周新房，許 斌

（中航西安飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，西安 710089）

在飛機(jī)制造中，激光雷達(dá)[1]發(fā)揮著重要作用，工裝安裝、模具和復(fù)合材料檢驗(yàn)、飛機(jī)外形檢測(cè)等均需要在激光雷達(dá)輔助下完成，其精度是影響飛機(jī)制造質(zhì)量的重要因素之一。圖 1為飛機(jī)裝配中激光雷達(dá)某測(cè)量站位測(cè)量示意圖。激光雷達(dá)需要通過反射光確定待測(cè)物體的位置，所以必須保證光路的可達(dá)性，測(cè)量設(shè)備俯仰角、入射角度也必須在一定范圍內(nèi)。在測(cè)量時(shí)，為了滿足以上這些條件，必須將激光雷達(dá)放置到合適位置。此外，由于飛機(jī)產(chǎn)品尺寸較大，飛機(jī)在裝配過程中會(huì)有上百個(gè)測(cè)量點(diǎn)分布在不同部位，所以一個(gè)站位往往難以完成測(cè)量，通常需要進(jìn)行轉(zhuǎn)站?；谝陨显?，在進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)前，必須進(jìn)行測(cè)量規(guī)劃，確定各個(gè)測(cè)量站位的具體位置[2]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于測(cè)量測(cè)量布局規(guī)劃有一定研究。王莉等[3]對(duì)工業(yè)環(huán)境下各類測(cè)量方法進(jìn)行了對(duì)比；許振瑛[4]研究了基于遺傳算法的激光跟蹤儀測(cè)量點(diǎn)數(shù)量及位置確定方法，受限于遺傳算法本身特點(diǎn)，該方法沒有確定的收斂時(shí)間；趙樂樂[5]利用OpenCASCADE軟件的三維可視化功能確定測(cè)點(diǎn)位置可行性；金漲軍[6]建立了測(cè)量場(chǎng)轉(zhuǎn)站誤差傳遞模型并運(yùn)用蒙特卡洛算法對(duì)該過程進(jìn)行了仿真；朱峻可等[7]分析了激光雷達(dá)的布站規(guī)劃和轉(zhuǎn)站方法；張陽(yáng)[8]對(duì)測(cè)量區(qū)域劃分、測(cè)量特征點(diǎn)集路徑規(guī)劃等進(jìn)行了研究，提高了測(cè)量效率；栗輝[9]對(duì)測(cè)量流程進(jìn)行了優(yōu)化，提高了效率。可以看出，目前相關(guān)研究并沒有從原理分析測(cè)量場(chǎng)布局規(guī)劃的核心算法。激光雷達(dá)在工程上使用時(shí)，往往需要能夠快速、較為精確地確定可行的布局規(guī)劃方案。

目前，尚無廣泛使用的激光雷達(dá)測(cè)量布局規(guī)劃軟件，某些激光雷達(dá)廠商開發(fā)了一些適用于特定環(huán)境的激光雷達(dá)布局仿真軟件，但并不開放。本文著重分析激光雷達(dá)布局的理論模型和數(shù)學(xué)建模方法，確定激光雷達(dá)布局的工程可實(shí)現(xiàn)方法，以期設(shè)計(jì)出具有通用性的激光類測(cè)量設(shè)備的布局仿真分析軟件。

1 規(guī)劃約束

激光雷達(dá)在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，受限于自身測(cè)量原理和產(chǎn)品空間位置，需要遵守測(cè)量一些約束條件。站位規(guī)劃的核心問題就是在這些約束條件下確定激光雷達(dá)的站位數(shù)量和位置布局。

1.1 測(cè)量約束

假設(shè)在某項(xiàng)測(cè)量活動(dòng)中，需要測(cè)量的點(diǎn)位是Pi（i=1…N），Pi處產(chǎn)品法向?yàn)镹i，激光雷達(dá)（理論上該位置應(yīng)該為激光雷達(dá)測(cè)頭所在位置，為便于討論，本文不區(qū)分激光雷達(dá)位置和測(cè)頭位置，二者只是一個(gè)偏移關(guān)系）的參考位置為Q。在測(cè)量時(shí)，直線段（） 表示了光路，激光雷達(dá)對(duì)測(cè)量的要求體現(xiàn)在對(duì)該直線段的要求。具體地，測(cè)量時(shí)需要保證以下條件（圖 2）：

