史雨川，樊代和,b，劉其軍,b，賈欣燕,b，魏 云,b

(西南交通大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都610031； b.物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，四川 成都611756)

摩擦振子(Friction oscillator)的研究是第33屆IYPT的競賽題目之一，具體內(nèi)容為：1個大塊的物體被放置在2個相同的平行水平圓柱體上. 2個圓柱以相同的角速度旋轉(zhuǎn)，但方向相反. 題目要求研究物體在圓柱體上的運(yùn)動如何依賴于相關(guān)參量[1].

與摩擦振子相關(guān)的研究已有報道. 李鑫等通過Algodoo仿真軟件探究了摩擦振子的運(yùn)動規(guī)律，運(yùn)用理論分析和模擬驗(yàn)證,得到了運(yùn)動所依賴的參量與輪軸間距、摩擦因數(shù)及初始位置有關(guān)的結(jié)論[2]，但沒有對理論結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 袁路奇研究了摩擦振子系統(tǒng)中摩擦力產(chǎn)生的不同方式，得到了摩擦振子在振動中摩擦因數(shù)不停變化的結(jié)論[3]. 秦瑯研究了一類非線性摩擦振子的周期運(yùn)動，得到系統(tǒng)隨參量改變具有不同類型周期運(yùn)動的結(jié)論[4]. 楊紹普等研究了存在黏性阻尼時摩擦振子的運(yùn)動狀態(tài)，給出了純滑動的精確解，并得到振動幅值的解析表達(dá)式[5]. 本文對IYPT賽題要求的摩擦振子現(xiàn)象進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)研究. 通過建立模型并做受力分析，得出了摩擦振子運(yùn)動的狀態(tài)方程,通過實(shí)驗(yàn)研究證明了理論分析的正確性,仿真模擬了各參量對摩擦振子的運(yùn)動狀態(tài)的影響.

1 理論分析

如圖1所示，假設(shè)一密度均勻、質(zhì)量為m的長方體，放置于中心距離為S的2個直徑均為D的圓柱上. 當(dāng)2個圓柱分別以順-逆或者逆-順時針且以相同的角速度ω旋轉(zhuǎn)時，長方體形成一類摩擦振子. 為了詳細(xì)分析摩擦振子的運(yùn)動情況，建立圖1所示的直角坐標(biāo)系，OC表示長方體的質(zhì)心.

圖1 摩擦振子模型示意圖

1.1 圓柱1和圓柱2分別按照順-逆時針旋轉(zhuǎn)

當(dāng)2個圓柱體以一定角速度ω旋轉(zhuǎn)時，上方的長方體將做x方向的運(yùn)動. 假設(shè)在某時刻t，長方體的質(zhì)心OC偏離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x，如圖2所示. 此時，在豎直方向上，長方體將分別受兩圓柱所給支持力N1,N2以及重力mg. 運(yùn)動過程中，長方體還將受到x方向的空氣阻力f，以及圓柱體給的摩擦力fN=f1+f2.

圖2 長方體運(yùn)動過程中某一時刻的受力分析圖

分別將圓柱1、圓柱2作為長方體的支點(diǎn)，則在長方體不傾倒(即長方體不傾斜脫離圓柱體)的情況下，根據(jù)力矩平衡，可得：

(1a)

(1b)

在水平方向上，由牛頓第二定律可得出長方體的運(yùn)動方程為

(2)

長方體在運(yùn)動過程中受到的空氣阻力f與速度的平方成線性關(guān)系[6]，因此有

(3)

其中，η=CρA/2，C為垂直平面體空氣阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，A為長方體迎風(fēng)橫截面積.

對本文的模型來說，木板在往復(fù)運(yùn)動中速度不斷變化，2個圓柱相對勻速轉(zhuǎn)動，不會發(fā)生無滑滾動的情況，同時不考慮形變所致的滾動摩擦，即只考慮滑動摩擦[7]，則

fN=f1+f2=μ1N1+(-μ2N2),

(4)

其中，μ為滑動摩擦因數(shù).

下面詳細(xì)分析摩擦振子中長方體受到的滑動摩擦力fN. 一般情況下，可認(rèn)為滑動摩擦因數(shù)μ是常量，但本文中滑動摩擦力是驅(qū)動長方體運(yùn)動的關(guān)鍵量，且在實(shí)際情況下，滑動摩擦因數(shù)由于相對速度等的變化而改變，最終導(dǎo)致其具體表達(dá)式較為復(fù)雜. 受參考文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，假設(shè)長方體滑動摩擦因數(shù)與相對速度u之間具有線性關(guān)系:

μ=a+bu,

(5)

其中a和b為與物體表面性質(zhì)有關(guān)的常量.

fN=μ1N1-μ2N2=

(6)

分別將(3)和(6)式代入(2)式，得到圓柱1、圓柱2分別按照順-逆時針旋轉(zhuǎn)情況下，長方體的運(yùn)動狀態(tài)方程為

(7)

1.2 圓柱1和圓柱2分別按照逆-順時針旋轉(zhuǎn)

此情形下長方體的運(yùn)動過程與1.1情況不同之處只有摩擦力的方向發(fā)生改變，因此1.1情況中的(1)和(2)式以及長方體所受到的空氣阻力(3)式在此情況下仍適用.

