定，k0,α=ω/c0,α，k0,β=ω/c0,β，sinθα/c0,α=sinθβ/c0,β.θβ代表反射SV波的反射角，滿足Snell反射定律[19].n=0，ε=1；n>1，ε=2.反射系數(shù)k1和k2分別為

3.2 圍巖與支護中的勢函數(shù)表達

在文中模型中，除了反射的P波和SV波外,入射波在圍巖與襯砌交界處還存在散射波，利用波函數(shù)展開法,可將位移勢函數(shù)轉換為級數(shù)形式.入射波通過圍巖和支護分界時，將在界面上產生反射P波和反射SV波.

1) 圍巖中的勢函數(shù)可表示為

(10)

為簡化散射波的研究，采用大圓弧假定，其產生的散射勢函數(shù)為

(11)

2) 在初期支護中產生的散射波對應的勢函數(shù)表示為

(12)

在隧道內產生的散射勢函數(shù)為

(13)

式(10)～(13)中：kj,α,kj,β(j=1,2)分別為對應介質中P波和SV波的波數(shù)，kj,α=ω/cj,α，kj,β=ω/cj,β,cj,a,cj,β(j=1,2)分別為對應介質中P波和SV波的波速；Hn為Hankel函數(shù);Jn為第一類Bessel函數(shù).

因此，圍巖、支護的總勢函數(shù)可分別表示為

(14)

(15)

上述波函數(shù)表達式均為無窮級數(shù)形式，因此,在具體計算中必須考慮求解的精度問題，對無窮級數(shù)進行截斷，盡可能地減少截斷誤差.當計算項數(shù)取n=7時，可滿足計算精度的要求.

3.3 位移及應力響應的表達式

圍巖內位移和應力表達為

(16)

(17)

3.4 邊界條件

1) 邊界條件1.根據(jù)界面應力和位移連續(xù)條件，在隧道圍巖與支護界面r1=7.25 m處存在

(18)

2) 邊界條件2.在隧道初支內表面r1=6.9 m處存在

(19)

利用邊界條件求解上述方程組,即可確定待定系數(shù)的值，將待定系數(shù)代入式(14),(15)，可確定隧道圍巖、支護內的勢函數(shù)，將其代入式(16),(17)，可得到隧道圍巖、支護的位移及應力響應分布.

4 結果分析

4.1 隧道圍巖和支護的動力響應

在建立的數(shù)學模型中，地面移動荷載P(t)作用下會使土體內任意點產生振動位移.采用圓形隧道模型，關于振動波在圓形隧道結構的傳播問題，可采用貝塞爾函數(shù)方程解決圓形或環(huán)形結構中的波動問題.考慮到振動波在隧道分界面?zhèn)鞑r發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象，將振動產生的位移勢函數(shù)φ以貝塞爾函數(shù)的級數(shù)形式展開，結合邊界條件求出待定系數(shù)后，可以得到總勢函數(shù)表達，代入式(17)分別求出隧道圍巖和支護的徑向應力和切向應力，最后給出隧道的動力響應空間分布曲線圖.

取P0=100 kN，v=100 km·h-1，E=1.3 GPa，ν=0.31作為模型計算參數(shù)，計算地面移動荷載作用下隧道圍巖r1=7.25 m處的動力響應.圍巖徑向應力響應空間分布,如圖3所示.由圖3可知：隧道圍巖0°拱頂處徑向應力達2 705 Pa，圍巖90°拱側處徑向應力達145 Pa，圍巖底部可達470 Pa，表明隧道在拱頂和拱底處均會受到較大的徑向應力；徑向應力隨著角度先急速減小再逐漸增大，并在隧道兩側處達到徑向應力最小值.

圍巖切向應力響應空間分布,如圖4所示.由圖4可知：隧道拱頂0°～90°位置處受到較大的切向應力；在θ=15°位置處受到的切向應力最小，且θ=60°拱側處引起的最大動力響應達到576 Pa，表明隧道拱頂和兩側位置均會受到較大的切向應力.

圖3 圍巖徑向應力響應空間分布 圖4 圍巖切向應力響應空間分布 Fig.3 Spatial distribution of radial stress response of surrounding rock Fig.4 Spatial distribution of circumferential stress response of surrounding rock

地面移動荷載作用下，隧道支護的動力響應分布曲線,如圖5所示.由圖5可知：地面移動荷載作用下隧道支護的拱頂處會引起較大的動力響應.除了拱頂外，隧道底部也會引起一定的動力響應.而支護受到的切向應力值遠小于徑向應力值，應對后者進行重點分析.對分析的結果進行假設，隧道支護結構在受到地面移動荷載的作用下，支護的頂部和底部位置處容易引起振動效應，從而導致結構的變形.

圖5 支護的動力響應空間分布Fig.5 Spatial distribution of dynamic response of support

4.2 動力響應影響因素分析

為分析不同速度的荷載作用下隧道結構動力響應變化規(guī)律，選取隧道埋深X=10 m，移動荷載速度v分別為60,100,150 km·h-1，車輛荷載P0=100 kN，t=0.3 s作為模型計算參數(shù).不同移動荷載速度時，隧道支護結構動力響應空間分布，如圖6(a)所示.由圖6(a)可知：隨著荷載速度的增大；其徑向應力值明顯增大.從隧道頂部到底部，徑向應力值先迅速降低再逐漸增長，并在拱腰處達到最小響應.可見當隧道埋深較淺時，地面荷載速度對下穿隧道的動力響應有顯著影響，當荷載速度不斷增大，隧道結構的動力響應會呈倍數(shù)增長.