滿足以上條件的任何Q都是可以對(duì)Pi進(jìn)行測(cè)量的。激光雷達(dá)布局就是需要找到滿足所有點(diǎn)位要求的位置，當(dāng)然，可能一個(gè)位置無法滿足所有點(diǎn)位的要求，此時(shí)就需要多個(gè)布局點(diǎn)位。

1.2 碰撞檢測(cè)

在幾何約束中，條件距離約束和角度約束是比較容易處理的，而條件干涉約束是比較復(fù)雜的。為了處理碰撞檢測(cè)，首先需要將模型表示為一種通用格式，本文選擇了STL格式[10]。該格式用一系列三角面片表示實(shí)體，每個(gè)面片由3個(gè)點(diǎn)表示，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于處理，且大多數(shù)建模軟件都支持這種格式的導(dǎo)出。這種格式雖然丟失了產(chǎn)品數(shù)模的一些信息（如顏色、材料等），但其外形的幾何尺寸都保留了下來，對(duì)于激光雷達(dá)而言，最重要的就是其外形結(jié)構(gòu)和尺寸，所以選擇STL是完全能夠滿足使用要求的。

因?yàn)樵赟TL格式里，產(chǎn)品是由三角面片表示的，對(duì)STL格式進(jìn)行碰撞檢測(cè)，本質(zhì)就是對(duì)三角面片進(jìn)行碰撞檢測(cè)。所以只需要求出直線段與 三角面片是否碰撞即可。

如圖 3所示，三角面片與直線碰撞就是三角面片與直線相交。三角面片的3個(gè)點(diǎn)S1、S2、S3確定了一個(gè)平面S，平面的法向?yàn)?，假設(shè)直線段和三角面片交于點(diǎn)C，若激光雷達(dá)與三角面片碰撞，則需要滿足以下條件：

（1）C位于之間。

（2）C位于三角形內(nèi)部。

其中，（1）表示與的夾角為鈍角，可以利用以下方法判斷：

圖1 飛機(jī)裝配某站位測(cè)量示意圖Fig.1 Diagram of measurement station in aircraft assembly

圖2 約束示意圖Fig.2 Diagram of constraints

圖3 三角網(wǎng)格與直線段相交Fig.3 Intersects of triangle and line

對(duì)于（2），C位于三角形內(nèi)部即C和三角面片任一頂點(diǎn)位于該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊的同側(cè)。點(diǎn)位于直線的哪一側(cè)，可以利用叉積判斷，如對(duì)S3點(diǎn)的第3個(gè)分量的正負(fù)就表示了其位于的哪一側(cè)。當(dāng)S3與C位于同側(cè)時(shí)，有和的第3個(gè)分量同號(hào)。即：

依次對(duì)三角面片的三個(gè)點(diǎn)和C做同樣的判斷，就可以判斷點(diǎn)C是否位于三角形內(nèi)部。

利用以上原則就可判斷直線與三角面片是否發(fā)生碰撞。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要對(duì)STL格式的每一個(gè)面進(jìn)行判斷。測(cè)量規(guī)劃需要在滿足幾何約束的條件下確定激光雷達(dá)的位置，該位置本質(zhì)是一塊空間區(qū)域，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，對(duì)該區(qū)域進(jìn)行表示是比較困難的，所以一般應(yīng)進(jìn)行簡(jiǎn)化。下文將建立該位置的表示方法。

2 測(cè)量場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

2.1 滿足約束的幾何圖形

假設(shè)待測(cè)量點(diǎn)Pi與其法向Ni已知，以Pi為原點(diǎn)，Ni為中心線，θ為頂角的圓錐曲面記為S1。以Pi為原點(diǎn)，L為半徑生成的球面記為S2。則S1與S2的包絡(luò)體Si是一個(gè)底部為圓錐面，頂部為球面圍成的幾何體（圖 4），在該幾何體內(nèi)任一點(diǎn)都滿足激光雷達(dá)的距離和角度約束，稱為激光雷達(dá)的可放置區(qū)。

