甘奕夫, 李 偉, 趙俊龍

(空軍工程大學信息與導航學院，西安，710077)

當前制導雷達在復雜電磁環(huán)境中工作性能受到嚴重影響，尤其是當敵方目標對制導雷達實施壓制干擾和欺騙干擾時，雷達和干擾間存在二元零和非合作博弈現(xiàn)象。在博弈過程中，不僅制導雷達可自適應優(yōu)化其發(fā)射信號，而且具有電子對抗能力的目標也可實時捕獲和精準干擾。現(xiàn)有相關文獻大多圍繞制導雷達和非智能干擾間對抗展開研究，并未考慮雙方在獲取信息不完全條件下的博弈策略選取。因此，研究不完全信息條件下雷達和干擾間相互博弈如何進行，雷達如何優(yōu)化發(fā)射波形以應對干擾并提升檢測性能是當前極為重要的課題。

在雷達波形設計領域常用優(yōu)化準則有MI、MMSE、SINR等。文獻[1]最早提出利用最大化目標脈沖響應和回波間互信息量(MI)準則和信噪比(SNR)準則在能量約束條件下設計雷達波形。文獻[2]給出了一種MI和MMSE之間的關系，指出在相同功率約束下采用這兩種準則優(yōu)化波形可以得到相同效果。文獻[3]則進一步指出在非高斯噪聲環(huán)境中，基于MI和MMSE準則設計的波形與目標和噪聲特征向量相關。文獻[4]采用最大化雷達接收機端信干噪比(SINR)準則對分布式MIMO雷達發(fā)射信號矩陣進行優(yōu)化，文獻[5]則在此基礎上推導得出SINR的頻域表達式。

近年來，國內(nèi)外學者對雷達和干擾間博弈現(xiàn)象廣泛關注，文獻[6]率先提出基于MI準則的Stackelberg博弈波形設計，文獻[7]研究發(fā)現(xiàn)基于信息理論的MI準則難以應用于非高斯雜波環(huán)境下的雷達波形求解，可采用SINR準則進行雜波條件下波形設計。文獻[8]基于SINR準則研究了多目標條件下的雷達資源分配方法，但未研究制導雷達波形設計，文獻[9]從信息獲取不完全角度出發(fā)，研究了MIMO雷達博弈過程中的天線功率分配，但未考慮雜波影響，且不適用于制導雷達博弈。

針對上述問題，本文從不完全信息條件出發(fā)，對制導雷達和干擾間非合作博弈展開研究，首先在雷達信號發(fā)射-接收模型基礎上，建立雷達和干擾Bayesian博弈模型，依據(jù)文獻[10]提出的海薩尼轉(zhuǎn)換方法，利用概率集合形式表示未知信息，將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為等價的完全信息博弈；而后，采用SINR準則設計博弈優(yōu)化波形，在功率約束條件下，通過注水法分配信號頻域能量，最后通過仿真分析驗證波形效果，提升認知制導雷達對目標的檢測性能。

1 模型構(gòu)建

1.1 雷達信號模型

假設雷達發(fā)射與接收信號分別為x(t)與y(t)，信號帶寬和功率約束為W與PS。目標脈沖響應h(t)為時間Th有限的隨機模型，r(t)為接收濾波器脈沖響應，令H(f)與R(f)分別為h(t)與r(t)的傅里葉變換。噪聲n(t)為零均值高斯信道過程，其功率譜密度PSD為Snn(f)，在W內(nèi)不為零。雜波c(t)為非高斯隨機過程，功率譜密度Scc(f)在W內(nèi)不為常數(shù)。功率約束PJ的干擾機信號為j(t)，其PSD為J(f)。圖1為制導雷達發(fā)射-接收信號模型。

圖1 制導雷達發(fā)射-接收信號模型

如圖1所示，接收濾波器輸出端信號y(t)表達式為：

y(t)=r(t)*(x(t)*h(t)+x(t)*c(t)+

n(t)+j(t))

(1)

