彭 湃,劉正猷

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 教育部人工微納結(jié)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

聲子晶體是具有空間周期性的人工結(jié)構(gòu)材料，質(zhì)量密度及彈性常量在空間周期性排列. 聲子晶體拓?fù)湫再|(zhì)的研究受到越來越多的科研工作者的關(guān)注. 本文從聲子晶體的背景出發(fā)，介紹了其研究進(jìn)展.

1 聲子晶體的研究背景

1.1 聲子晶體的概念

其概念源自自然晶體(固體)——原子在空間中周期性排列，是自然晶體的拓展. 根據(jù)固體物理學(xué)中的能帶理論，當(dāng)電子在晶體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到晶格的布拉格散射形成帶隙或禁帶，在禁帶內(nèi)電子態(tài)不能存在. 能帶理論預(yù)言了導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體并說明了它們的區(qū)別. 由于波動(dòng)現(xiàn)象的一致性，在上世紀(jì)90年代，人們將電子體系中“利用晶格的周期性操控電子傳輸”的概念拓展到經(jīng)典體系“利用周期性人工結(jié)構(gòu)操控光/聲波在其中傳播”. 1987年，Yablonovitch[1]和John[2]分別提出了光子晶體的概念并于1991年得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[3]. 1993年，聲子晶體的概念被提出并得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[4-12]. 聲子晶體通常可由散射體(例如鋼球)周期性排列在另一種基體材料(例如水)中形成，聲波在基體中傳播會(huì)受到周期性排列的散射體的布拉格散射作用，從而形成類似電子帶隙的“聲子帶隙”. 頻率在帶隙范圍內(nèi)的聲波無法在聲子晶體中傳播. 由于聲波一般難以與電場(chǎng)或磁場(chǎng)相互作用，有效操控聲波的手段有限. 聲子晶體的出現(xiàn)為操控聲波、設(shè)計(jì)全新聲學(xué)器件提供了可能性.

1.2 聲子晶體的發(fā)展和優(yōu)勢(shì)

聲子晶體的發(fā)展得益于近幾十年計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的大幅提升. 區(qū)別于自然晶體的基本構(gòu)筑單元(1個(gè)或數(shù)個(gè)原子)以及結(jié)構(gòu)，不能隨意“加工”，這由材料的穩(wěn)定性決定. 聲子晶體具有宏觀結(jié)構(gòu)，因而易于加工. 可運(yùn)用現(xiàn)有的成熟加工工藝和技術(shù)，例如微納刻蝕工藝或3D打印技術(shù)，制備和加工聲子晶體. 通過改變散射體的大小和形狀[7]，在散射體內(nèi)部引入更小的次級(jí)結(jié)構(gòu)[8]，或者改變散射體之間的連通性[9]，都能夠改變聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)和聲學(xué)性質(zhì). 在現(xiàn)代加工技術(shù)的幫助下，聲子晶體因其低廉的制備成本和廣闊的設(shè)計(jì)空間受到廣泛關(guān)注并得到大力發(fā)展.

計(jì)算聲子晶體能帶及波函數(shù)有多種方法. 平面波方法是最早被提出并用來計(jì)算聲子晶體能帶結(jié)構(gòu). 其要點(diǎn)是把波函數(shù)做平面波展開，把周期性結(jié)構(gòu)做傅里葉展開. 當(dāng)散射體形狀為規(guī)則的球/圓柱型時(shí)，用多重散射理論(Multiple scattering theory, MST)將聲波波函數(shù)在球/柱坐標(biāo)下展開，可使計(jì)算非?？旖莺头奖? 當(dāng)散射體為復(fù)雜形狀(例如矩形或三角形)時(shí)，取而代之的是用時(shí)域有限差分(Finite difference time domain, FDTD)或有限元 (Finite element method, FEM)等數(shù)值計(jì)算方法，將空間離散化后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真模擬，最終得到能帶結(jié)構(gòu)、聲場(chǎng)分布等結(jié)果. 例如，比較流行的商業(yè)軟件COMSOL Multiphysics，就是采用的有限元法.