如圖 5所示，假設(shè)L=15，θ=25°，則圓錐底面距離球面的長(zhǎng)度為Δ=L–L·cos（θ）≈1.4，該值與L相比較小，所以在粗略計(jì)算時(shí)，可將Si近似為S1（底部封閉，即為空間圓錐體），由于S1∈Si，這樣做相當(dāng)于減少了激光雷達(dá)的可放置區(qū)，使得計(jì)算結(jié)果為可放置區(qū)的子集。

2.2 空間圓錐曲面方程

由上一節(jié)可知，針對(duì)任意一點(diǎn)Pi，激光雷達(dá)的可放置區(qū)為空間圓錐體，本節(jié)將建立該區(qū)域的表示方法。假設(shè)圓錐面半頂角為α，則頂點(diǎn)在原點(diǎn)，中心線沿z軸（設(shè)為N′，且為單位向量）的圓錐曲面方程為：

其中，a= cot（α），zmax表示激光雷達(dá)測(cè)量半徑?，F(xiàn)將圓錐移動(dòng)至如圖 6所示新位置，即頂點(diǎn)移動(dòng)至P，坐標(biāo)為（Px，Py，Pz），中心線變?yōu)镹（m0，n0，p0），則在此新坐標(biāo)系中，為：

其中，N′與N夾角為θ=acos（N′·N），新坐標(biāo)系相當(dāng)于繞著原坐標(biāo)系的ω=N′×N=（–n0，–m0，0）旋轉(zhuǎn)了θ角（并平移了，根據(jù)Rodriguez公式[11]：

其中是ω反對(duì)稱矩陣，即：

根據(jù)坐標(biāo)系變換為：

將上式帶入式（10）可求得空間圓錐面，再加上其底面的平面所形成的包絡(luò)體，就是Pi可放置區(qū)域。

2.3 單點(diǎn)規(guī)劃

圖4 激光雷達(dá)可放置區(qū)Fig.4 Laser radar placement area

圖5 區(qū)域簡(jiǎn)化Fig.5 Simplification of aera

圖6 空間圓錐曲面Fig.6 Spatial conic surface

為了便于激光雷達(dá)的安裝及測(cè)量，一般將激光雷達(dá)直接放置到地面上，其初始放置區(qū)域是一個(gè)在平面上的區(qū)域S0。假設(shè)任意點(diǎn)Pi確定的可測(cè)量包絡(luò)體為Si，Si與S0的相交區(qū)域Mi（Mi必然是連續(xù)區(qū)域）是滿足Pi點(diǎn)的距離約束和角度約束的放置區(qū)域（暫不考慮幾何約束3）。若Si與S0不相交，表示S0區(qū)域無法測(cè)量Pi，需要針對(duì)該點(diǎn)另行規(guī)劃測(cè)量平面（即不在默認(rèn)的平面上）。

由上一節(jié)得到的空間圓錐曲面方程，該方程與S0平面交線為一圓錐曲線：

激光雷達(dá)在平面上的可測(cè)量區(qū)域?yàn)楦鞣N圓錐曲線圍成的區(qū)域Mi，典型形狀如圖 7所示，為針對(duì)單點(diǎn)的激光雷達(dá)可布局區(qū)域。

2.4 多點(diǎn)規(guī)劃

因?yàn)閱吸c(diǎn)的可測(cè)量區(qū)域?yàn)閳A錐曲線圍成的，所以多點(diǎn)的可測(cè)量區(qū)域是由多段圓錐曲線圍成的區(qū)域。設(shè)Ti,j表示Mi（此處以圓形為示例）與Mj相交區(qū)域，Ti,j,k表示Mi、Mj、Mk相交區(qū)域（圖 8），以此類推。

用T*表示所有相交區(qū)域，所以，進(jìn)行站位規(guī)劃就是選取數(shù)量盡可能少的集合{，…}，使其覆蓋所有Mi。如圖 8所示的激光雷達(dá)布局規(guī)劃的結(jié)果就是T1,2,3和T4,5。

