何立國, 許聰儒, 皇甫瑩

(沈陽工業(yè)大學(xué), 理學(xué)院, 沈陽 110870)

0 引 言

一個(gè)自然數(shù)n如果不能被任意素?cái)?shù)的平方整除,則稱n是平方自由的,否則稱之為非平方自由的。文獻(xiàn)[1]研究了不可約特征標(biāo)次都是平方自由的有限群G,證明了在G是不可解群時(shí),若不計(jì)可解直因子,G同構(gòu)于A7;在G是可解群時(shí),G的導(dǎo)長和冪零長分別至多為4和3。文獻(xiàn)[2]研究了關(guān)于共軛類長的類似結(jié)果,證明了若G的每個(gè)共軛類長都是平方自由的,則G是超可解的,且導(dǎo)長與冪零長分別至多為3和2。實(shí)際上在文獻(xiàn)[1-2]中還提供了更加豐富的群結(jié)構(gòu)信息。這種關(guān)于群的共軛長與不可約特征標(biāo)次數(shù)之間出現(xiàn)對偶結(jié)果的現(xiàn)象引起了很多群論學(xué)者的興趣[3-10],同時(shí)也引起了一個(gè)新問題:如將對群的關(guān)于特征標(biāo)次數(shù)或共軛類長的約束條件替換為關(guān)于元階的約束條件,即當(dāng)群G的元素階都是平方自由的情況下,G有什么樣的結(jié)構(gòu)呢? 本文證明了交錯(cuò)群An(n≥6),所有26個(gè)散在單群以及Tit單群中都是元素階自由的。利用有限單群分類定理,進(jìn)一步證明了若有限群G的每個(gè)子群與因子群均不同構(gòu)于一個(gè)李型單群,則G是個(gè)可解群。此處視A5為一個(gè)李型單群, 這是因?yàn)锳5?PSL2(4)?PSL2(5)。易見,群G是元階平方自由的當(dāng)且僅當(dāng)G的方次數(shù)exp(G)是平方自由的。本文用N:H表示一個(gè)H作用在N的半直積,若G=N:H,則表示N是G的正規(guī)子群,G=NH且N∩H=1。

除非特別說明,本文的概念和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的[11]。

1 引 理

引理1 如果G是元素階平方自由的,則G的子群及因子群也是元素階平方自由的。

引理2 交錯(cuò)群An(n≥6)不是元階平方自由的,但A5是元階平方自由的。

證明 交錯(cuò)群An(n≥6)包含一個(gè)元(1,2,3,4)(5,6),它的階是4。應(yīng)用GAP[4],可計(jì)算出A5的元階集{1,2,3,5},故其是元階平方自由的。

引理3 散在單群和Tit群2F4(2)′不是元階自由的。

證明 通過逐一查文獻(xiàn)[12]中的特征標(biāo)表,可得26個(gè)散在單群中每一個(gè)均不是元階自由的。 Tit群2F4(2)′包含階是4的元,故也不是元階平方自由的。證畢。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)P是一個(gè)階為pn的非交換群且exp(G)=p。那么G中存在k個(gè)元素x1,x2…,xk滿足P=(…((Z(P)×〈xk〉):〈xk-1〉):…〈x2〉):〈x1〉,此處Z(P)表示P的中心且|P| =|Z(G)|p^k|。

注意到即使在階較小并且方次數(shù)exp(P)=p的情況下,一個(gè)p-群P也不一定是交換群。例如,利用GAP[13],可計(jì)算出階為27的超特殊3-群剛好有2個(gè),它們是 (C3×C3):C3和C9:C3。前一群的方次數(shù)是3,后一群的方次數(shù)是9。

定理2 設(shè)G是可解群且為階平方自由的,那么G=(…(Pn:Pn-1):Pn-2):…P2):P1,滿足任一Pi均為G的素?cái)?shù)階子群,1≤i≤n。

