余躍玉

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

為深入落實(shí)教育部《關(guān)于在疫情防控期間做好普通高等學(xué)校在校教學(xué)組織與管理工作的指導(dǎo)意見》、四川省教育廳《關(guān)于切實(shí)做好新冠肺炎疫情防控期間學(xué)校教育教學(xué)組織與管理工作的通知》(川教函 [2020]47號(hào))精神，四川文理學(xué)校從2月初就開始利用網(wǎng)絡(luò)信息化教學(xué)手段，統(tǒng)籌整合各大教育平臺(tái)和優(yōu)質(zhì)課程資源，對(duì)全校教師進(jìn)行了的各種在線課程網(wǎng)絡(luò)教學(xué)培訓(xùn)，為實(shí)現(xiàn)做好“停課不停學(xué)”[1]的目的做足了功課.

2月24日，正當(dāng)全校師生滿懷激情集結(jié)于云端時(shí)，由于各大教學(xué)平臺(tái)都不同出現(xiàn)了超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)，導(dǎo)致教學(xué)受阻.面對(duì)這種現(xiàn)象，大家選擇利用多種技術(shù)和平臺(tái)，靈活組織各自的教學(xué)活動(dòng).具體做法如下.

1 正視疫情環(huán)境下在線教學(xué)的機(jī)遇與挑戰(zhàn)

“停課不停學(xué)”的倡議是我國(guó)教育行政部門在新冠肺炎疫情弒略下，學(xué)校師生無法正常開學(xué)的背景下，做出的一個(gè)不得已而為之的舉措.由于疫情發(fā)展的突然且迅速，來不及給學(xué)校時(shí)間與空間去系統(tǒng)的進(jìn)行在線教學(xué)準(zhǔn)備.在此環(huán)境下，在線教學(xué)面臨著諸多的挑戰(zhàn)，同時(shí)也迎來了許多難得的機(jī)遇.[2]

從2月初開始，各地紛紛推出線上教學(xué)培訓(xùn)方案，在線學(xué)習(xí)指導(dǎo)方案等，一時(shí)間“停課不停學(xué)”上了網(wǎng)絡(luò)熱搜，成了人們熱議的話題.可是在實(shí)際推進(jìn)“停課不停學(xué)”在線教學(xué)工作中，存在著來自各個(gè)方面的挑戰(zhàn).其中最為突出的是我們的直播教學(xué)準(zhǔn)備還欠充分，具體表現(xiàn)在以下三方面：一是，教師如何開展在線教學(xué)，如何檢測(cè)教學(xué)效果，這需要對(duì)教師進(jìn)行針對(duì)性的培訓(xùn)；二是，學(xué)生如何自覺在家在線學(xué)習(xí)，完成知識(shí)的完整積累，這需要對(duì)學(xué)生加以正確的引導(dǎo)；三是，師生在網(wǎng)絡(luò)、硬件和軟件等方面的普及情況，相關(guān)教學(xué)平臺(tái)的服務(wù)方的準(zhǔn)備情況，都存在著參差不齊的現(xiàn)象，特殊情況下，大規(guī)模、高并發(fā)的網(wǎng)絡(luò)直播授課等，都存在著大量的挑戰(zhàn).為此，對(duì)“停課不停學(xué)”的支持與反對(duì)的觀點(diǎn)也成了教育界爭(zhēng)論的話題.

2 教學(xué)平臺(tái)的分析與遴選

2月初，四川文理學(xué)校對(duì)教師陸陸續(xù)續(xù)舉行了諸如智慧樹、雨課堂、MOOC等教學(xué)平臺(tái)的使用培訓(xùn)，每個(gè)教學(xué)平臺(tái)都建立自己的討論群，我們通過對(duì)每種教學(xué)平臺(tái)的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)中國(guó)大學(xué)MOOC(Massive Open Online Course)[3-4]集聚了國(guó)內(nèi)最好的高校(如北大、清華、浙大、復(fù)旦等)的優(yōu)質(zhì)精品課程.其多終端的隨身學(xué)習(xí)支持功能，極大地方便了學(xué)生的隨時(shí)學(xué)習(xí)的需求.每門課程的課件、視頻、測(cè)驗(yàn)、作業(yè)、答疑及課后討論，成功的完善了學(xué)生的學(xué)習(xí)全過程.MOOC+SPOC (Small Private Online Course)又能將MOOC 與校內(nèi)課堂緊密結(jié)合，可幫助學(xué)校、培訓(xùn)機(jī)構(gòu)等輕松建立屬于自己的在線課堂，為教師實(shí)現(xiàn)共享共建優(yōu)秀課程資源提供可靠的技術(shù)平臺(tái)，還能應(yīng)用大數(shù)據(jù)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行數(shù)據(jù)追蹤統(tǒng)計(jì)，有利于教師和學(xué)校進(jìn)一步完善教學(xué)過程的管理.基于MOOC強(qiáng)大的資源，我們最終選擇了MOOC+SPOC作為線上教學(xué)的主流平臺(tái).

