安徽

含雙變量x1,x2的不等式求解問題一直是高考數(shù)學的重要考點之一,并且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).試題設計經(jīng)常與函數(shù)、不等式結合起來進行考查,同時注重對轉化與構造、函數(shù)與方程、數(shù)形結合等重要的數(shù)學思想與方法的考查,試題整體難度較大,從而造成學生思維混亂,難以進行深入推理與計算.因此,本文針對這類含雙變量x1,x2的不等式求解問題,將結合實例進行分析,尋求此類問題的解題策略,并提供一些高考數(shù)學的備考建議,以便同行交流與探討.

一、考點類型分析

1.對稱轉化,借助單調(diào)

評注:由g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]化為g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)是一種數(shù)學對稱美的體現(xiàn),遇到類似的條件句朝著對稱的方向轉化.這樣一來,對于任意的x1>x2>0,總有g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)成立,就變成了φ(x1)>φ(x2),這就轉化為函數(shù)φ(x)=g(x)+λf(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,最終轉化為導數(shù)問題.

例2.已知函數(shù)f(x)=-lnx-2x2+1,證明對于任意x1,x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.

評注:含有|f(x1)-f(x2)|的式子解題關鍵是去掉絕對值符號,可以利用單調(diào)性去掉絕對值符號.即對于單調(diào)增函數(shù)f(x),若x1g(x1)在[a,b]上恒成立?g(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,所以g′(x)≥0在[a,b]恒成立.對于含有二元變量x1,x2的函數(shù),可以使變量x1,x2分別位于不等號兩邊,呈現(xiàn)出不等式左右兩邊結構一樣的對稱關系式,便于構造函數(shù)模型解決問題.

2.整體換元,構造函數(shù)

(2)證明:x1x2>e2.

(2)f′(x)=lnx-ax,x1,x2是f(x)的兩個極值點,可知x1,x2分別是方程lnx-ax=0的兩個根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2,設x1>x2,

相加得lnx1+lnx2=a(x1+x2)①,

相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)②,

故所證不等式x1x2>e2成立.

3.關注極值,借助偏移

例5.已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+3(x-1)2有兩個零點,設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

解析:由題意知f′(x)=(x-1)ex+6(x-1)=(x-1)·(ex+6).令f′(x)>0,則x>1,令f′(x)<0,則x<1,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因此函數(shù)的唯一的極值點是x=1.構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+3(x-1)2-(-x)e2-x-3(1-x)2=(x-2)ex+xe2-x.

所以,F(x)=f(x)-f(2-x)在R上單調(diào)遞增.因為F(1)=f(1)-f(2-1)=0,所以當x>1時,f(x)>f(2-x),不妨設x1<1f(2-x2).所以,f(x1)=f(x2)>f(2-x2),即f(x1)>f(2-x2).因為x2>1,則2-x2<1,且x1<1,又因為f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,所以x1<2-x2,即x1+x2<2.

4.等價轉化,構造模型

例6.函數(shù)f(x)=(x-3)ex,對于任意x1,x2∈[1,3]有f(x1)-f(x2)≤a,則實數(shù)a的最小值為________.

解析:令f′(x)=0,解得x=2,因為f(1)=-2e,f(2)=-e2,f(3)=0,所以f(x)min=-e2,f(x)max=0.又因為對于任意x1,x2∈[1,3],有f(x1)-f(x2)≤a,所以f(x)max-f(x)min≤a.因為f(x)max-f(x)min=e2,所以a≥e2,故實數(shù)a的最小值為e2.

評注:|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min?f(x)min-f(x)max≤f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min.對于任意x1,x2∈D,f(x1)-f(x2)≤a?f(x)max-f(x)min≤a;f(x1)-f(x2)≥a?f(x)min-f(x)max≥a.

5.依據(jù)結構,等價轉化

評注:對于任意的x1,x2,不等式|f(x2)-f(x1)|≤m恒成立的意義就是函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)任意兩個函數(shù)值相差都不超過m,即f(x)max-f(x)min≤m；而存在x1,x2能滿足不等式|f(x2)-f(x1)|≥m的意義是函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi),至少存在兩個函數(shù)值相差超過m,即f(x)max-f(x)min≥m.