式中：“*”為卷積運算。

令ys(t)=r(t)*(x(t)*h(t))和yj(t)=r(t)*(x(t)*c(t)+n(t)+j(t))分別為信號分量與干擾分量。則t0時刻SINR頻域表達式為：

(2)

目標脈沖響應為時間有限隨機模型，可用能量譜方差(ESV)表示[11]：

(3)

式中：μh(f)是H(f)的均值，假設為零。將式(3)代入式(2)，根據(jù)施瓦茲不等式可得:

(4)

(5)

式中：K為頻率采樣數(shù)：Δf為頻率采樣間隔；KΔf=W。

1.2 Bayesian博弈模型

不完全信息博弈是指博弈參與者對于其他參與者的信息(目標類型、行動策略、效益函數(shù)等)不了解或了解的不夠準確，也稱為Bayesian博弈。針對這種情況，HARSANYI[10]提出在博弈中引入一個虛擬的參與者“自然”，通過“自然”賦予每個參與者各類型出現(xiàn)的概率或概率密度函數(shù)，進行博弈，這種方法即稱為“海薩尼轉(zhuǎn)換”，目前已成為處理Bayesian博弈的標準方法。

制導雷達和干擾間不完全信息博弈過程，可分為2個階段：第1階段為自然的行動選擇，根據(jù)參與者類型的空間概率分布選擇目標類型；第2階段為去除自然后其他參與者的完全信息博弈，即雷達和干擾根據(jù)自然選擇的目標概率分布進行動態(tài)博弈。由文獻[10]可知，上述過程體現(xiàn)的是一個二元零和博弈，等價于雙方直接將未知目標可能的概率集合作為目標類型進行完全信息動態(tài)博弈，下面用目標概率集合對目標類型進行表示。

假設雷達方不清楚目標散射特征、干擾方未知雷達接收機端噪聲，但雙方可通過未知變量可能的先驗分布對未知信息進行估計，其余信息雙方已知。下面構(gòu)建雷達與干擾Bayesian博弈模型，以概率集代替目標信息，采用注水法對信號進行優(yōu)化設計。雷達和干擾Bayesian博弈模型可表示為：

G=〈P,T,A,θ,U〉

(6)

參與集：P={雷達,干擾機}表示博弈參與者。

類型集：T=Tr×Tj，其中，Tr={σ1，σ2，…，σI}表示探測目標可能具有的目標散射系數(shù)，Tj={n1，n2，…，nI}表示雷達接收端噪聲功率。在此模型中，雷達接收機的局部噪聲功率水平?jīng)Q定了雷達的類型，目標散射系數(shù)決定了目標的類型。

行動集：A=Ar×Aj，其中，Ar={S(f1)，S(f2)，…，S(fk)}為雷達行動策略，即雷達發(fā)射波形，Aj={J(f1)，J(f2)，…，J(fk)}為干擾機行動策略。

概率集：θ=θr×θj，其中，θr={Pσ1，Pσ2,…，PσI}表示不同類型的目標可能出現(xiàn)的概率集合，θj={Pn1,Pn2,…,PnI}表示雷達接收端不同等級的噪聲概率。

效用集：U={Ur,Uj}，其中，Ur=max{SINR}為雷達效用函數(shù)，目的是最大化雷達發(fā)射波形在接收機端的SINR，Uj=min{SINR}為干擾機行動策略，旨在通過設計干擾信號，降低雷達接收SINR。

1.3 檢測模型

根據(jù)統(tǒng)計判決理論，文章中討論的雷達檢測問題可定性為假設檢驗問題，解決該問題的基本方法為經(jīng)典Neyman-Pearson(NP)定理[13]。根據(jù)NP定理，制導雷達對目標的檢測問題可視為在2種假設中做出選擇的二元假設檢驗問題：

其中：H0為零假設；H1為備選假設。根據(jù)NP準則建立NP檢測器[4]，則制導雷達對目標檢測概率PD為：

(7)

