李玉霞，楊立星

(泰山科技學院，山東 泰安 271038)

1 應用舉例

1.1 線性方程組的應用

例1：投入-產(chǎn)出問題。

某個經(jīng)濟體由農(nóng)業(yè)、礦業(yè)、制造業(yè)三個部門構(gòu)成。已知農(nóng)業(yè)部門將5%的產(chǎn)出銷售給礦業(yè)部門，30%的產(chǎn)出銷售給制造業(yè)部門，農(nóng)業(yè)部門保留余下的產(chǎn)出。礦業(yè)部門將20%的產(chǎn)出銷售給農(nóng)業(yè)部門，70%的產(chǎn)出銷售給制造業(yè)部門，礦業(yè)部門保留余下的產(chǎn)出。制造業(yè)部門將20%的產(chǎn)出銷售給農(nóng)業(yè)部門，30%的產(chǎn)出銷售給礦業(yè)部門，制造業(yè)部門保留余下的產(chǎn)出。分析每個部門總產(chǎn)出，使得每個部門投入產(chǎn)出達到平衡。

部門的產(chǎn)出分配農(nóng)業(yè)礦業(yè)制造業(yè)采購部門0.650.20.2農(nóng)業(yè)0.050.10.3礦業(yè)0.30.70.5制造業(yè)

現(xiàn)假設(shè)農(nóng)業(yè)、礦業(yè)、制造業(yè)三個部門的產(chǎn)出分別為：x1,x2,x3，上述表格中，每一列表示相應部門產(chǎn)出的去向，例如第一列表明農(nóng)業(yè)部門的0.65x1產(chǎn)出自留，0.05x1的產(chǎn)出流向礦業(yè)部門，0.3x1的產(chǎn)出流向制造業(yè)。表格中，每一行表示相應部門需要采購不同部門投入比例，例如第一行表明農(nóng)業(yè)部門需要農(nóng)業(yè)部門投入0.65x1，礦業(yè)部門投入0.2x2，制造業(yè)部門投入0.2x3。要使得農(nóng)業(yè)部門投入產(chǎn)出平衡，有

x1=0.65x1+0.2x2+0.2x3

(1)

同理，要使得礦業(yè)、制造業(yè)部門投入產(chǎn)出平衡，可得：

x2=0.05x1+0.1x2+0.3x3

(2)

x3=0.3x1+0.7x2+0.5x3

(3)

聯(lián)立(1)(2)(3)可構(gòu)成線性方程組

通過移項，可得齊次線性方程組

1.2 矩陣的應用

例2：某企業(yè)一年生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的生產(chǎn)均需用A1,A2兩種原料，完成一年生產(chǎn)任務(wù)需要A1,A2的數(shù)量及原料單位價格、單位質(zhì)量及單位體積如下表所示。

原料數(shù)量/單位甲乙丙單位價格/萬元單位質(zhì)量/噸單位體積/m3A14 0002 0001 5000.60.030.5A23 5001 8001 2000.50.040.6

1.3 特征值與特征向量

首先建立(xn,yn)T的遞推模型，根據(jù)給出的條件可知

化為矩陣形式可得

隨著時間的推移(n→+∞)，

2 結(jié)語

將應用實例引入課堂，有助于學生將數(shù)學基礎(chǔ)知識與專業(yè)知識進行融合，提高主觀能動性。