分析不同埋深下隧道結構的動力響應變化，選取隧道埋深分別為10,15,20 m，P0=100 kN，v=100 km·h-1，t=0.3 s.不同隧道埋深時，隧道支護結構動力響應空間分布，如圖6(b)所示.由圖6(b)可知：隨著隧道埋深的增大，其徑向應力值隨之減小，說明隧道埋深越深，受到地面移動荷載的影響就越小.

(a) 不同移動荷載速度 (b) 不同隧道埋深 圖6 不同移動荷載速度和不同隧道埋深下的隧道支護結構動力響應空間分布Fig.6 Spatial distribution of dynamic response of tunnel support structure under different moving load velocities and different buried depths

基于結果的分析，提出以下假設：淺埋隧道在受到地面交通荷載作用時，隧道結構的拱頂處會引起較大的響應.在受到長期地面交通荷載的作用下，隧道拱頂位置處的支護結構要比其余位置更容易受到振動影響，從而導致支護結構的使用壽命減少，甚至產生破壞.由于隧道結構引起的徑向應力值遠大于切向應力值，故徑向應力值可以作為分析淺埋隧道受到地面交通荷載作用下支護結構損壞的一個重要參考值.對地面荷載速度和隧道埋深等因素的分析中，淺埋隧道結構的動力響應對地面荷載速度的變化比較敏感.地面車輛速度過快會使地下淺埋隧道結構的動力響應快速增長，對隧道結構產生不良影響.

圖7 有限元模型圖Fig.7 Finite element model diagram

5 數(shù)值模型的驗證

利用MIDAS軟件建立的有限元網(wǎng)格尺寸如下：模型寬度為100 m，深度為100 m，厚度為4 m，地層和隧道結構各項參數(shù)均嚴格按照文中數(shù)學模型建立，并采用簡化的單一巖層計算和摩爾-庫倫本構模型.有限元模型，如圖7所示.模型寬度方向的網(wǎng)格尺寸設置為1 m；模型深度方向網(wǎng)格劃分采用線性梯度法，網(wǎng)格起始長度為1 m，結束長度6 m；模型100 m深度處，網(wǎng)格尺寸設置為6 m；初期支護外側(靠近圍巖側)網(wǎng)格劃分尺寸為0.76 m，共劃分60段，初期支護內側網(wǎng)格劃分尺寸為0.72 m，共劃分60段.建立模型的彈性邊界，并進行特征值分析.汽車移動速度為100 km·h-1，軸距為6 m，從模型一端運動到另一端，將根據(jù)理論計算出的軸荷載輸入模型.

求解類型設置為線性時程(直接積分)；時間步驟定義為總持續(xù)時間為3.6 s，時間步驟為100步；將上述計算得到的兩個特征值0.491 437 2，0.164 859 4 s分別填入“分析控制”中“動力分析”所對應的“模態(tài)1”與“模態(tài)2”對話框中；最后，進行求解計算.

圖8 圍巖的徑向應力云圖Fig.8 Radial stress nephogram of surrounding rock

圖9 圍巖的切向應力云圖Fig.9 Circumferential stress nephogram of surrounding rock

圖10 圍巖的切向應力對比圖Fig.10 Contrast diagram of circumferential stress of surrounding rock

圍巖的徑向和切向應力云圖，如圖8，9所示.由圖8,9可知：拱頂和拱底位置處產生的振動變形和動力響應較為明顯，拱側位置的動力響應較小，得到與理論結果相似的動力響應規(guī)律；計算得到拱頂最大徑向應力為2 897 Pa，最大切向應力為637 Pa，與理論計算值進行對比，兩者的誤差范圍均控制在15%以內，驗證了理論模型的合理性和準確性.

將數(shù)值模擬得到的切向應力數(shù)據(jù)與理論計算的結果進行對比，結果如圖10所示.由圖10可知：數(shù)值模擬得到的應力值總體上比理論值大，誤差在允許范圍內；而數(shù)值曲線的動應力分布規(guī)律基本與理論曲線一致.

6 結論

建立彈性半空間淺埋隧道模型，將地面車載模擬為移動集中簡諧荷載，通過理論方法，研究移動集中簡諧荷載作用下圓形隧道在彈性半空間的動力響應問題，得到以下4點主要結論.

1) 地面移動集中荷載作用下，從隧道頂部到底部，徑向應力響應先迅速降低再緩慢增長，淺埋隧道拱頂和拱底位置處有較大響應，拱腰處達到最小值.隧道拱頂處最容易發(fā)生結構損壞.

2) 地面移動集中荷載作用下，淺埋隧道拱頂和拱腰位置處有較大切向應力響應，拱底處達最小值.

3) 在不同荷載速度下，隨著荷載速度的增大，其結構受到的徑向應力和切向應力響應明顯增大.

4) 在不同隧道埋深下，隨著隧道埋深的增大，其徑向應力響應明顯減小.