2 信號優(yōu)化策略

2.1 無博弈的單邊優(yōu)化

假設制導雷達可根據(jù)環(huán)境與目標的先驗知識，自適應改變發(fā)射波形[16]。在單邊優(yōu)化過程中，假定干擾方僅在信號頻帶W內(nèi)以有限功率釋放高斯白噪聲干擾。以max{SINR}為雷達效用函數(shù)(簡稱為max策略)，雷達發(fā)射信號優(yōu)化如下：

(8)

式中：PS與PJ為雷達與干擾信號能量限制。由于干擾波形功率譜在頻帶W內(nèi)均勻分布，目標函數(shù)僅取決于|X(fk)|2。由式(8)可知，目標函數(shù)是關于|X(fk)|2的凸函數(shù)，功率約束為線性，因此可用拉格朗日乘子法求解式(8)，得:

L(|X(fk)|2,λ)=

(9)

對式(9) 取|X(fk)|2的導數(shù)并令其為零，得到最大化SINR的|X(fk)|2，利用注水定理重新分配頻域能量:

|X(fk)|2=

(10)

同理，智能干擾機為降低雷達性能，盡可能減少雷達接收機端SINR，假設雷達信號頻譜在帶寬W內(nèi)均勻分布，可根據(jù)min{SINR}效用函數(shù)(min策略)對干擾信號進行設計：

(11)

式(11)中目標函數(shù)為凹函數(shù)，J(fk)的功率約束是線性的，以此求得干擾優(yōu)化波形為:

J(fk)=

(12)

2.2 獲取信息不完全的二次注水優(yōu)化策略

2.2.1 雷達策略

不完全信息條件下，假設雷達可獲得雜波、噪聲等先驗信息，但不能準確估計目標類型，為了實現(xiàn)信號優(yōu)化，需通過前期獲得的先驗知識估計目標類型。假設雷達端已知干擾方依據(jù)min策略對干擾信號進行設計，則雷達估計的干擾信號可表示為：

(13)

構(gòu)建拉格朗日乘數(shù)方程得：

(14)

解得雷達估計的干擾波形為：

Jr(fk)=

(15)

由此可以將雷達信號優(yōu)化策略表示為：

(16)

L(|X(fk)|2,λ2,λ3)=

(Scc(fk)|X(fk)|2+Snn(fk))

(17)

求解上述方程，得到經(jīng)過二次注水法重新分配頻域能量的雷達信號：

(18)

2.2.2 干擾策略

假設干擾機對雷達接收機端噪聲沒有準確信息，但其對我方雷達可能噪聲功率水平有大致了解，因此可采用min策略對干擾信號進行優(yōu)化：

(19)

式中：ni(fk)為干擾機估算的噪聲功率譜；Pni代表ni(fk)為真實值的概率，構(gòu)建拉格朗日乘數(shù)方程得：

(20)

解得干擾波形為：

(21)

最終，不完全信息條件下雷達和干擾之間博弈的信號策略表示為：

(22)

2.3 雷達和干擾迭代注水優(yōu)化策略

假設雷達和干擾雙方雖不清楚對手信息，但能夠捕獲對手波形，進行實時動態(tài)博弈，此時可得Bayesian博弈模型下雷達迭代注水算法，算法流程如表1所示。

表1 Bayesian模型中迭代注水法

依據(jù)式(7)中雷達波形優(yōu)化準則，求解雷達最優(yōu)波形，式(23)表示制導雷達和干擾機在迭代過程中優(yōu)化策略。

(23)

由于目前在雷達領域Bayesian納什均衡還未得到數(shù)學定義[17]，難以通過數(shù)學推導方式驗證Bayesian納什均衡點的存在性，本文直接通過仿真測試迭代注水方法是否收斂，驗證制導雷達與干擾機Bayesian博弈中納什均衡解的存在性。