當(dāng)圓柱1和圓柱2分別按照逆-順時針旋轉(zhuǎn)時，長方體受到的滑動摩擦力fN表達(dá)式為

fN=-μ1N1+μ2N2=

(8)

分別將(3)和(8)式代入(2)式，可得到當(dāng)圓柱1和圓柱2分別按照逆-順時針旋轉(zhuǎn)時，長方體的運(yùn)動方程為

(9)

2 實(shí)驗(yàn)探究

實(shí)驗(yàn)使用2個直徑D=7.43 cm的圓柱,以及長度l=45.23 cm、寬度w=2.04 cm、厚度d=1.53 cm的長方體木條，組成摩擦振子系統(tǒng).

2.1 測量圓柱與長方體之間的滑動摩擦因數(shù)

如圖3所示，將兩圓柱靠近并固定在一直線上，并用膠帶固定圓柱使其無法轉(zhuǎn)動. 再調(diào)節(jié)該直線與水平方向呈一定的角度θ，使長方體在圓柱上面自由滑落.

圖3 測量滑動摩擦因數(shù)實(shí)驗(yàn)裝置圖

取木塊運(yùn)動的方向?yàn)閦軸正向，根據(jù)簡單的受力分析，可得到長方體下落的加速度為

(10)

由于圓柱被固定無法旋轉(zhuǎn)，因此圓柱與長方體的相對速度即為長方體自身的速度，即u=dz/dt，結(jié)合(5)和(10)式，得出：

(11)

實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置θ=30°，將長方體下落的過程拍攝視頻，并利用Tracker軟件逐幀分析視頻，得到長方體質(zhì)心隨時間變化數(shù)據(jù). 使用Matlab軟件，利用(11)式對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，如圖4所示，證明了(5)式假設(shè)的正確性. 同時，通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到(5)式中與物體表面性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)值分別為a=0.266,b=-0.009.

圖4 下落過程中長方體質(zhì)心的變化

2.2 分析實(shí)驗(yàn)條件下的空氣阻力系數(shù)相關(guān)常量η

垂直平面體空氣阻力系數(shù)可認(rèn)為C≈1.0[9]，空氣密度為ρ≈1.3 kg/m3，長方體迎風(fēng)面積為A=wd=3.12 cm2. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算得出η≈0.000 20.

2.3 圓柱1和圓柱2分別按不同方式旋轉(zhuǎn)摩擦振子的質(zhì)心變化

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，用繩索反向連接兩圓柱，使兩圓柱獲得大小相等方向相反的角速度，用電機(jī)控制圓柱體的轉(zhuǎn)速. 質(zhì)量m=16.4 g的長方體放置于間距S=30.00 cm的兩圓柱上，并設(shè)置圓柱體以ω=66.0 r/min旋轉(zhuǎn)，從而驅(qū)使長方體運(yùn)動. 此時，圓柱外圍線速度為vr=ωD/2=0.257 m/s.

圖5 摩擦振子實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

對于圓柱1和圓柱2分別按照順-逆時針旋轉(zhuǎn)的情況，將長方體放置在兩圓柱上，令x|t=0=4.00 cm，使圓柱開始旋轉(zhuǎn). 通過Tracker軟件測量長方體質(zhì)心隨時間的變化情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示. 實(shí)線是將上述各參量代入(7)式后得到的理論曲線.

圖6 順-逆時針旋轉(zhuǎn)m=16.4 g時摩擦振子的質(zhì)心變化

從圖6中可以看出，長方體的運(yùn)動軌跡近似為余弦曲線，但實(shí)際振幅在緩慢增大，即摩擦振子做振幅變化的往復(fù)振動. 從圖6也可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論分析得到的曲線基本吻合，證明了(7)式的正確性.

為了進(jìn)一步證明上述理論分析的正確性，保持其他實(shí)驗(yàn)參量不變，僅改變長方體的質(zhì)量為m=21.3 g，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn). 圖7顯示實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論曲線基本一致.

圖7 順-逆時針旋轉(zhuǎn)m=21.3 g時摩擦振子的質(zhì)心變化

選用m=16.4 g的長方體作為摩擦振子，在x|t=0=1.00 cm時，設(shè)置圓柱以ω=66.0 r/min開始旋轉(zhuǎn). 通過Tracker軟件得到摩擦振子的質(zhì)心隨時間變化情況，結(jié)果如圖8所示，實(shí)線是將上述已知參量代入(9)式后得到的理論曲線. 從圖8中可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論曲線吻合度較高，進(jìn)一步證明了理論分析的正確性.