對(duì)聲子晶體的研究大致經(jīng)歷了3個(gè)階段. 第一階段主要致力于獲得寬頻帶隙[4-9]，希望利用帶隙實(shí)現(xiàn)隔振降噪、防震等功能. 其中重要的發(fā)現(xiàn)是，含有共振單元的聲子晶體能產(chǎn)生低頻帶隙[8]，在環(huán)境噪聲控制、聲隱身、地震防護(hù)等諸多方面具有應(yīng)用前景. 第二階段主要關(guān)注聲子晶體的通帶[10-12]，通過通帶設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)對(duì)聲波傳輸行為的操控，制作具有如聚焦、負(fù)折射、定向輻射等功能的聲學(xué)器件. 特別地，對(duì)于低頻通帶，在波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于晶格常量的條件下，聲子晶體可視為均勻材料，可用有效介質(zhì)理論(Effective medium theory, EMT)提取其有效聲阻抗、有效波速、有效質(zhì)量密度及有效彈性參量等材料參量. 第三階段也就是近來開始關(guān)注在前兩階段不太受重視的聲場(chǎng)形態(tài)和相位信息，從而掀起了對(duì)聲子晶體拓?fù)湫再|(zhì)的研究熱潮[13-36].

2 拓?fù)渎曌泳w概述

2.1 拓?fù)浣^緣體的背景知識(shí)

拓?fù)浣^緣體是一種不同于常規(guī)絕緣體的新物態(tài). 拓?fù)浣^緣體內(nèi)部絕緣但表面能導(dǎo)電，并且表面電流具有魯棒性，不會(huì)被雜質(zhì)或缺陷散射. 這種優(yōu)異的傳播特性具有重要應(yīng)用前景. 從能帶結(jié)構(gòu)上看，跟常規(guī)絕緣體一樣，拓?fù)浣^緣體也具有體禁帶. 不同的是，對(duì)有限大小的拓?fù)浣^緣體而言，能帶結(jié)構(gòu)上會(huì)出現(xiàn)跨越整個(gè)體禁帶的、無能隙的表面態(tài)色散，即在表面上存在表面態(tài). 對(duì)拓?fù)浣^緣體施以連續(xù)的變化，例如讓其結(jié)構(gòu)變形，只要其體帶隙不閉合，表面態(tài)就不會(huì)消失，拓?fù)浣^緣體的特性就不會(huì)改變，表現(xiàn)出魯棒性. 從數(shù)學(xué)上，幾何形體在連續(xù)變形下的不變性就是幾何對(duì)象的拓?fù)鋵傩?，由拓?fù)渲笖?shù)描述. 對(duì)材料拓?fù)鋵傩缘恼J(rèn)識(shí)要?dú)w功于1982年Thouless等人對(duì)量子霍爾效應(yīng)的研究[13]. 低溫二維電子氣在垂直外加強(qiáng)磁場(chǎng)下，體絕緣而邊界導(dǎo)電，其霍爾電導(dǎo)是量子化的、具有魯棒性的常量. 經(jīng)典圖像對(duì)量子霍爾效應(yīng)中邊界態(tài)的形成可按圖1理解. 在外加垂直磁場(chǎng)后，內(nèi)部電子在洛倫茲力的作用下做“圓周”運(yùn)動(dòng)，沒有凈電流. 而處于邊界的電子不能形成完整的回旋，只能沿著邊界做“半圓周”運(yùn)動(dòng)并向前形成表面電流. 顯然，無論表面上是否設(shè)有障礙，表面電流只能單向流動(dòng)，而不會(huì)反向.

