王 恒，王云鵬,武彥偉，程衛(wèi)東

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

0 引言

我國是制鞋大國，鞋楦是鞋的成型模具，其加工質(zhì)量影響到鞋的尺寸精度，因此鞋楦加工成為制鞋中的關(guān)鍵技術(shù)。五軸聯(lián)動數(shù)控機(jī)床是一類專門用于加工復(fù)雜曲面的高精密機(jī)床[1]，目前已經(jīng)可以采用五軸數(shù)控加工鞋楦。

五軸數(shù)控加工中的刀具磨損會降低鞋楦的加工精度，更換刀具又會提高生產(chǎn)成本，有必要對刀具半徑進(jìn)行補(bǔ)償，而確定半徑補(bǔ)償方向是其中的關(guān)鍵[2]。鞋楦數(shù)控加工方式為端銑加工，其理想的刀具半徑補(bǔ)償方向為切觸點法向量。

若數(shù)控程序能夠輸出切觸點坐標(biāo)，則可通過刀心點坐標(biāo)和刀具尺寸計算得到切觸點法向量。文獻(xiàn)[3-8]分析了球頭刀、環(huán)形刀和平底刀的刀具半徑補(bǔ)償原理，利用程序提供的切觸點坐標(biāo)和刀心點坐標(biāo)推導(dǎo)出切觸點法向量，得到半徑補(bǔ)償公式。以上對切觸點法向量的推導(dǎo)均需數(shù)控程序輸出切觸點坐標(biāo)，然而現(xiàn)在很多數(shù)控程序并不提供切觸點信息，限制了以上方法的適用范圍。

數(shù)控程序未提供切觸點坐標(biāo)時，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的韓麗提出一種將刀心點法向量作為刀具半徑補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方法；Han等[9]以NC代碼為輸入，運用形狀重構(gòu)技術(shù)進(jìn)行刀位表面重構(gòu)，求出刀位點的表面法向量，通過推導(dǎo)刀位點法向量與切觸點法向量之間的關(guān)系得到對應(yīng)的切觸點法向量，并在球頭刀和平底刀上得到了驗證；文獻(xiàn)[10]針對應(yīng)用截平面法生成的刀具路徑，利用刀心點及其鄰域點擬合平面得到刀心點法向量，并將法向量統(tǒng)一調(diào)整為指向工件外側(cè)，以刀心點法向量作為該點刀具半徑補(bǔ)償?shù)姆较?。鞋楦加工?shù)控程序未提供切觸點坐標(biāo)，這種將刀心點法向量作為補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方法為解決切觸點缺失時刀具半徑補(bǔ)償方向的確定問題提供了很好的思路。

利用計算量較少的擬合平面求得曲面法向量，法向量調(diào)整是關(guān)鍵。孫金虎等[11]對薄壁特征、垂直法相和相鄰曲面3種情況分別進(jìn)行處理，以更快更準(zhǔn)確地調(diào)整法向量；何華等[12]減小了調(diào)整法向量的搜索范圍，并增加了搜索時的法向量傳播個數(shù)，以提高法向量調(diào)整的效率，并用約束法向量傳播方向的方式提高準(zhǔn)確性；吳良武等[13]改進(jìn)了鄰域加權(quán)平均法，只在相關(guān)邊界體素間進(jìn)行光順操作，使生成的物體表面更加細(xì)膩。

本文以鞋楦五軸數(shù)控加工為對象，針對相鄰刀心點法向量可能出現(xiàn)偏差較大的情況，提出一種全局刀心點法向量的光順方法，使得在算法復(fù)雜度小的情況下仍能實現(xiàn)法向量光順。然后將光順后的刀心點法向量作為刀具半徑補(bǔ)償方向，對這種刀具半徑補(bǔ)償算法進(jìn)行了仿真驗證。

1 圓環(huán)面刀具半徑補(bǔ)償原理

1.1 圓環(huán)面刀具

鞋楦加工所用的刀具為圓環(huán)面刀具，如圖1所示，本文以圓環(huán)面刀具為例對刀具半徑補(bǔ)償進(jìn)行問題描述。圓環(huán)面刀具由3個均勻分布的切削刃構(gòu)成，通過安裝孔裝在主軸上，旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下呈圓環(huán)狀，如圖2所示。圖中，R為刀具大徑，r為刀具小徑，O為刀心點，軌跡規(guī)劃生成的刀位軌跡即為刀心點的位置軌跡。

1.2 刀具半徑補(bǔ)償原理

使用五軸數(shù)控機(jī)床加工鞋楦時，刀具與工件為點接觸，刀具未磨損時，其與工件的切觸位置為軌跡規(guī)劃得到的理論切觸點；當(dāng)磨損導(dǎo)致刀具半徑減小時，如果仍按原數(shù)控程序走刀，則刀具和工件的切觸位置相對于理論切觸點偏工件外側(cè)，將造成工件欠切。

