甘肅

一、問題提出

歷年高考真題和全國各地的競賽試題都是命題專家集體智慧的結晶.筆者發(fā)現,一些競賽題與高考真題之間有著千絲萬縷的聯系,例如,本文中將要探究的這類橢圓有關的問題在近年高考與競賽中多次出現.本文以2020年全國高中數學聯賽福建賽區(qū)預賽第12題為例,對圓錐曲線一類頂點弦問題進行探究與拓展,希望能起到拋磚引玉的作用.

(1)求橢圓C的方程；

二、試題解法

點評:此方法先設出點T的坐標,然后把直線A1T和A2T的方程分別與橢圓的方程聯立,表示出A,B兩點的坐標,再由A,B,F三點共線求得t=8.此法是處理圓錐曲線頂點弦問題的常規(guī)方法.

點評:此法通過巧妙地計算t+4-3(t-4),從而達到化簡后能夠利用韋達定理的目的.

三、試題拓展

經過探究發(fā)現,由題目可以引出橢圓和雙曲線中的一個優(yōu)美結論:

點評:當直線l過橢圓(或雙曲線)的左(或右)焦點時,點T在橢圓(或雙曲線)的左(或右)準線上.

還可以得到命題1和命題2的推論:

如果把拋物線的另一個頂點看做“無窮遠點”,那么過拋物線上的點B和另一個頂點的直線即為過點B平行于拋物線對稱軸的直線,因此有下面的命題3:

命題3:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,直線OA與過點B與x軸平行的直線相交于點T,則T在定直線x=-t上.

點評:當直線l過拋物線的焦點時,點T在拋物線的準線上.

還可以由命題3衍生出兩個推論:

推論1:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,過點B與x軸平行的直線與直線x=-t相交于點T,則直線AT經過點O.

推論2:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,直線OA與直線x=-t相交于點T,則直線BT平行于拋物線的對稱軸.

其中推論2是對人教A版選修2-1中第50頁例5的直接推廣.

以上命題和推論的證明可參照本文題目中第(2)問的解法,限于篇幅不再贅述.

四、真題鏈接

與典例同類型的問題在高考題和競賽題中多次出現:

(1)求E的方程；

(2)證明:直線CD過定點.

(1)設動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡；

(3)設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).

五、教學啟示