圖1 量子霍爾效應(yīng)

Thouless等首次發(fā)現(xiàn)量子化的霍爾電導(dǎo)與二維電子體系能帶的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān). 能帶的拓?fù)湫再|(zhì)可由拓?fù)渲笖?shù)——陳數(shù) (Chern number) 描述，陳數(shù)定義為與能帶波函數(shù)相關(guān)的貝利曲率(Berry curvature)在布里淵區(qū)上的積分，描述了能帶的拓?fù)洳蛔冃? 陳數(shù)是整數(shù)，為 0時(shí)稱為平庸的，刻畫常規(guī)絕緣體；不為0時(shí)稱為非平庸的，描述拓?fù)浣^緣體. 這樣，拓?fù)涓拍钸M(jìn)入了物理，而對(duì)材料拓?fù)湫再|(zhì)的研究成為凝聚態(tài)物理的重要方向. Thouless等也因此于2016 年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng). 拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的魯棒性歸根結(jié)底來源于拓?fù)洳牧夏軒У耐負(fù)洳蛔冃?，或者說是受到了拓?fù)浔Ｗo(hù).

2.2 光/聲系統(tǒng)的量子霍爾效應(yīng)

在光/聲子晶體中可觀察到光/聲波的類似電子的量子霍爾效應(yīng). 2005年，Haldane和Raghu首次在理論上提出了用旋光效應(yīng)來實(shí)現(xiàn)光波的拓?fù)洮F(xiàn)象[14-15]. 并且在理論上指出一種通用方法：先在光子能帶中構(gòu)造二重簡(jiǎn)并的線性色散關(guān)系，即狄拉克錐(Dirac-cone),再通過打破時(shí)間反演對(duì)稱性將簡(jiǎn)并打開，就能實(shí)現(xiàn)光的量子霍爾效應(yīng). 2014年Fleury 等人將這種思路引入聲學(xué)系統(tǒng)[16-17]. 由于聲波幾乎不受磁場(chǎng)的影響，在聲學(xué)體系中打破時(shí)間反演對(duì)稱性需要采用類似圖2(a)中的設(shè)計(jì)，給散射體增加環(huán)形腔并引入環(huán)形氣流. 將低噪聲的小風(fēng)扇放置在環(huán)形腔中可作為有手征性的環(huán)形聲源. 在彈性波體系中打破時(shí)間反演對(duì)稱性則可以直接利用固體的轉(zhuǎn)動(dòng). 如圖2(b)所示，Nasha等人在2015年將同方向旋轉(zhuǎn)的陀螺儀用彈簧連接成六角蜂窩狀的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)[18-19]. 周期性的排列使整個(gè)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)具有彈性波的帶隙，從而在邊界上支持一定頻率范圍的表面模式，類比量子霍爾效應(yīng)中的表面電流. 如圖2(c)所示，陀螺儀的“晃動(dòng)”只會(huì)沿機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的邊界傳導(dǎo)而不會(huì)影響到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的陀螺儀單元，直觀地展示了受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)的傳輸行為.

(a)環(huán)形氣流結(jié)構(gòu)單元[16] (b)陀螺儀單元[18]

(c)邊界傳播模式[18]圖2 流體/機(jī)械拓?fù)渎曌泳w

2.3 拓?fù)渎曌泳w的分類

經(jīng)過幾年的系統(tǒng)研究，聲子晶體拓?fù)鋺B(tài)研究已取得了很大進(jìn)展. 到目前為止，拓?fù)渎曌泳w除了絕緣體一大類型外，還包含半金屬一大類型. 絕緣體類型可分為能谷絕緣體、一階拓?fù)浣^緣體(包含上述量子霍爾效應(yīng)類型)、高階拓?fù)浣^緣體等幾種子類型. 半金屬態(tài)指的是能帶結(jié)構(gòu)中相鄰能帶以點(diǎn)、線或面的幾何形態(tài)相接或簡(jiǎn)并. 以點(diǎn)相接或簡(jiǎn)并的包含狄拉克(Dirac)半金屬和外爾(Weyl)半金屬. 以線相接或簡(jiǎn)并的稱為節(jié)線(nodal lines)半金屬，以面相接或簡(jiǎn)并的稱為節(jié)面(nodal surfaces)半金屬. 以下以本課題組在能谷聲子晶體(絕緣體態(tài))和外爾聲子晶體(半金屬態(tài))的研究工作為代表介紹2類拓?fù)鋺B(tài).