鞋楦加工過程中涉及的5個運動軸為X，Y，Z，B，C。其中：X，Y，Z為平動軸的運動坐標(biāo)；旋轉(zhuǎn)軸B決定刀軸擺角，該角度在軌跡規(guī)劃時事先由經(jīng)驗確定；旋轉(zhuǎn)軸C決定工件的旋轉(zhuǎn)角度，為了使切削速度均勻，轉(zhuǎn)軸C勻速變化。在刀補(bǔ)時，維持B，C兩軸坐標(biāo)值與軌跡規(guī)劃時相同，僅改變X，Y，Z的數(shù)值，即通過在空間內(nèi)平移刀心點進(jìn)行刀具半徑補(bǔ)償，這樣既減小了五軸數(shù)控刀補(bǔ)的復(fù)雜程度，又有別于三軸數(shù)控刀補(bǔ)中的平面補(bǔ)償，以下描述刀具半徑補(bǔ)償算法時不再涉及B，C兩旋轉(zhuǎn)軸。鞋楦加工的刀具半徑補(bǔ)償原理如圖3所示。

圖3局部放大部分的C點為當(dāng)前切觸點，n為當(dāng)前切觸點的法向量。刀具輪廓1為磨損前刀具位置，刀具輪廓2為磨損后未進(jìn)行刀具半徑補(bǔ)償時的刀具位置，刀心點均為O。刀具磨損后，刀具和工件切觸位置偏離理論切觸點C。刀具輪廓3為將磨損后的刀具沿切觸點內(nèi)法向量方向平移半徑補(bǔ)償值后的刀具位置，此時刀心點為O′，由刀具磨損產(chǎn)生的誤差得到補(bǔ)償。

2 刀心點法向量作為補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方法

2.1 刀心點法向量作為補(bǔ)償方向的使用條件

本文對螺旋線導(dǎo)動法生成的鞋楦加工軌跡進(jìn)行研究。作為刀具半徑補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方式，刀心點法向量可以應(yīng)用于螺旋線導(dǎo)動法生成的鞋楦加工軌跡，該刀位軌跡如圖4所示。刀心點軌跡具有以下特點：

(1)文獻(xiàn)[14]指出，兩個一階連續(xù)可微曲面作空間點接觸的連續(xù)嚙合運動時，兩個曲面上的接觸軌跡是連續(xù)的，并給出了該命題的證明。對于數(shù)控加工，兩個連續(xù)可微平面一個是工件曲面，一個是刀具旋轉(zhuǎn)形成的包絡(luò)面。

(2)鞋楦五軸數(shù)控加工中，刀位軌跡采用螺旋線導(dǎo)動法生成[15]。Z軸以極小且較均勻的速度緩慢抬升，相鄰刀心點間的刀軸矢量變化極小，工件坐標(biāo)系下刀心點包絡(luò)而成的形狀與工件形狀具有一定的相似性。

(3)在連續(xù)約360個刀位點組成的環(huán)形軌跡上，Z坐標(biāo)變化量主要取決于使用螺旋線導(dǎo)動法生成刀位軌跡時的螺旋線節(jié)距。為了提高加工精度，螺旋線節(jié)距取值很小，可認(rèn)為這些刀位點近似處于一個平行于XOY的平面內(nèi)。在加工過程中，隨著刀具緩慢提升，工件被由下到上切削，刀具自下而上抬升與工件被自下而上切削具有對應(yīng)性。

鑒于以上3個特點，將刀心點法向量作為刀具半徑補(bǔ)償方向成為一種可行的補(bǔ)償方式。實際上，凡是用截平面法和螺旋線導(dǎo)動法生成的刀位軌跡均具有以上3個特點，因此可以采用刀心點法向量作為半徑補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方式。

2.2 刀心點法向量的求解

本文中刀心點法向量采用擬合平面的方式求解，即在由刀心點及其周圍鄰域內(nèi)若干點組成的平面內(nèi)近似求解刀心點法向量。一個平面有兩個方向相反的法向量，采用擬合平面的方式求得的法向量方向難以預(yù)測，因此需對求得的刀心點法向量進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整，以使所有刀心點法向量具有統(tǒng)一的指向，具體步驟如下：

(1)擬合平面求刀心點法向量

工件坐標(biāo)系下的刀位軌跡由大量獨立點構(gòu)成，單個點不存在法向量的概念，必須在面的概念下求法向量。為了盡可能讓每個刀心點反映出工件的局部幾何信息，在刀心點的鄰域內(nèi)選擇k-1個與其距離最近的刀位點，這k-1個鄰近點加上刀心點共k個點構(gòu)成了當(dāng)前局部曲面的組成要素。采用平面對所得的k個點進(jìn)行擬合，將擬合平面的法向量作為所求的刀心點法向量。利用最小二乘法進(jìn)行平面擬合，求當(dāng)前k鄰域的質(zhì)心點