定理3 設(shè)G是元階自由的且其子群和因子群均不同構(gòu)于李型單群,則G是可解群。

證明 當(dāng)G是交換群時(shí),結(jié)果顯然。如果G是非交換群,利用有限單群分類定理和引理2和3,可得G不是一個(gè)單群(此處將A5視作一個(gè)李型單群,這是因?yàn)锳5?PSL2(4)?PSL2(5))?？梢栽O(shè)N是G的一個(gè)非平凡正規(guī)子群,則由引理1得N和G/N均是元階自由的。又因N和G/N的子群和因子群也是G的子群和因子群,所以也不同構(gòu)于任一李型單群,由歸納法可得N和G/N是可解群,進(jìn)而G是可解群。證畢。

定理4 非交換單群PSL2(pf),q=pf>3,當(dāng)p=2,f≥3;或p>2,f≥2;或f=1,p>5,p-1和p+1之一能被8或r2整除(r是奇素?cái)?shù))時(shí),包含非平方自由元素。當(dāng)f=1,p>5并且p-1和p+1均為平方自由數(shù)時(shí),它是元階平方自由的。當(dāng)f=1,p>5并且p-1和p+1之一有唯一平方因子4但不能被8整除時(shí),它的元階情況不確定。

證明 因?yàn)镻SL2(4)?PSL2(5)?A5和PSL2(9)?A6,所以由引理2可得PSL2(4)和PSL2(5)是元階平方自由的,但PSL2(9)不是元階平方自由的。

因?yàn)?p+1,p-1)=2,故如果4整除p-1時(shí),那么4不整除p+1;反之亦然。因此當(dāng)提及4整除p-1,p+1時(shí),實(shí)際上4至多整除其中之一,不會出現(xiàn)同時(shí)整除的情況。利用GAP[5],可以計(jì)算出PSL2(13)的元階集是{1,2,3,6,7,13}和PSL2(53)的元階集等于{1,2,3,9,13, 26,27,53}?？梢娗耙蝗篜SL2(13)是元階平方自由的,而后者PSL2(53)是非元階平方自由的,它有能被9整除的元階。易見13-1=22*353-1 =22*13均是只含平方因子4的數(shù)。也可得PSL2(11)的元階集是{1,2,3,5,6,11}和PSL2(19)的元階集等于{1,2,3,5,9,10,19}?？梢娗耙蝗篜SL2(11)是元階平方自由的,而后者PSL2(19)是非元階平方自由的,它有9階元。易見 11+1=22*3和19+1=22*5均是只含平方因子4的數(shù)。證畢。

易見階為1，2，3的群都是平方自由的，階為4的群剛好一個(gè)是平方自由的,即C2×C2。

利用GAP可以算出階至多為50的平方自由群共有84個(gè)同構(gòu)類，它的結(jié)構(gòu)及元階集如下:

在下面第一組數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)(5,1),C5,[1, 5]中的(5,1)表示小群 G=SmallGroup(5,1),C5表示StructureDescription(G),[1, 5]表示G的階集。

(5,1),C5,[1, 5];(6,1),S3,[1, 2, 3];(6,2),C6,[1, 2, 3, 6];(7,1),C7,[ 1, 7];(8,5),C2×C2×C2,[1, 2];(9,2),C3×C3,[1, 3];(10,1),D10,[1, 2, 5];

(10,2),C10,[1, 2, 5, 10];(11,1),C11,[1, 11];(12,3),A4,[1, 2, 3];

(12,4),D12,[1, 2, 3, 6];(12,5),C6×C2,[1, 2, 3, 6];(13,1),C13,[1, 13];(14,1),D14,[1, 2, 7];(14,2),C14,[1, 2, 7, 14];(15,1),C15,[1, 3, 5, 15];

(16,14),C2×C2×C2×C2,[1, 2];(17,1),C17,[1, 17];

(18,3),C3×S3,[1, 2, 3, 6];(18,4),(C3×C3) : C2,[1, 2, 3];

(18,5),C6×C3,[1, 2, 3, 6];(19,1),C19,[1, 19];(20,4),D20,[1, 2, 5, 10];

(20,5),C10×C2,[1, 2, 5, 10];(21,1),C7 : C3,[1, 3, 7];(21,2),C21,[1, 3, 7, 21];(22,1),D22,[1, 2, 11];(22,2),C22,[1, 2, 11, 22];(23,1),C23,[1, 23];

(24,13),C2×A4,[1, 2, 3, 6];(24,14),C2×C2×S3,[1, 2, 3, 6];