3 能谷聲子晶體

3.1 二維聲子晶體中的狄拉克錐色散關(guān)系

狄拉克錐是一類具有特殊形狀的能帶結(jié)構(gòu)，在二維體系中表現(xiàn)為2條能帶線性相交于一點(diǎn)，稱為狄拉克點(diǎn)，從而在動(dòng)量空間中張出圓錐狀的色散曲面. 這種線性色散關(guān)系對(duì)應(yīng)狄拉克方程的無質(zhì)量相對(duì)論粒子，后來在二維材料石墨烯中被實(shí)際觀察到. 所以石墨烯中電子表現(xiàn)為無質(zhì)量的相對(duì)論粒子，在理論和應(yīng)用方面都具有重要意義. 通常以狄拉克錐色散關(guān)系作為出發(fā)點(diǎn)，通過解除狄拉克點(diǎn)的簡(jiǎn)并打開帶隙來研究系統(tǒng)非平庸的拓?fù)湫再|(zhì). 研究已發(fā)現(xiàn)，二維聲子晶體中也存在類似石墨烯的狄拉克錐色散關(guān)系或能帶[20-23]，以這類聲子晶體為出發(fā)點(diǎn)是尋找拓?fù)渎曌泳w的有效途徑. 2015年，用基于群論的“k-p微擾方法”得到產(chǎn)生狄拉克錐的條件[24]，可看到其存在依賴于體系的對(duì)稱性. 所有能形成狄拉克錐的聲子晶體種類總結(jié)為表1. 表中的對(duì)稱性指點(diǎn)群，“偶發(fā)性” 和“確定性”表示狄拉克錐的形成是必然的還是偶然的.

表1 晶體不同對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的狄拉克錐

3.2 聲子晶體中的能谷態(tài)與谷邊緣態(tài)

從表1中可以看出：由正三角形柱體按六角晶格排列構(gòu)成的聲子晶體，且當(dāng)三角形的取向角α=0°時(shí)[見圖3(a)]，可以確定擁有狄拉克點(diǎn)，同時(shí)結(jié)構(gòu)又最簡(jiǎn)單[25-26]. 該聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖3(b)中黑線所示，在布里淵區(qū)角點(diǎn)(K點(diǎn)和K′點(diǎn))形成狄拉克錐. 實(shí)驗(yàn)上將有限厚的正三角形 PMMA(聚甲基丙烯酸甲酯)柱夾在2塊PMMA 板之間，當(dāng)聲源頻率足夠低時(shí)夾板間只有零階波導(dǎo)模式存在，從而保證本質(zhì)上是二維體系[見圖3(a)]. 如果將正三角柱逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小角度(轉(zhuǎn)角α=10°)，則體系的對(duì)稱性從C3v降至C3，狄拉克點(diǎn)的簡(jiǎn)并被打開，形成圖3(b)中紅-藍(lán)線所示的2條能帶，中間由帶隙隔開.