騰訊課堂憑借QQ客戶端的優(yōu)勢(shì)能實(shí)現(xiàn)在線師生的即時(shí)互動(dòng)交流，QQ多年積累的音視頻實(shí)力，能為課程教學(xué)提供高音質(zhì)及最流暢的直播效果，它支持PPT演示以及屏幕分享，它提供的簽到、畫板等功能便于課堂管理與板書演示，能使學(xué)生感覺直播教學(xué)與平時(shí)的線下效果近乎一致，其重放功能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)可以打破時(shí)間與空間的限制，基于這些優(yōu)點(diǎn)，我們選擇了騰訊課堂作為我們的直播平臺(tái).

由于高等代數(shù)高度的抽象性及大量的運(yùn)算，需要大量的板書進(jìn)行輔助，雖然騰訊課堂有畫板功能可以進(jìn)行板書，但難以達(dá)到線下課堂同等效果，而西沃教學(xué)助手恰好能彌補(bǔ)這一缺陷，對(duì)于課程中的定理證明、行列式運(yùn)算、矩陣運(yùn)算及矩陣的初等變換等，我們選擇了西沃軟件的投影功能，將教師在紙上的板書投影到屏幕上，實(shí)現(xiàn)學(xué)生只通過騰訊課堂無需轉(zhuǎn)換就可看到老師的板書，這與線下教學(xué)效果相差無幾.從而，MOOC+SPOC，騰訊課堂、西沃教學(xué)助手構(gòu)成我校高等代數(shù)等課程混合式教學(xué)的主要工具.

3 高等代數(shù)課程教學(xué)的模式構(gòu)建思路

“高等代數(shù)”作為數(shù)學(xué)類和統(tǒng)計(jì)類專業(yè)學(xué)生的必修課程之一，涵蓋了公理化思想、分解思想、地推思想、歸納與演繹方法、矩陣方法等代數(shù)所特有的思想方法，[5]這些思想和方法構(gòu)成了“高等代數(shù)”的核心和靈魂.學(xué)習(xí)“高度代數(shù)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)、提高學(xué)生的計(jì)算與分析能力能起到至關(guān)重要作用.[6-8]但其中高度抽象的理論及其變換多端的思維方式，可能會(huì)使學(xué)生難以正確理解或靈活運(yùn)用，使部分學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生畏懼心理，進(jìn)而可能失去學(xué)習(xí)的興趣.為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果，我們對(duì)高等代數(shù)的教學(xué)模式的構(gòu)建擬定了如下思路：

3.1 創(chuàng)造輕松學(xué)習(xí)氛圍，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性

我們可以構(gòu)思一些生活中的小問題，讓學(xué)生自己觀察，尋求解決辦法；利用“高等代數(shù)”的歷史背景和相關(guān)數(shù)學(xué)家的勵(lì)志故事，消除學(xué)生對(duì)其高度抽象性的恐懼，讓學(xué)生真正的體會(huì)到學(xué)習(xí)的真諦不是考試成績(jī)的高低，而是如何將學(xué)到的知識(shí)內(nèi)化于心，同時(shí)外化于實(shí)踐.

3.2 注重“高等代數(shù)”中重要思想方法的總結(jié)及應(yīng)用

如：化抽象為具體的同構(gòu)思想，就是利用同構(gòu)映射，可以將抽象的復(fù)雜的空間問題轉(zhuǎn)化為n維向量空間的問題，將抽象的線性相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為向量空間的相關(guān)性問題，將形式各異的線性變換的問題轉(zhuǎn)換為矩陣運(yùn)算關(guān)系，研究二次型、線性變換轉(zhuǎn)化為研究矩陣的問題；化一般為特殊的等價(jià)分類思想，就是將研究對(duì)象利用等價(jià)關(guān)系進(jìn)行分類，每一類中選取簡(jiǎn)單、特殊的元素進(jìn)行研究，再將結(jié)論推廣到一般的方法，強(qiáng)調(diào)這種思維方式將有助于培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題和解決問題的能力；在如，化演繹論證為幾何直觀的數(shù)形結(jié)合思想，借助于直角坐標(biāo)系理解歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用中學(xué)學(xué)習(xí)的二次曲線、二次曲面的分類討論二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及分類，利用向量的垂直分解理解Schmidt正交化方法等；在多項(xiàng)式、逆矩陣，線性空間等概念中還蘊(yùn)含著結(jié)構(gòu)化思想、公理化思想；齊次線性方程組基礎(chǔ)解系存在性定理、哈米爾凱萊定理以及線性變換的秩與零度關(guān)系定理中的構(gòu)造思想等.如果在教學(xué)中強(qiáng)化這些數(shù)學(xué)思想，將有利于提升學(xué)生對(duì)問題的化歸和轉(zhuǎn)化能力，這也是高等代數(shù)知識(shí)的精髓和內(nèi)涵.