6.任意存在,注意區(qū)別

例8.已知e為自然對數(shù)的底數(shù),f(x)=xlnx+a,g(x)=x2ex.

評注:若對于任意x1∈D1總存在x2∈D2使得f(x1)=g(x2),實質(zhì)上就是兩個函數(shù)值域的包含關系,故此類問題利用值域可解;當涉及x2的具體個數(shù)時,就不是單純依靠函數(shù)值域就能解決的.如若任意x1∈D1總存在唯一的x2∈D2使得f(x1)=g(x2),函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)取一個與f(x1)相等的函數(shù)值,對應的自變量的值x2是唯一的.從圖形上看,函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,1]上必須是單調(diào)的,且y=f(x1)與函數(shù)g(x)圖象有且僅有一個交點.

二、復習備考建議

1.立足數(shù)學解題通性、通法教學,構建數(shù)學題組訓練

高考數(shù)學試題對于函數(shù)的基本概念、性質(zhì)、原理、法則等的考查由來已久,特別是近幾年新高考制度的不斷改革創(chuàng)新,也使得高考數(shù)學題更加注重學生核心素養(yǎng)的目標達成以及數(shù)學學科的關鍵能力考查.絕對值不等式,對數(shù)平均數(shù)不等式,常用對數(shù)不等式等都有歷史的傳承,盡管高考數(shù)學試題的情境不斷變化,但是考點卻相對固定,解題的通性通法基本上都是將雙變量問題轉化為單變量問題,至于解題策略,教師應教給學生常見的構造法,轉化法,換元法等等,無論哪種方法,最終目的都是實現(xiàn)將雙變量(或多變量)問題進行減元、降次,從而逐步接近目標結構式,最終解決數(shù)學問題.在這一過程中,學生的解題思路打開了,思維也得到真正提升,從而大幅提高學生的邏輯思維水平.

教師在平時的課堂教學中,可以設置形近質(zhì)異的試題組合,對學生進行鞏固訓練,培養(yǎng)學生的思維辨析能力,還可以通過設置變式題組訓練,對學生進行思維發(fā)散與聚合鞏固訓練,真正實現(xiàn)學生思維的有效遷移.

2.開展主題式、微專題式復習教學,形成知識框架體系

主題式復習教學就是系統(tǒng)地整合數(shù)學知識、方法和技能,總體上梳理數(shù)學問題的特征,解題“套路化”,找出思維誤區(qū)、知識盲點,真正實現(xiàn)教學條理化、順序化、結構化.微專題式復習教學就是通過微專題,對數(shù)學某一概念、某一方法、某一考點類型、某一知識點進行系統(tǒng)地深度教學,讓學生真正從概念表層、方法、思路單一、固化走到深度感悟數(shù)學本質(zhì)和規(guī)律的數(shù)學復習教學形式.教師在課堂上,通過學生思維的聯(lián)想與類比,聚合與發(fā)散等,引領學生真正從一看就懂,一做就錯,轉向問題脈絡清晰、透徹,解題思路融會貫通,變式練習達成有效的最終目標,實現(xiàn)學生思維的整體提升與整合,構建學生的自我知識框架體系.

導數(shù)不等式問題,本身就是高考數(shù)學的難點之一,特別是雙變量導數(shù)不等式問題,部分學生認為是“老題陳酒”,早已過時,于是不再關注.正是由于歷史遺留的知識盲點和思維“痛點”沒有真正解決和“根治”,在后期專題復習中,考生“高原綜合征”的現(xiàn)象時有發(fā)生.例如,2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)第21題導數(shù)不等式中恒成立問題,2018年全國卷Ⅰ理科第21題導數(shù)不等式中雙變量問題都是典型的癥狀表現(xiàn),由于很多學生考前過度刷題,不求甚解,造成臨考思維混亂,解法機械套用,無法實現(xiàn)真正解決問題,最后考場敗下陣來.