相比引入環(huán)形氣流打破體系時(shí)間反演對(duì)稱性打開狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并的做法，這里是通過旋轉(zhuǎn)散射體打破體系的鏡面對(duì)稱性來打開帶隙. 在帶隙打開處，上能帶的極小值和下能帶的極大值位置，通稱為能谷. 不管是上能谷還是下能谷，都成對(duì)出現(xiàn)在K點(diǎn)和K′點(diǎn)，即原來的狄拉克點(diǎn)位置. 成對(duì)的能谷態(tài)可視為贗自旋，對(duì)應(yīng)于2個(gè)自旋取向. 能谷贗自旋為聲場(chǎng)調(diào)控提供了新的自由度. 這類具有能谷態(tài)的聲子晶體稱為能谷聲子晶體. 在K點(diǎn)的能谷態(tài)K2和K1的本征場(chǎng)分別如圖3(c)右邊的上下插圖所示，顏色表示聲壓場(chǎng)的強(qiáng)度，箭頭表示能流場(chǎng)的大小和方向. 可以看出，K2和K1的能流場(chǎng)表現(xiàn)為手征性的渦旋場(chǎng)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針取向. 相應(yīng)地，與K2或K1態(tài)成對(duì)的、位于K′點(diǎn)的能谷態(tài)也是渦旋態(tài)，但渦旋方向正好相反. 渦旋聲場(chǎng)具有角動(dòng)量，當(dāng)顆粒置于聲場(chǎng)中時(shí)，聲場(chǎng)的角動(dòng)量可轉(zhuǎn)化為作用在顆粒上的力矩，從而可實(shí)現(xiàn)對(duì)顆粒操控. 可以想見，如果將散射體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)同樣角度(即α=-10°)會(huì)得到完全相同的能帶結(jié)構(gòu)，但是能谷態(tài)K2和K1會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn). 圖3(c)展示了K點(diǎn)處這2個(gè)能谷態(tài)(紅色為逆時(shí)針渦旋即正渦旋q+，藍(lán)色為順時(shí)針渦旋即負(fù)渦旋p-)的頻率隨轉(zhuǎn)角α的變化情況. 可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)角為正時(shí)，上能谷K2是負(fù)渦旋，下能谷K1是正渦旋；當(dāng)轉(zhuǎn)角為負(fù)時(shí)，上能谷K2變成負(fù)渦旋，下能谷K1變成正渦旋，即發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn). 在特殊轉(zhuǎn)角0°和±60°時(shí)，K2和K1態(tài)是簡(jiǎn)并的，即能帶為狄拉克錐的情形.

(a)能谷聲子晶體樣品 (b)能帶結(jié)構(gòu)

(c)谷態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)角變化 (d)谷邊緣態(tài)能帶結(jié)構(gòu)

(e)谷邊緣態(tài)的無障礙傳輸圖3 能谷聲子晶體

3.3 能谷聲子晶體的研究新進(jìn)展

能谷聲子晶體的研究已取得了很多進(jìn)展[27-33]. 例如包含豐富拓?fù)湎嗟碾p層能谷聲子晶體[27-28]，水聲背景下的能谷聲子晶體[32]，以及基于四方晶格的能谷聲子晶體[33]等. 下面重點(diǎn)介紹關(guān)于能谷聲子晶體中的拓?fù)潴w態(tài)運(yùn)輸[29]和拓?fù)渎曌泳w芯片[30]的相關(guān)研究. 如何將存在于界面上的拓?fù)涔冗吘墤B(tài)拓展成寬度可調(diào)，即具有寬度自由度的拓?fù)涔炔▽?dǎo)態(tài)？可采用如圖4(a)所示的設(shè)計(jì)，由轉(zhuǎn)角不同的聲子晶體組成“三明治”結(jié)構(gòu). 外面2層(A層和B層)是具有拓?fù)鋷兜哪芄嚷曌泳w，其轉(zhuǎn)角分別選為α=30°和α=-30°，以提供最寬帶隙；中間新增的夾層(C層)是無帶隙的聲子晶體(轉(zhuǎn)角α=0°)充當(dāng)波導(dǎo)管.

(a)異質(zhì)結(jié)構(gòu) (b)X方向投影能帶結(jié)構(gòu)