(1)

構(gòu)造矩陣

(2)

求矩陣A的特征值和特征向量，A的最小特征值對應(yīng)的特征向量即為所求點的法向量。為便于后續(xù)運算，所有法向量均轉(zhuǎn)化為單位向量。

(2)法向量方向一致性的調(diào)整

(3)

該調(diào)整方法需有初始參考向量，否則第一個刀心點法向量方向無調(diào)整依據(jù)。結(jié)合刀心點的包絡(luò)形狀和鞋楦底部形狀，初始刀心點外法向量與Z軸近似平行，方向為Z軸負(fù)方向。因此設(shè)定初始參考向量為(0,0,-1)，以此為依據(jù)對初始刀心點法向量方向進(jìn)行調(diào)整。

利用擬合平面求得的法向量本身存在偏差，經(jīng)過法向量方向一致性調(diào)整后，可能出現(xiàn)相鄰刀心點法向量方向偏差較大的情況。因此不僅要對所求得的法向量方向進(jìn)行一致性調(diào)整，還要對偏差較大的法向量進(jìn)行修正，以實現(xiàn)全局法向量的光滑過渡。

3 法向量光順方法

3.1 異常法向量的剔除

本文將異常法向量分為兩種情況：①法向量在XOY平面內(nèi)的投影不垂直于當(dāng)前切平面；②法向量在Z方向的投影與附近刀心點法向量的偏差較大，找出異常法向量后對其進(jìn)行置零。

(1)異常情況1

對圖7中法向量在XOY平面內(nèi)投影不垂直于當(dāng)前切平面的情況進(jìn)行處理。理論上某一點的法向量應(yīng)和切平面垂直，即垂直于切平面內(nèi)的任意一條直線。利用擬合平面的方式求法向量時，曲率較大處的刀位點信息可能會被其鄰域點嚴(yán)重稀釋，出現(xiàn)所求法向量與切平面不垂直的情形。當(dāng)前刀位點的準(zhǔn)確切平面未知，為了盡可能準(zhǔn)確反映當(dāng)前刀位點的切平面信息，將前一個刀心點和后一個刀心點之間的連線作為切平面內(nèi)的一條直線，設(shè)前一個刀心點坐標(biāo)為Pi-1(xi-1,yi-1,zi-1)，后一個刀心點坐標(biāo)為Pi+1(xi+1,yi+1,zi+1)，則有

τ=Pi+1-Pi-1。

(4)

用τ表示當(dāng)前刀心點Pi切平面內(nèi)的一條直線，并轉(zhuǎn)化為單位向量。設(shè)經(jīng)過初步調(diào)整后刀心點Pi的法向量為ni，令

mult=|ni·τ|,

(5)

法向量與切平面垂直，理論上mult=0。設(shè)定mult的閾值為t，t為略大于0的正值，且根據(jù)需要進(jìn)行相應(yīng)修改。當(dāng)mult>t時，將當(dāng)前刀心點法向量置零，等待下一步處理。

(2)異常情況2

對圖8中法向量在Z方向的投影與附近刀心點法向量偏差較大的情況進(jìn)行處理。約360個刀心點能夠形成一個環(huán)形，以360個刀心點為一組進(jìn)行逐次查找。求這360個刀心點法向量的平均值得到平均法向量

(6)

(7)

設(shè)定Δz的閾值q(0t時，將當(dāng)前刀心點法向量置零，等待下一步處理。

3.2 異常法向量的修正

3.1節(jié)中對異常法向量進(jìn)行了置零操作，下面對其進(jìn)行修正。假設(shè)第i個刀心點法向量ni異常且被置零，首先逐個向前查找第一個不為零的法向量ni-j，j為當(dāng)前刀心點與其向前第一個法向量不為零的刀心點的序號差；其次逐個向后查找其后第一個不為零的法向量ni+k，k為當(dāng)前刀心點與其向后第一個法向量不為零的刀心點的序號差。對ni-j和ni+k間連續(xù)j+k-1個零向量進(jìn)行線性插值得到修正后的法向量nic，

(8)

圖6中的法向量經(jīng)修正后得到的最終刀心點法向量如圖9所示，圖中相鄰刀心點法向量偏差明顯減小，基本實現(xiàn)了平滑過渡。以360個刀心點為一組逐次調(diào)整，最終得到的全局法向量如圖10所示，所有法向量基本實現(xiàn)了平滑過渡。