(24,15),C6×C2×C2,[1, 2, 3, 6];(25,2),C5×C5,[1, 5];(26,1),D26,[1, 2, 13];

(26,2),C26,[1, 2, 13, 26];(27,3),(C3×C3):C3,[1, 3];(27,5),C3×C3×C3,[1, 3];

(28,3),D28,[1, 2, 7, 14];(28,4),C14×C2,[1, 2, 7, 14];(29,1),C29,[1, 29];

(30,1),C5×S3,[1, 2, 3, 5, 10, 15];(30,2),C3×D10,[1, 2, 3, 5, 6, 15];

(30,3),D30,[1, 2, 3, 5, 15];(30,4),C30,[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30];

(31,1),C31,[1, 31];(32,51),C2×C2×C2×C2×C2,[1, 2];(33,1),C33,[1,3,11, 33];

(34,1),D34,[1, 2, 17];(34,2),C34,[1, 2, 17, 34];(35,1),C35,[1, 5, 7, 35];

(36,10),S3×S3,[1, 2, 3, 6];(36,11),C3×A4,[1, 2, 3, 6];

(36,12),C6×S3,[1, 2, 3, 6];(36,13),C2×((C3×C3) : C2),[1, 2, 3, 6];

(36,14),C6×C6,[1, 2, 3, 6];(37,1),C37,[1, 37];(38,1),D38,[1, 2, 19];

(38,2),C38,[1, 2, 19, 38];(39,1),C13 : C3,[1, 3, 13];(39,2),C39,[1, 3, 13, 39];

(40,13),C2×C2×D10,[1, 2, 5, 10];(40,14),C10×C2×C2,[1, 2, 5, 10];

(41,1),C41,[1, 41];(42,1),(C7 : C3) : C2,[1, 2, 3, 6, 7];

(42,2),C2×(C7 : C3),[1, 2, 3, 6, 7, 14];(42,3),C7×S3,[1, 2, 3, 7, 14, 21];

(42,4),C3×D14,[1, 2, 3, 6, 7, 21];(42,5),D42,[1, 2, 3, 7, 21];

(42,6),C42,[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];(43,1),C43,[1, 43];

(44,3),D44,[1, 2, 11, 22];(44,4),C22×C2,[1, 2, 11, 22];

(45,2),C15×C3,[1, 3, 5, 15];(46,1),D46,[1, 2, 23];(46,2),C46,[1, 2, 23, 46];(47,1),C47,[1, 47];(48,49),C2×C2×A4,[1, 2, 3, 6];

(48,50),(C2×C2×C2×C2) : C3,[1, 2, 3];(48,51),C2×C2×C2×S3,[1, 2, 3, 6];

(48,52),C6×C2×C2×C2,[1, 2, 3, 6];(49,2),C7×C7,[1, 7];

(50,3),C5×D10,[1, 2, 5, 10];(50,4),(C5×C5) : C2,[1, 2, 5];

(50,5),C10×C5,[1, 2, 5, 10];

通過分析上面數(shù)據(jù)可得下面結(jié)果:

定理5 設(shè)G階至多為50階的平方自由群,那么G剛好有84個(gè)同構(gòu)類且全可解群,并且剛好有47個(gè)同構(gòu)類是冪零群。

通過進(jìn)一步分析由GAP計(jì)算的數(shù)據(jù)可得2 000階以內(nèi)平方自由群的結(jié)構(gòu),簡述如下:

定理6 設(shè)G階不超過500階的平方自由群,那么G剛好有1 570個(gè)同構(gòu)類, 其中可解群有1 561個(gè)同構(gòu)類,冪零群有527個(gè)同構(gòu)類。

可見500階以內(nèi)的平方自由群中非可解群共有9個(gè)同構(gòu)類,利用GAP可算得它們分別是SmallGroup(60,5),SmallGroup(120,35),SmallGroup(180,19),SmallGroup(240,190), SmallGroup(300,22),SmallGroup(360,121),SmallGroup(360,122),SmallGroup(420,13),SmallGroup(480,1 187)。并且可得它們分別同構(gòu)于A5,C2×A5,GL(2,4),C2×C2×A5,C5×A5,A5×S3,C6×A5,C7×A5,C2×C2×C2×A5。