圖8 逆-順時針旋轉(zhuǎn)m=16.4 g時摩擦振子的質(zhì)心變化

同時，從圖8中也可以看出，在圓柱1和圓柱2分別按照逆-順時針旋轉(zhuǎn)情況下，由于長方體運(yùn)動過程中將不斷遠(yuǎn)離兩圓柱軸心位置，最終脫離圓柱系統(tǒng)，此時不存在振動現(xiàn)象. 本文重點(diǎn)研究的是摩擦振子現(xiàn)象，所以圓柱1和圓柱2分別按照逆-順時針旋轉(zhuǎn)這種情況將不再分析.

3 仿真模擬

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)證明了理論分析(7)式和(9)式的正確性. 當(dāng)摩擦振子系統(tǒng)中某些參量變化時，長方體的運(yùn)動狀態(tài)也將隨之改變. 受到當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件的限制，采用控制變量法，基于理論結(jié)果對摩擦振子現(xiàn)象進(jìn)行仿真模擬.

3.1 兩圓柱軸線距離S發(fā)生變化時，摩擦振子的運(yùn)動情況

圖9 S取不同值摩擦振子的質(zhì)心變化

從圖9中可以看出，兩圓柱軸間距S越大，則摩擦振子往復(fù)運(yùn)動的周期就越大. 同時，隨著運(yùn)動時間的增加，兩圓柱間距S越大，摩擦振子運(yùn)動的振幅也越大.

3.2 長方體在具有不同滑動摩擦因數(shù)μ時的運(yùn)動情況

由于μ中含有a和b參量，因此分析a和b單獨(dú)變化時摩擦振子的運(yùn)動情況.

圖10 a取不同值摩擦振子的質(zhì)心變化

在相同實(shí)驗(yàn)參量條件下，當(dāng)固定a=0.266，僅改變b值時，根據(jù)(7)式可得到摩擦振子運(yùn)動曲線如圖11所示. 由圖11可以看出，b值并不會影響摩擦振子運(yùn)動的周期. 當(dāng)b>0時，隨著運(yùn)動時間的增加，摩擦振子運(yùn)動的振幅將迅速減少；當(dāng)b<0時，隨著運(yùn)動時間的增加，摩擦振子運(yùn)動的振幅將迅速增大；當(dāng)b=0時，隨著運(yùn)動時間的增加，摩擦振子運(yùn)動的振幅在短時間內(nèi)基本保持不變，可認(rèn)為長方體近似做簡諧運(yùn)動. 但是，即使b=0，隨著運(yùn)動時間的增加，實(shí)際上摩擦振子往復(fù)運(yùn)動的振幅也將減小，仿真結(jié)果如圖12所示. 這是由于空氣阻力的存在，對摩擦振子運(yùn)動造成了阻尼所致.

圖11 b取不同值摩擦振子的質(zhì)心變化

圖12 b=0時，摩擦振子長時間運(yùn)動質(zhì)心的振幅變化

3.3 空氣阻力系數(shù)η對摩擦振子運(yùn)動的影響

保持上述各實(shí)驗(yàn)參量不變，僅改變(7)式中η的取值，摩擦振子的運(yùn)動情況如圖13所示. 從圖13可以看出，空氣阻力系數(shù)η的改變基本不影響摩擦振子的運(yùn)動狀態(tài)，即一般條件下的空氣阻力對長方體運(yùn)動的影響極其微小.

圖13 η取不同值時摩擦振子的質(zhì)心變化

3.4 當(dāng)圓柱外圍線速度vr變化時摩擦振子的運(yùn)動

保持上述各實(shí)驗(yàn)參量不變，僅改變(7)式中vr的取值(即改變圓柱體運(yùn)動的角速度ω)，摩擦振子的運(yùn)動情況如圖14所示.

圖14 vr取不同值時摩擦振子的質(zhì)心變化

從圖14可以看出，vr的微小變化對摩擦振子運(yùn)動的影響較小. 但隨著vr的大幅度增加，摩擦振子質(zhì)心運(yùn)動的周期將稍變長，且隨著運(yùn)動時間的增加，摩擦振子質(zhì)心的運(yùn)動振幅也將增大.

說明：本文的理論模型，假設(shè)長方體只在水平方向上運(yùn)動，但在實(shí)際運(yùn)動過程中，長方體在豎直方向有微小幅度的振動，這會導(dǎo)致其受到的支持力產(chǎn)生變化，進(jìn)而造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果的微小偏差. 此外，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過Tracker軟件獲得，軟件分析的精確度也會導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論分析之間存在偏差.

4 結(jié)束語

對第33屆IYPT賽題中摩擦振子進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)的研究. 建立了摩擦振子的運(yùn)動模型，通過對摩擦振子的受力和運(yùn)動狀態(tài)分析，從理論上得出了當(dāng)圓柱體分別按照順-逆時針和逆-順時針旋轉(zhuǎn)時，摩擦振子的運(yùn)動狀態(tài)微分方程. 實(shí)驗(yàn)搭建了摩擦振子系統(tǒng)，并對理論分析結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析基本一致.