3.3 補(bǔ)償后刀心點的求解

3.2節(jié)中對異常法向量進(jìn)行了修正，修正后的每個刀心點的法向量為nic，則對應(yīng)的刀心點補(bǔ)償向量nci=-nic，假設(shè)補(bǔ)償量為Δr，則刀心點Pi經(jīng)過補(bǔ)償后的位置

(9)

求出經(jīng)過補(bǔ)償?shù)牡缎狞c位置后即可對數(shù)控程序進(jìn)行處理。輸入原數(shù)控程序，部分?jǐn)?shù)控程序如圖11所示。采用第3章的方法求對應(yīng)刀心點的法向量，圖11數(shù)控程序中刀位點對應(yīng)的法向量如圖12所示。法向量的反向量為對應(yīng)刀心點的補(bǔ)償方向，求得新的刀位點經(jīng)運動學(xué)逆變換后得到的新的數(shù)控程序如圖13所示。

4 仿真驗證

為了驗證算法的有效性，采用Vericut軟件進(jìn)行仿真。仿真條件為：原刀具尺寸大徑為90 mm，小徑為28 mm，實際磨損量為0.8 mm。

(1)法向量光順前的仿真

計算每個刀心點的法向量，并將其統(tǒng)一調(diào)整為指向包絡(luò)面外側(cè)，調(diào)整后的刀心點法向量作為對應(yīng)刀心點刀具半徑補(bǔ)償?shù)姆较颉υ撗a(bǔ)償方法進(jìn)行仿真，得到的仿真結(jié)果如圖14所示。從圖中可以看到，鞋楦中部和尾部區(qū)域出現(xiàn)了凹坑和凸起，加工表面比較粗糙，原因是此處區(qū)域內(nèi)相鄰刀心點法向量的偏差較大，未實現(xiàn)平滑過渡。利用“自動比較”功能與標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行對比，觀察工件表面的過切和欠切情況，對比結(jié)果如圖15所示，對應(yīng)的顏色公差帶示意圖如圖16所示。從對比結(jié)果可見，大部分區(qū)域的補(bǔ)償效果較好，誤差在0.01 mm以下。圖中的區(qū)域1與區(qū)域2誤差較大，分別在0.2 mm和0.5 mm以上，補(bǔ)償不均勻，局部區(qū)域出現(xiàn)誤差過大的現(xiàn)象。

(2)法向量光順后的仿真

對經(jīng)過方向一致性調(diào)整后的法向量進(jìn)行光順處理，實現(xiàn)全局法向量的平滑過渡。將經(jīng)過光順調(diào)整后的法向量作為對應(yīng)刀心點半徑補(bǔ)償?shù)姆较?，采用磨損刀具進(jìn)行仿真，并利用“自動比較”功能與標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行比較，得到圖17所示的結(jié)果，對應(yīng)的顏色公差帶如圖16所示。

圖16和圖17顯示，鞋楦表面大部分誤差位于0.01 mm以下，只有小部分區(qū)域誤差介于0.01 mm ～0.05 mm之間。整個鞋楦表面誤差分布較均勻，鞋楦頭部、中部、尾部都得到了很好的補(bǔ)償，表面光滑。補(bǔ)償均勻的原因在于法向量經(jīng)過光順后實現(xiàn)了平滑過渡，能夠保證補(bǔ)償后的刀心點實現(xiàn)平滑過渡。仿真結(jié)果表明了對以刀心點法向量為半徑補(bǔ)償方向的改進(jìn)算法的有效性。

5 結(jié)束語

本文以鞋楦五軸數(shù)控加工中的刀具半徑補(bǔ)償為主要研究內(nèi)容，針對將刀心點法向量作為半徑補(bǔ)償方向時求出的法向量方向局部可能發(fā)生突變的問題，提出一種全局法向量光順方法。將經(jīng)過方向一致性調(diào)整后所得法向量中的異常法向量置零，然后對置零法向量采用線性插值的方式實現(xiàn)所有相鄰刀心點法向量的平滑過渡。經(jīng)仿真驗證，將光順后的法向量作為半徑補(bǔ)償方向加工得到的工件表面光滑性更好，補(bǔ)償更加均勻。

將刀心點法向量作為刀具半徑補(bǔ)償方向的補(bǔ)償方法適用于利用截平面法和螺旋線導(dǎo)動法生成的刀位軌跡，同樣本文提出的法向量光順方法除了適用于鞋楦加工，也適用于其他利用截平面法和螺旋線導(dǎo)動法生成的刀位軌跡。

本文提出的刀具半徑補(bǔ)償方法能夠有效減小加工誤差，但并不能完全消除誤差，如何對補(bǔ)償后的誤差進(jìn)行量化估計并逐步調(diào)整補(bǔ)償方式，以進(jìn)一步減小加工誤差，值得繼續(xù)深入研究。