3.3 加強(qiáng)課外實(shí)踐，強(qiáng)化知識(shí)深度，拓寬知識(shí)廣度

由于人才培養(yǎng)方案對(duì)課堂教學(xué)時(shí)長(zhǎng)是有限制的，具有高度抽象性和思維多樣性的高等代數(shù)，要求教師必須將課堂教學(xué)與課外實(shí)踐有機(jī)結(jié)合，才能使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握達(dá)到內(nèi)化于心，外化于實(shí)踐.[9-12]為此，我們采用了MOOC+SPOC中的作業(yè)與測(cè)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)做最基本的訓(xùn)練；利用QQ平臺(tái)的討論功能和分享屏幕對(duì)每周的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析討論、對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行分解剖析或者進(jìn)行轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生能真正的從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題，并在實(shí)踐中尋求解決問題的方法，還能提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.

3.4 引入數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)認(rèn)知的直觀性

在課外，我們讓同學(xué)們自由組合一個(gè)數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)小組， 讓他們本著自愿的原則學(xué)習(xí)MATLAB等熟悉軟件，鼓勵(lì)大家利用軟件對(duì)行列式的計(jì)算、矩陣運(yùn)算和初等變換以及線性方程組的求解進(jìn)行檢驗(yàn)，利用軟件求矩陣的特征值等，這對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的認(rèn)知能力將會(huì)起到加速催化的作用.

4 高等代數(shù)混合式教學(xué)模式的實(shí)施

在“停課不停學(xué)”的特殊期間，四川文理學(xué)院的空中教學(xué)工作有條不絮的開展著，各種教學(xué)平臺(tái)、教學(xué)方式及實(shí)際舉措百花齊放，各顯身手.其中的高等代數(shù)教學(xué)模式主要采用了MOOC+SPOC網(wǎng)上平臺(tái)，騰訊課堂在線直播，西沃教學(xué)助手，QQ等多種混合式交互模式，下面以矩陣的乘積為例進(jìn)行實(shí)例分析.

4.1 課前教學(xué)準(zhǔn)備

在矩陣乘積教學(xué)之前，我們?yōu)閷W(xué)生布置了如下課前預(yù)習(xí)內(nèi)容：(1) 觀看MOOC中的視頻教學(xué)課程，初識(shí)矩陣乘積運(yùn)算；(2) 矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算非常直觀簡(jiǎn)單，思考為何矩陣乘法不采用類似的對(duì)應(yīng)位置上的元素相乘來進(jìn)行運(yùn)算呢？(3) 通過網(wǎng)絡(luò)查詢矩陣乘法的來源和意義.學(xué)生們帶著問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，展開思考；通過閱讀網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)，明白了實(shí)際中的應(yīng)用和理論上的價(jià)值才是科學(xué)發(fā)展的生命力.

4.2 利用騰訊課堂和西沃教學(xué)助手進(jìn)行課程直播教學(xué)

由于MOOC教學(xué)內(nèi)容精簡(jiǎn)，一些細(xì)節(jié)問題的處理很少深入，單純看MOOC視頻，學(xué)生難以掌握其中的關(guān)鍵點(diǎn).為此，我們利用騰訊課堂對(duì)矩陣乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行了詳細(xì)的分析.第一，矩陣可乘條件的分析，讓學(xué)生明白不是任意兩矩陣都能相乘，兩矩陣相乘必須要求前者的列數(shù)與后者的行數(shù)相等，否則乘積無意義；第二，若A為m×n矩陣，B為n×s矩陣，則C=AB矩陣將為m×s矩陣，讓學(xué)生明白乘法運(yùn)算后的結(jié)果矩陣的模樣；第三，乘積的結(jié)果矩陣C中元素的計(jì)算方法為：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,s，讓學(xué)生基本掌握乘積運(yùn)算的具體操作方法.