(c)不同缺陷下的壓強(qiáng)分布圖4 能谷聲子晶體的拓?fù)洳▽?dǎo)運(yùn)輸

如圖4(b)所示，如同前述只有A/B界面的情形，在A和B的公共帶隙內(nèi)，體系存在1條跨越帶隙的拓?fù)浞瞧接沟墓炔▽?dǎo)態(tài)，來自聲子晶體A和B之間的非平庸邊界態(tài)與聲子晶體C的平庸體態(tài)的耦合. 谷波導(dǎo)態(tài)也具有和邊界態(tài)類似的魯棒性. 圖4(c)展示了被點(diǎn)源激發(fā)的谷波導(dǎo)態(tài)在波導(dǎo)管中傳播的情形. 無論是在波導(dǎo)管中引入無序，或者引入凸起、凹陷或兩者同時(shí)存在，都不會(huì)影響谷波導(dǎo)態(tài)的傳輸，表現(xiàn)出強(qiáng)大的魯棒性. 借助于邊界態(tài)和體態(tài)的耦合，原本只出現(xiàn)在邊界上拓?fù)浣缑娌ìF(xiàn)在“充滿”了整個(gè)波導(dǎo)管. 和邊界態(tài)傳輸相比，這種波導(dǎo)態(tài)傳輸?shù)膬?yōu)勢(shì)在于：具有寬度的波導(dǎo)管更容易和已有器件對(duì)接從而方便于應(yīng)用；波導(dǎo)管更有利于能量傳輸.

能谷態(tài)不僅存在于前述流體(空氣)體系，也能存在固體體系. 運(yùn)用微納刻蝕工藝在硅片上制備出片上能谷聲子晶體[30]. 如圖5(a)所示，由底部薄板和在其上刻出的正三角柱陣列構(gòu)成. 體系支持多種振動(dòng)模式的 Lamb 波傳播，其中的彎曲波(面外振動(dòng))模式便于激發(fā)，其運(yùn)動(dòng)方程和二維聲波的波動(dòng)方程類似. 按六角晶格排列的正三角柱陣列可對(duì)彎曲波進(jìn)行調(diào)制，形成狄拉克錐色散. 與前面類似，可通過旋轉(zhuǎn)正三角柱打開狄拉克錐形成帶隙，產(chǎn)生能谷. 圖5(b)顯示在K點(diǎn)的能谷，實(shí)線為理論計(jì)算的能帶，顏色表示相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，兩者一致. 這里同樣利用了打破鏡面對(duì)稱解除狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并的機(jī)制. 圖5(c)為能谷態(tài)K2和K1的本征場(chǎng)在不同時(shí)刻的形態(tài)，表現(xiàn)為按順和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋態(tài). 圖5(d)展示了在2個(gè)轉(zhuǎn)角相反的能谷聲子晶體相的界面上傳播的谷邊界態(tài)，在拐彎處沒有反射，具有魯棒性.

(a)片上能谷聲子晶體 (b)面外模式能帶結(jié)構(gòu)

(c)3個(gè)時(shí)刻的上下能谷態(tài)本征場(chǎng) (d)拓?fù)溥吔鐟B(tài)傳輸圖5 硅片的能谷聲子晶體

獲得拓?fù)浔Ｗo(hù)的谷邊界態(tài)的過程可以概括為：找到狄拉克錐→降低對(duì)稱性打開帶隙,得到能谷→實(shí)現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn)→用能帶反轉(zhuǎn)的2個(gè)晶體構(gòu)造界面→獲得界面上的谷邊界態(tài). 通過破缺體系對(duì)稱性打開狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并是構(gòu)造拓?fù)渎曌泳w的常用方法，該方法也適用于三維體系[34].

4 外爾聲子晶體

4.1 聲子晶體中的外爾點(diǎn)

三維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)中存在和前述二維狄拉克錐類似的線性色散關(guān)系，其中的2度簡(jiǎn)并點(diǎn)稱為“外爾點(diǎn)(Weyl point)”. 與二維體系中的狄拉克點(diǎn)沿平面任何方向均為線性色散不同，三維體系中，從外爾點(diǎn)出發(fā)沿三維空間3個(gè)方向都為線性色散關(guān)系. 外爾點(diǎn)簡(jiǎn)并不像狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并那樣容易打開，具有很強(qiáng)的魯棒性. 如果連續(xù)變形其晶格，只會(huì)看到外爾點(diǎn)在倒空間游弋，看不到外爾點(diǎn)簡(jiǎn)并的打開. 外爾聲子晶體于2017年在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[35]. 圖6(a)展示了用3D打印技術(shù)制作的外爾聲子晶體樣品的外貌及細(xì)節(jié)，插圖為單胞的示意圖.