3 仿真分析

3.1 固定功率性能分析

首先對等功率條件下制導雷達和干擾機不完全信息博弈展開分析，驗證Bayesian模型中迭代注水算法是否收斂。圖2中顯示在不完全信息博弈中雷達接收機端SINR隨迭代過程的收斂情況，可以看出雷達與干擾經(jīng)歷8次迭代后，SINR最終收斂于9.503 dB，證明在制導雷達與干擾Bayesian模型中存在著博弈納什均衡解，通過迭代注水算法可實現(xiàn)雷達不完全信息博弈的最優(yōu)策略。圖3中展示不完全信息博弈中的納什均衡現(xiàn)象。

圖3 Bayesian博弈各策略的SINR收益

圖2 Bayesian博弈中雷達SINR隨迭代周期變化關系

圖4 雷達和干擾在不同子頻帶中頻率分配策略

3.2 變化功率性能分析

下面對不同功率下雷達波形性能展開分析。假設干擾機功率PJ=(10～30)dB，圖5中顯示了二次注水、迭代注水波形在不完全信息博弈過程中雷達功率分配策略隨干擾功率變化情況。

圖5 不同干擾下雷達功率分配策略

由圖5(a)可知，在二次注水法中，隨干擾功率上升，雷達會提高頻帶3、4中的功率分布，降低其余頻帶功率。由雷達對目標特性的估計值可見，頻帶3、4的目標沖激響應最為強烈，同時頻帶4的TCR要高于頻帶3，所以雷達會增加頻帶3、4的功率且頻帶4要高于頻帶3；在其余子頻帶內(nèi)，功率降低順序分別為頻帶1、2、5，這同在該頻帶的估計目標沖激響應值一致，表明在二次注水法中，雷達會依據(jù)所估計的目標特性同干擾進行博弈對抗。

觀察圖5(b)可知，在迭代注水法中，隨干擾功率升高，雷達傾向于提高低TCR頻帶1、2、3中的功率，降低高TCR頻帶4、5的功率。這說明在迭代過程中，雷達更傾向于躲避干擾的影響，而非正面對抗。在雷達估計的目標特性中，頻帶3中目標沖激響應的占比要遠高于實際，僅次于頻帶4，但干擾卻在頻帶3內(nèi)釋放的干擾功率遠低于頻帶4，所以雷達對頻帶3中的功率提升更為明顯。

圖6顯示了Bayesian博弈中雷達對擴展目標的檢測概率，可見在不完全信息條件下通過博弈理論優(yōu)化的雷達波形仍可實現(xiàn)較高的性能提升，雷達對信息估計的準確度會影響提升效果。

圖6 Bayesian博弈中雷達波形對目標檢測概率

對比二次注水法和迭代注水法知，在干擾功率低于雷達時(PJ≤20 dBw)，經(jīng)過動態(tài)博弈的迭代注水波形可進一步提升檢測性能；當干擾功率高于雷達時(PJ>22 dBw)，雖然在博弈過程中雷達迭代注水方法可進一步針對干擾設計優(yōu)化波形，但由于雷達對目標的估計并不等同于實際值，雷達方會對戰(zhàn)場博弈形勢產(chǎn)生一定的誤判[20]，而干擾方卻已知目標信息，導致雷達在博弈中處于下風，對比二次注水法，雷達檢測性能并未提升，反而還有些許的下降。

綜上，基于Bayesian博弈的二次注水及迭代注水波形設計方法可應用于提升不完全信息條件下的雷達目標檢測性能，但對未知信息估計的準確程度極大地影響雷達探測性能。

4 結(jié)語

針對電子戰(zhàn)中我方制導雷達和敵方干擾機不能獲取對手完全信息的問題，本文研究了不完全信息條件下制導雷達與干擾機Bayesian博弈模型，利用目標可能出現(xiàn)的概率集合對未知目標進行表示，并以此為基礎，將二次注水法及迭代注水法應用于Bayesian博弈模型。仿真表明所設計的波形優(yōu)化算法在Bayesian博弈中具有收斂性，能夠達到納什均衡，對比線性調(diào)頻信號，迭代注水信號及二次注水信號檢測概率最高可分別提升15.41%，12.79%。證明了所設計波形優(yōu)化方法在制導雷達與干擾不完全信息博弈中的可行性。