所以，正向計(jì)算多個(gè)測(cè)量點(diǎn)位的激光雷達(dá)布局結(jié)果步驟如下：

（1）針對(duì)每個(gè)待測(cè)量點(diǎn)建立空間圓錐曲面； （2）求所有空間圓錐曲面與測(cè)量平面的相交圓錐曲線所圍成的區(qū)域； （3）對(duì)所有區(qū)域計(jì)算相交情況，得到覆蓋所有區(qū)域的最少數(shù)量的交集。

以上計(jì)算過程都是非常復(fù)雜的，特別是計(jì)算多段圓錐曲線的相交結(jié)果，在實(shí)際工程中難以處理。而在實(shí)際工程應(yīng)用中，為滿足現(xiàn)場(chǎng)裝配要求，往往希望快速得到可行的激光雷達(dá)布局方案，所以需要一個(gè)簡(jiǎn)捷快速的方法。雖然正向求解是非常復(fù)雜的，但驗(yàn)證一個(gè)點(diǎn)是否滿足激光雷達(dá)布局結(jié)果卻相對(duì)簡(jiǎn)單，下文將基于這種思路提出一種測(cè)量規(guī)劃方法。

圖7 單點(diǎn)可測(cè)量區(qū)域Fig.7 Measurable area of single point

圖8 相交區(qū)域Fig.8 Intersection area

圖9 網(wǎng)格劃分Fig.9 Division of grid

3 基于網(wǎng)格劃分的測(cè)量規(guī)劃

基于網(wǎng)格劃分的測(cè)量規(guī)劃，不直接求解規(guī)劃點(diǎn)，而是將規(guī)劃平面劃分成網(wǎng)格點(diǎn)，再對(duì)各個(gè)點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，直到滿足所有測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量要求。

3.1 基于網(wǎng)格法的逆向求解

正向求解是困難的，但給定一個(gè)點(diǎn)，對(duì)該點(diǎn)校驗(yàn)是非常容易的。為此將激光跟蹤儀放置平面劃分為網(wǎng)格點(diǎn)（圖 9），針對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行反向校驗(yàn)，驗(yàn)證該點(diǎn)對(duì)任意測(cè)量點(diǎn)是否可用。具體如下：

（1）對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行幾何約束校驗(yàn)，將結(jié)果放入矩陣W，Wi,j定義如下：

（2）計(jì)算W每一行的和，值最大的那一行（＞0）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Pi就是一個(gè)規(guī)劃點(diǎn)。該行和最大，表示網(wǎng)格點(diǎn)Pi能夠滿足較多測(cè)量點(diǎn)需求。

（3）將W中，由（2）計(jì)算的那一行和其該行中所有值為“1”的列刪除。這表示網(wǎng)格點(diǎn)Pi對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)已經(jīng)得到規(guī)劃，只需要考慮余下的點(diǎn)；

（4）返回（2），直到W行和為零。

在計(jì)算過程中，若W行和為零，說明所設(shè)計(jì)的網(wǎng)格點(diǎn)無法滿足這些計(jì)算點(diǎn)的要求，此時(shí)需要重新規(guī)劃網(wǎng)格點(diǎn)。以上計(jì)算過程，本質(zhì)是采用貪心的算法，逐步在網(wǎng)格中查找滿足要求的規(guī)劃點(diǎn)位。

3.2 初始網(wǎng)格劃分

由以上算法可以看出，初始的網(wǎng)格點(diǎn)的選擇十分重要，可以通過以下方法選擇初始網(wǎng)格點(diǎn)。

對(duì)于任意待測(cè)量點(diǎn)P（x0，y0，z0），其法向?yàn)镹i，其可測(cè)量區(qū)域可表示為圖 10，其側(cè)面為圓錐曲面，頂部為圓弧。任取可測(cè)量區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，令r表示P至該點(diǎn)的距離（r＜L），m為單位向量，表示P到該點(diǎn)的方向，且m滿足m·Ni＜ cos（θ）。