圖6(b)顯示該外爾聲子晶體的布里淵區(qū)及外爾點(diǎn)在其中的分布，紫點(diǎn)和綠點(diǎn)分別表示拓?fù)浜蔀?1和-1的外爾點(diǎn). 在倒空間用球面包住外爾點(diǎn)，通過球面上的波函數(shù)計(jì)算出球面上的貝里曲率矢量，把貝里曲率在球面上做積分即得到外爾點(diǎn)的拓?fù)浜? 貝里曲率矢量如同磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，對(duì)應(yīng)有不為零的矢勢(shì)[即貝里連接(Berry connection)]. 但貝里曲率的球面積分(即拓?fù)浜?不為零，所以外爾點(diǎn)的拓?fù)浜扇缤按藕伞? 圖6(c)為布里淵區(qū)邊界上沿kZ方向的能帶結(jié)構(gòu)，可見在布里淵區(qū)的K點(diǎn)和H點(diǎn)處2條能帶線性相交，在K-H之間2條能帶分開，具有帶隙. 圖6(d)為給定kZ時(shí)kX-kY平面內(nèi)的能帶結(jié)構(gòu). 當(dāng)kZ=0時(shí)(左圖)能帶線性相交于K處形成前節(jié)所述的狄拉克錐，當(dāng)kZ偏離0時(shí)(右圖)2條能帶打開帶隙. 這清楚表明K點(diǎn)是外爾點(diǎn). 同樣分析可知道H點(diǎn)也是外爾點(diǎn)，當(dāng)然K′和H′也是外爾點(diǎn). 外爾聲子晶體具有奇妙的性質(zhì)，其表面存在拓?fù)浔砻鎽B(tài)，而且表面態(tài)的等頻線不閉合，表現(xiàn)為一段一段的弧，稱為“費(fèi)米弧(Fermi arc)”，而普通表面態(tài)的等頻線都是閉合的. 以外爾聲子晶體的XZ表面為例，如圖6(e)中左圖所示，如果把點(diǎn)源(頻率約15 kHz)放置在表面中心，可看到表面態(tài)被激發(fā)出來并在表面上傳播. 如果把表面上的場(chǎng)分布做傅里葉變換，可以得到表面態(tài)的等頻線，如圖6(e)右圖所示. 可以看到等頻線確實(shí)不閉合，而是一段一段的費(fèi)米弧，連接外爾點(diǎn)在這個(gè)表面的布里淵區(qū)的投影(紫色和綠色點(diǎn)). 圖中顏色是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，白色是數(shù)值計(jì)算結(jié)果，其中實(shí)線為該表面上的表面費(fèi)米弧，虛線為對(duì)面表面上的表面波費(fèi)米弧. 可以看到實(shí)驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果一致. 費(fèi)米弧表面態(tài)也具單向傳輸、抗缺陷的特性. 圖6(f)(為Z方向的俯視圖)顯示了在XZ表面激發(fā)的表面波(具有kZ=0.5π/c，c是Z方向的晶格常量)的傳播. 可以看到它只向左傳播，在傳播到左角點(diǎn)后，拐入YZ表面，繼續(xù)向上傳播. 雖然在YZ表面故意制造了凹槽缺陷，可以看到表面波翻越這一障礙繼續(xù)向上傳播，表現(xiàn)出強(qiáng)大的單向傳輸特性.

