曾 勇
(重慶工商大學 重慶 400067)
高等數(shù)學(微積分)課程的核心包括微分學、積分學、級數(shù)等內(nèi)容。這些內(nèi)容都是在“極限”這一重要概念的基礎(chǔ)上建立起來的,所以“極限”在高等數(shù)學教學中起著至關(guān)重要的作用。本科階段高等數(shù)學極限部分的教學內(nèi)容主要由極限的概念和極限的計算兩部分組成。在教學過程中,它們各有側(cè)重。結(jié)合教學經(jīng)驗,本文主要探討極限計算中等價無窮小替換的教學。
為了更好地掌握等價無窮小的概念和應用,教學過程中應引導學生熟記常見的等價無窮小。例如,當時,我們有如下常見等價無窮小[1]:
上述等價無窮小是最基本的等價無窮小,在實際應用中,往往需要對上述等價無窮小作適當?shù)淖冃?。以x~sinx,x→0為例,粗糙地講,它是說一個無窮小x2和它本身的正弦sinx2等價。由此,我們可以得出:x→0時,無窮小x2和它的正弦sinx2等價;x→1時,無窮小x-1和它的正弦sin(x-1)等價。
我們有如下等價無窮小替換定理:
解:注意到當x→1時,
lnx=ln(1+x-1)~x-1,arcsin(x-1)~x-1,
雖然一般而言,我們不能替換加減法中的某些因子,但對一些特殊情況,我們?nèi)杂腥缦陆Y(jié)論:
等價無窮小替換是極限計算中的重要方法。通過具體例題的講解有助于學生厘清該方法應用中的各個要點,對正確使用該方法有重要作用。