理論上的方法必須回歸實(shí)踐，為了讓學(xué)生熟練掌握矩陣的乘法運(yùn)算，我們利用西沃教學(xué)助手，進(jìn)行板書投影，讓學(xué)生的思路緊跟老師的筆跡，達(dá)到師生思想合一的境界，有助于集中學(xué)生的注意力.投影的內(nèi)容主要是列舉一些矩陣乘積的實(shí)例.

通過這個(gè)例子讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)矩陣可乘條件的重要性，實(shí)際感受矩陣乘法的操作過程，同時(shí)留給學(xué)生一個(gè)矩陣乘法不可交換的初步印象.

讓學(xué)生看到矩陣乘法即或是交換前后位置，乘積都有意義，但結(jié)果不一定相等，進(jìn)一步說明矩陣乘法不可交換；同時(shí)，通過這個(gè)例子，使得學(xué)生感受到兩矩陣乘積為零矩陣，這兩矩陣不一定必有一個(gè)為零矩陣，這為后繼課程近似代數(shù)中的零因子埋下了伏筆.

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生去思考如何去計(jì)算(AB)k，讓學(xué)生領(lǐng)略特殊矩陣乘方的運(yùn)算技巧.

通過以上三個(gè)實(shí)例的分析后，我們利用騰訊課堂提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)出矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則，從而達(dá)到課堂教學(xué)的目標(biāo).

4.3 課后輔導(dǎo)、鞏固練習(xí)及學(xué)習(xí)效果檢測(cè)

雖然處于疫情期間，我們的學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望程度并沒降低，這時(shí)的QQ群就成了同學(xué)們的第二課堂，在群中我們?cè)O(shè)計(jì)了如下的交流討論主題：(1) 特殊矩陣的乘積規(guī)則，如A為m×n矩陣，則A左乘一個(gè)m維的標(biāo)準(zhǔn)單位行向量；或右乘一個(gè)n維的標(biāo)準(zhǔn)單位列向量；或既左乘一個(gè)m維的標(biāo)準(zhǔn)單位行向量，又右乘一個(gè)n維的標(biāo)準(zhǔn)單位列向量的結(jié)果是怎樣的？A左乘一個(gè)m階對(duì)角矩陣；或右乘一個(gè)n階的對(duì)角矩陣的結(jié)果如何？(2) 通過查找文獻(xiàn)，討論矩陣乘法的應(yīng)用.通過討論，同學(xué)們不僅強(qiáng)化了知識(shí)的積累，更增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作業(yè)是必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，由于疫情的原因，我們難以收集學(xué)生的書面作業(yè)，MOOC+SPOC中的作業(yè)和每周測(cè)驗(yàn)就成了我們檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的客觀依據(jù)，課后布置的一些主觀性的題型，我還是會(huì)要求學(xué)生做在作業(yè)本上，每周一次通過QQ進(jìn)行抽樣檢查.從前八周MOOC+SPOC中的系統(tǒng)評(píng)分統(tǒng)計(jì)(表1)表明我們的混合式教學(xué)模式是可行且有效的.

表1 MOOC系統(tǒng)評(píng)分統(tǒng)計(jì)表

5 總結(jié)與展望

兩個(gè)多月的多平臺(tái)的混合式教學(xué)模式打破了師生在時(shí)間與空間的限制，實(shí)現(xiàn)了特殊時(shí)期特殊條件下的停學(xué)不停課的目標(biāo)，多種交互平臺(tái)及多種教學(xué)手段的相互融合，使得我們的課堂更具生機(jī)與活力，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣得到了充分的激發(fā)，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與探索的場(chǎng)地變得隨時(shí)隨地，教學(xué)效果檢測(cè)達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo).

由于特殊時(shí)期的教學(xué)全集中在云端，互聯(lián)網(wǎng)本身又存在著虛擬屬性，個(gè)別學(xué)生會(huì)因?yàn)閷W(xué)習(xí)行為無人監(jiān)管，而自我行為的約束可能會(huì)放松，導(dǎo)致學(xué)習(xí)脫節(jié)現(xiàn)象，還有個(gè)別同學(xué)可能會(huì)因?yàn)榧彝セ虻赜蛴绊?，云端學(xué)習(xí)無法完全同步，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率欠佳，這些都需我們?cè)趯W(xué)生返校后加以查漏補(bǔ)缺.我們?nèi)w師生都盼著疫情早日結(jié)束、讓我們的校園重現(xiàn)往日的生機(jī)！