(a)外爾聲子晶體樣品 (b)布里淵區(qū)及外爾點(diǎn)分布

(c)kZ方向能帶 (d)kX-kY平面上的能帶結(jié)構(gòu)

(e)XZ表面上的能帶結(jié)構(gòu)

(f)費(fèi)米弧表面態(tài)的無障礙傳輸圖6 外爾聲子晶體

4.2 拓?fù)浔砻娌ǖ呢?fù)折射效應(yīng)

三維外爾體系中的表面波的傳播由費(fèi)米弧的形狀及取向決定. 調(diào)控費(fèi)米弧即可調(diào)控表面波的傳播. 下面在另一個(gè)外爾聲子晶體中顯示費(fèi)米弧對(duì)表面波傳播的調(diào)控. 新的外爾聲子晶體如圖7(a)所示[36]，是更簡(jiǎn)單的柴堆結(jié)構(gòu). 第1層是方柱的一維排列，第2層是把第1層旋轉(zhuǎn)120°，第3層是把第2層旋轉(zhuǎn)120°，如此類推，形成三維結(jié)構(gòu). 這一體系同樣在布里淵區(qū)的K點(diǎn)存在外爾點(diǎn). 從圖7(a)的左圖中可以直觀看到，選擇不同的表面切割位置會(huì)使樣品的表面結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，表面結(jié)構(gòu)的差異會(huì)導(dǎo)致表面態(tài)的能帶不同，即費(fèi)米弧發(fā)生變化.

圖7(b)為切割的實(shí)驗(yàn)樣品的外觀，四周有4個(gè)表面，其中相鄰3個(gè)表面記為XZ1(正面)、YZ1(右側(cè)面)和XZ2面(背面). 正面和右側(cè)面的表面費(fèi)米弧如圖7(c)中上圖的插圖所示. 圖7(c)中下圖的插圖顯示右側(cè)面和背面的表面波費(fèi)米弧. 圖7(c)中場(chǎng)圖為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，可以看到表面波在XZ1面激發(fā)，傳播至與YZ1面的交界時(shí)完全進(jìn)入YZ1面，不發(fā)生反射，在YZ1面上傳播時(shí)改變了方向. 不管是在XZ1面還是在YZ1面，表面波的傳播方向完全由費(fèi)米弧控制，即按費(fèi)米弧的梯度即法線方向傳輸. 可以看到，從XZ1面到Y(jié)Z1面，在YZ1面折射波與在XZ1面的入射波，位于兩面交線的法線的兩側(cè)，是正常的折射. 但是，繼續(xù)來看表面波從右側(cè)面YZ1面進(jìn)入背面XZ2面的折射，如圖7(c)下圖所示，結(jié)果大不相同. 可看到在XZ2面的折射波與在YZ1面的入射波位于兩面交線法線的同一側(cè)，即發(fā)生了負(fù)折射.

(a)結(jié)構(gòu)示意圖及單胞 (b)實(shí)驗(yàn)樣品

(c)費(fèi)米弧表面態(tài)在棱邊處的拓?fù)湔凵鋱D7 外爾聲子晶體表面態(tài)的拓?fù)湄?fù)折射

5 結(jié)束語

介紹了本課題組近幾年在拓?fù)渎曌泳w領(lǐng)域的一些研究進(jìn)展，并以此為案例介紹拓?fù)渎曌泳w的前沿動(dòng)態(tài). 拓?fù)渎曌泳w能支持類似量子霍爾效應(yīng)中邊界電流的、受拓?fù)浔Ｗo(hù)的、具有魯棒性的界/表面波. 拓?fù)浣?表面波的核心在于構(gòu)建出連接體帶隙上下體帶的無能隙的邊界態(tài). 在能谷聲子晶體中是通過打開狄拉克錐獲得能帶發(fā)生反轉(zhuǎn)的2個(gè)谷拓?fù)湎?，在其界面獲得能谷鎖定的拓?fù)溥吔鐟B(tài). 在外爾聲子晶體中則是借助1對(duì)拓?fù)浜上喾吹耐鉅桙c(diǎn)來形成費(fèi)米弧表面態(tài). 拓?fù)浣?表面波的魯棒性表現(xiàn)在對(duì)缺陷和無序免疫，具有單向傳輸?shù)男再|(zhì). 這種無障礙的傳輸特性無疑具有廣闊的應(yīng)用前景，也激發(fā)了科研工作者對(duì)拓?fù)湮锢淼臉O大興趣.