則圓錐體內(nèi)任一點(diǎn)的參數(shù)化方程f（x，y，z）：

設(shè)激光雷達(dá)放置平面方程S0：ax+by+cz+d=0，以上點(diǎn)還必須滿足該平面約束。由于m受兩個(gè)方程約束（長(zhǎng)度為1且與Ni夾角小于θ），所以點(diǎn)的參數(shù)化方程只有兩個(gè)自由變量（r和mx或my）。對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行離散掃描，就可以得到激光雷達(dá)在S0上的可放置點(diǎn)，該點(diǎn)已經(jīng)滿足了所有約束。

在掃描時(shí)，可令m為驅(qū)動(dòng)變量。首先令m=Ni，得到可測(cè)量區(qū)域中心點(diǎn)位置。然后令m·Ni= cos（θ）且mx=0，計(jì)算得到my（因?qū)ΨQ性一般為兩個(gè)）和r，由此得到可測(cè)量區(qū)域的兩個(gè)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的，再令my=0，可再得到兩個(gè)點(diǎn)。實(shí)際上，該過程類似于手電筒將光照射到了墻上（圖 11）。計(jì)算得到的5個(gè)點(diǎn)分別位于投影的中心和四周，可依次對(duì)初始網(wǎng)格進(jìn)行劃分。值得注意的是，根據(jù)2.3節(jié)的理論分析，投影可能不是橢圓，但投影點(diǎn)依然位于邊界上。

對(duì)所有點(diǎn)進(jìn)行相同的離散掃描，就可以得到所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)的初始值。再對(duì)這些初始點(diǎn)進(jìn)行綜合并做以上的逆向求解，就可以確定最終激光雷達(dá)的布局。

圖10 圓錐曲面示意圖Fig.10 Conical surface

圖11 可測(cè)量區(qū)域的投影Fig.11 Projection of measurable area

圖12 測(cè)量試驗(yàn)Fig.12 Measurement experiment

4 測(cè)量規(guī)劃試驗(yàn)

為驗(yàn)證以上設(shè)計(jì)的可行性，設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)。如圖12所示，某曲面上有4個(gè)點(diǎn)需要測(cè)量，曲面前面有一個(gè)可能遮擋的平面。此處為簡(jiǎn)化起見，將平面劃分為兩個(gè)三角面片。需要測(cè)量4個(gè)測(cè)量點(diǎn)與三角形面片數(shù)據(jù)如表 1和表 2所示。同時(shí)將規(guī)劃平面劃分為網(wǎng)格，取部分網(wǎng)格點(diǎn)如表 3所示（受限于篇幅，本文沒有采用3.2節(jié)的方法進(jìn)行初始網(wǎng)格點(diǎn)的選?。?。

假設(shè)激光雷達(dá)距離限制L=15000mm，角度限制θ=80°，對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)Q1，其計(jì)算結(jié)果如表 4所示。

表1 曲面上需要測(cè)量的點(diǎn)的坐標(biāo)及法向Table 1 Coordinates and normal direction of points to be measured on curved surface mm

表2 面片點(diǎn)坐標(biāo)Table 2 Point coordinates of patched surface mm

表3 網(wǎng)格點(diǎn)Table 3 Points of grid mm

可見對(duì)于Q1而言，無法滿足P4的測(cè)量要求，在后續(xù)遍歷中可發(fā)現(xiàn)，Q4滿足P4的測(cè)量要求，所以這種情況下，激光雷達(dá)的站位布局為點(diǎn)Q1、Q4。

5 結(jié)論

在飛機(jī)裝配的測(cè)量活動(dòng)中，往往有大量數(shù)據(jù)需要測(cè)量，所以必須在測(cè)量前規(guī)劃好測(cè)量設(shè)備的位置，以便在盡可能少的工位里以高效率、低誤差完成測(cè)量。本文基于幾何方法，通過空間圓錐曲面圍城的包絡(luò)體表示激光雷達(dá)布局區(qū)域，以圖形集合的手段求解單點(diǎn)/多點(diǎn)規(guī)劃結(jié)果，從理論角度探討了激光雷達(dá)布局方法。但受限于求解的復(fù)雜性，又提出了基于網(wǎng)格劃分的反解法，該方法計(jì)算過程易于工程實(shí)現(xiàn)。相關(guān)研究?jī)?nèi)容也可應(yīng)用于其他類似的測(cè)量設(shè)備的布局規(guī)劃。

表4 計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation results