陜振沛 寧寶權(quán)

（1六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州 六盤水 553001；2六盤水師范學(xué)院經(jīng)濟與管理學(xué)院；貴州 六盤水 553001）

區(qū)間數(shù)多屬性決策問題在社會、經(jīng)濟等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，一直是決策理論與方法研究的熱點。近年來，對于區(qū)間數(shù)多屬性決策問題的研究取得了豐碩的成果。陳偉等[1]采用誤差傳遞和聯(lián)系數(shù)對動態(tài)區(qū)間型多屬性決策問題展開研究。汪倫焰等[2]基于聯(lián)系數(shù)理論提出了屬性權(quán)重完全未知的區(qū)間型多屬性決策方法。許立波等[3]針對屬性值和權(quán)重都用區(qū)間表示的多屬性決策問題，結(jié)合后悔理論和證據(jù)理論提出新的決策方法。蘇麗敏等[4]根據(jù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)解決權(quán)重完全未知的區(qū)間數(shù)多屬性決策問題。王麗萍等[5]對傳統(tǒng)區(qū)間數(shù)灰靶決策模型進行改進提出了基于多維關(guān)聯(lián)抽樣的區(qū)間數(shù)灰靶決策模型。錢吳永等[6]基于改進向量相似度的方法，構(gòu)建一種屬性權(quán)重和時間權(quán)重未知兼顧決策信息和決策偏好的動態(tài)多指標(biāo)決策模型。潘顯兵[7]建立了區(qū)間數(shù)型多屬性決策正交投影模型。周全等[8]提出了基于概率分布的區(qū)間數(shù)多指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)模型。常志朋等[9]提出了一種利用馬田系統(tǒng)處理區(qū)間數(shù)決策向量信息、利用TOPSIS法對區(qū)間數(shù)決策向量進行排序的方法。靳留乾等[10]提出了基于證據(jù)推理和前景理論的區(qū)間多屬性決策方法。郭凱紅等[11]利用可能度矩陣方法展開研究。從這些文獻中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前，關(guān)于區(qū)間多屬性決策方法的研究主要有結(jié)合證據(jù)理論和投影方法、基于聯(lián)系數(shù)理論、TOPSIS方法與灰色關(guān)聯(lián)分析等方法開展研究。然而，針對屬性權(quán)重完全未知，決策者對方案帶有主客觀偏好關(guān)系的這類區(qū)間數(shù)多屬性決策問題的研究并不常見?；诖?，本文提出一種新的具有方案偏好權(quán)重完全未知的區(qū)間多屬性決策方法，并將該決策方法應(yīng)用在房產(chǎn)投資決策案例來驗證其可行性和有效性。

1 預(yù)備知識

1.1 區(qū)間數(shù)及代數(shù)運算

定義1[12]：設(shè)R為實數(shù)域，稱閉區(qū)間為區(qū)間數(shù)，xL和xR分別表示區(qū)間數(shù)的左端點和右端點，xL,xR∈R,且xL

如何度量區(qū)間數(shù)間的距離是區(qū)間數(shù)多屬性決策研究的一個重要問題。目前，區(qū)間數(shù)間的距離度量公式有很多種形式，下面給出區(qū)間數(shù)距離公式中最常見的區(qū)間數(shù)漢明距離和歐氏距離公式。

1.2 相對熵

根據(jù)信息論理論可知，對于兩個系統(tǒng)M和N，它們的狀態(tài)間的差別程度可用Kullback-Leibler距離來度量[13]，其計算公式為：

式中，D的值越小，表示系統(tǒng)M和N間的狀態(tài)差別程度就越小，D稱為系統(tǒng)M和N的相對熵。

相對熵又被稱為KL散度，它是用來衡量兩個函數(shù)或概率分布之間的差異性，差異越大說明相對熵越大，差異越小則相對熵越小。特別地，若這兩個系統(tǒng)為同一個系統(tǒng)或是等同的，則它們的相對熵為零。尤為要注意的是，KL散度它是非對稱性的。

2 決策理論與方法

2.1 問題描述

設(shè)A= {A1,A2,… ,Am}為m個備選方案的集合（m≥2），其中，Ai表示第i個備選方案；C= {C1,C2,… ,Cn}為n個指標(biāo)屬性的集合（n≥2），其中，C j表示第j個屬性；w= (w1,w2,… ,wn)T為決策屬性的權(quán)重向量，其中，w j表示屬性C j的權(quán)重，滿足j= 1,2,… ,n。這里，決策屬性C j的權(quán)重w j不能完全確定，但有j= 1,2,…,n。設(shè)備選方案Ai在決策屬性C j下的屬性 值 為 區(qū) 間 數(shù)j= 1,2,…,n），決策者分別給出m個方案在n個指標(biāo)下的屬性值，則區(qū)間數(shù)決策矩陣X記為

假設(shè)決策者對方案Ai有一定的主觀偏好，αi表示在第j個屬性下決策者對第i個方案Ai的主觀偏好，這里，主觀偏好以區(qū)間數(shù)的形式給出，

2.2 決策方法與步驟

針對決策矩陣為區(qū)間數(shù)的情形，結(jié)合相對熵與灰色關(guān)聯(lián)分析原理和思想，下面給出具體決策步驟：

步驟1：對區(qū)間數(shù)決策矩陣X=(xij)m（×ni=1,2,…,m，j= 1,2,… ,n）進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間數(shù)決策矩陣

對效益型屬性，標(biāo)準(zhǔn)化公式為

對成本型屬性，標(biāo)準(zhǔn)化公式為

因為在決策過程中，存在著各種不確定的因素以及各式條件的限制，決策者的主觀偏好與客觀偏好實際上是存在著一定偏差的。為了消除這些偏差對決策結(jié)果帶來的影響，進而使決策過程和結(jié)果具有科學(xué)性、客觀性和合理性，屬性權(quán)重w（jj= 1,2,… ,n）的選取應(yīng)當(dāng)使決策者的主觀偏好與客觀偏好的總偏差最小。又因為每個評選方案是公平參與競爭，它們之間不存在任何的偏好關(guān)系，因此可建立下列單目標(biāo)優(yōu)化模型：

式中，i= 1,2,… ,m，j=1,2,…,n。

為了求解式（7）的最優(yōu)化模型，可構(gòu)造Lagrange函數(shù)

對式（8）求偏導(dǎo)數(shù)，并令

求解方程組（9），可得到屬性權(quán)重的最優(yōu)解

步驟3：計算每個備選方案的客觀偏好對主觀偏好的相對熵和灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)[14]，其計算公式如下：

步驟4：計算每個備選方案的客觀偏好對主觀偏好的合成關(guān)聯(lián)度。合成關(guān)聯(lián)度的計算公式如下：

式中，β1和β2表示決策者的偏好程度，且β1+β2=1，β1,β2∈ [ 0,1]，β1、β2的取值由決策者根據(jù)自身的偏好程度來確定。分別表示加權(quán)相對熵和灰色關(guān)聯(lián)度，合成關(guān)聯(lián)度γi反映了方案A（ii= 1,2,… ,m）對所有屬性的客觀偏好與主觀偏好之間的總相似度。

根據(jù)各個方案合成關(guān)聯(lián)度γ（ii= 1,2,… ,m）數(shù)值的大小，對備選方案排序并進行優(yōu)選，γi的值越大，則決策者對方案的客觀偏好對主觀偏好就越接近，其偏差也就越小，該方案也就越優(yōu)，最大者為最優(yōu)。反之，γi數(shù)值越小則對應(yīng)的方案也就越差。

3 算例分析

下面通過房產(chǎn)投資決策案例來對文中所提的方法展開驗證。假設(shè)有某小區(qū)要進行房產(chǎn)開發(fā)，有四種投資方案A1、A2、A3和A4可供選擇，現(xiàn)需要從這四種方案中挑選出最佳的投資方案。備選投資方案的決策屬性分別為房屋的面積(C1)、設(shè)施水平(C2)、小區(qū)環(huán)境(C3)、房屋價格(C4)和小區(qū)與工作單位的距離(C5)。其中，C1、C2、C3為效益型指標(biāo)，C4、C5為成本型指標(biāo)。A1、A2、A3和A4這四種投資方案的評價指標(biāo)值如表1所示：

表1 四種投資方案的評價指標(biāo)值

首先利用式（5）和（6）對表1中的原始指標(biāo)值進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，從而得到標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)間數(shù)決策矩陣，結(jié)果見表2：

表2 標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)間數(shù)決策矩陣

通過建立的權(quán)重單目標(biāo)優(yōu)化模型式（7），依據(jù)式（10）可求得決策屬性C1、C2、C3、C4和C4的權(quán)重向量為w= (0.2168,0.4078,0.1762,0.0201,0.1791)T。

因此，可得到A1、A2、A3和A4這四種投資方案加權(quán)規(guī)范化的區(qū)間數(shù)決策矩陣，如表3所示：假設(shè)決策者對A1、A2、A3和A4這四種投資方案的主觀偏好值分別為α1= [0.30,0.70]、α2= [0.20,0.90]、α3= [0.10,0.45]和α4= [0.25,0.55]。根據(jù)式（11）計算各備選投資方案的客觀偏好對主觀偏好的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，所得結(jié)果為

表3 加權(quán)規(guī)范化的區(qū)間數(shù)決策矩陣

利用式（12）、（13）和（14）計算各備選投資方案的客觀偏好對主觀偏好的相對熵，其結(jié)果為

將上述所得的各備選投資方案的客觀偏好對主觀偏好的加權(quán)相對熵、灰色關(guān)聯(lián)度整體代入式（15），這里，假定決策者的偏好程度一致，即β1=β2= 0.5，經(jīng)計算最終求得A1、A2、A3和A4這四種投資方案的合成關(guān)聯(lián)度如下：

因為γ2>γ1>γ4>γ3，所以決策者對于投資方案A2相比另外3種投資方案，其客觀偏好對主觀偏好最接近，它們的偏差也就最小，因此，方案A2為最佳投資方案，方案A1次之。

為了進一步地驗證文中所提算法的有效性，現(xiàn)選取文獻[9][15]所提方法應(yīng)用于文中的算例，將所得結(jié)果與文中方法的結(jié)果作對比分析，對比結(jié)果如表4：

表4 文獻[9][15]所提方法和文中方法的排序結(jié)果比較

通過表4可知，文中方法與文獻[9][15]所提方法的排序結(jié)果均為A2?A1?A4?A3，方案A2為最佳投資方案，因此文中所提算法是可行的和有效的。但是文中方法考慮了主觀偏好對客觀偏好的影響，這是文獻[9][15]中所提方法所不具備的。

4 結(jié)論

本文旨在針對屬性值為區(qū)間數(shù)、權(quán)重信息完全未知且對方案的偏好信息為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題給出一種新的決策方法。一方面，該方法通過對建立的單目標(biāo)優(yōu)化模型求解來得到屬性權(quán)重，另一方面，通過加權(quán)相對熵與灰色關(guān)聯(lián)度結(jié)合得出的合成關(guān)聯(lián)度來對方案排序優(yōu)選。將該方法應(yīng)用在房產(chǎn)投資決策的案例上，并與其他方法做了對比分析，結(jié)果表明本方法是可行的、有效的。