任 麗,呂 文

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

自PARDOUX和PENG[1]首次引入非線性倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱BSDE)后,BSDE理論方面得到迅猛發(fā)展[2-3]。受LASRY和LIONS[4]的啟發(fā),BUCKDAHN等[5]引入了平均場(chǎng)BSDE理論并成功應(yīng)用于金融經(jīng)濟(jì)、隨機(jī)博弈以及控制等各個(gè)領(lǐng)域, 參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8]。

2009年, PENG和YANG[9]引入一種超前BSDE, 其中將混合測(cè)度與BSDE 結(jié)合,建立了BSDEs 與超前BSDEs之間的對(duì)偶關(guān)系,為以后研究隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制的最大值原理提供了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上, LIU和 REN[10]研究了具有以下形式的由時(shí)間變化的Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的BSDE:

dYt=-f(t,λt,Yt,Zt,Yt+ut,Yt+utdt+

Zt(x)μ(dt,dx),t∈[0,T],

(1)

其中:μ是由在[0,T]×{0}上的條件布朗測(cè)度B和在[0,T]×0上的中心雙隨機(jī)泊松測(cè)度混合測(cè)度,系數(shù)f不僅包含解的當(dāng)前值, 而且包含解的未來(lái)值。

此外, LU和REN[11]研究了如下形式的馬爾科夫鏈驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)BSDE,證明了在Lipschitz 條件下平均場(chǎng)BSDE解的存在唯一性。

(2)

其中:(Y′,Z′)是(Y,Z)的復(fù)制。

受以上工作啟發(fā), 本文研究具有以下形式的時(shí)變的 Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的BSDE:

(3)

本文討論方程(3)解的存在唯一性定理和比較定理。

首先,給出本文中用到的符號(hào)和基本假設(shè)。第2小節(jié)將給出時(shí)變的 Lévy 噪聲驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)BSDE方程解的存在唯一性定理, 最后給出方程解的一個(gè)比較定理。

1 預(yù)備知識(shí)和基本假設(shè)

設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備概率空間, 對(duì)給定的T>0, 記X=([0,T]×{0})∪([0,T]×0),其中0={0}。設(shè)λ=(λB,λH)是一個(gè)二維隨機(jī)過(guò)程, 分量λi,i=B,H滿足:

在X上定義隨機(jī)測(cè)度Λ：

ΛB(Δ∩[0,T]×{0})+

ΛH(Δ∩[0,T]×R0),

(4)

其中q是確定的0上Borel集的σ-有限測(cè)度,滿足

定義1B是在[0,T]×{0} Borel集上的符號(hào)測(cè)度, 滿足

(b2)B(Δ1)和B(Δ2)關(guān)于FΛ條件獨(dú)立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合,H是[0,T]×{0}中Borel集上的符號(hào)隨機(jī)測(cè)度。

(b4)H(Δ1)和H(Δ2)關(guān)于FΛ條件獨(dú)立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合。我們假設(shè):

(b5)B和H關(guān)于FΛ條件獨(dú)立。

定義2 對(duì)X的Borel集Δ,定義符號(hào)隨機(jī)測(cè)度μ為

μ(Δ)：=B(Δ∩[0,T]×{0})+

E[μ(Δ)|FΛ]=0,

E[B(Δ)2|FΛ]=ΛB(Δ),

E[μ(Δ)2|FΛ]=Λ(Δ)

以及

E[μ(Δ1)μ(Δ2)|FΛ]=

E[μ(Δ1)|FΛ]E[μ(Δ2)|FΛ]=0，

Ft=σ{Xt, 0≤t≤T}∨NP,

其中NP是所有的P-Null子集的集合。

記

·Lp(Ω, F,P):={ξ: 實(shí)值 FT可測(cè)隨機(jī)變量E|ξ|p<+∞,p≥1};

·L0(Ω, F,P;n):={ξ:n值 F 可測(cè)隨機(jī)變量};

注意

E′[θ]=E′[θ(·,ω)]∈L1(Ω,F,P),

并且

E[E′[θ]]。

本文考慮如下形式的時(shí)變的 Lévy 噪聲驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)BSDE：

(5)

|f(w′,w,t,y1′,z1′,y1,z1)-

f(w′,w,t,y2′,z2′,y2,z2)|≤

注對(duì)方程中的符號(hào)做出解釋, 方程(5)的驅(qū)動(dòng)系數(shù)按如下方式運(yùn)算：

E′[f(s,Ys′,Zs′,Ys,Zs)](ω)=

E′[f(s,Ys′,Zs′,Ys(ω),Zs(ω))]=

1)對(duì)任意的t∈[t0,T],(Y,Z)是連續(xù)的;

2)(Y,Z)是 Ft-適應(yīng)的;

3)對(duì)任意t0≤t≤T, 有

(6)

2 解的存在唯一性

本節(jié)將討論時(shí)變的 Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)BSDE解的存在唯一性,首先給出平均場(chǎng)BSDE(5)解的唯一性定理。

引理1[10]考慮如下形式的由時(shí)變 Lévy 過(guò)程驅(qū)動(dòng)的BSDE,

(7)

引理2 設(shè)ξ∈L2(Ω,Ft,P)且系數(shù)滿足假設(shè)(H1)和(H2),則平均場(chǎng)BSDE(5)的解是唯一的。

(8)

其中:

上式兩邊積分得

(9)

對(duì)式(9)兩端在t=T處計(jì)算得

取期望, 化簡(jiǎn)得

(10)

對(duì)任意的ρ>0, 由(H1)和 Young 不等式得

令ρ=4C, 則

由Gronwall不等式得

接下來(lái), 考慮平均場(chǎng)BSDE(5)的一個(gè)簡(jiǎn)化形式

(11)

證明設(shè)Yt0=0,t∈[0,T], 考慮下面的平均場(chǎng)BSDE:

(12)

等式兩邊積分得

對(duì)等式的兩邊取期望并且在t=T處計(jì)算得

對(duì)任意的ρ>0, 由(H2)和 Young 不等式得

從而

兩邊積分, 得

迭代上面的不等式, 得

是BSDE(11)的解。唯一性是引理2的直接結(jié)果,證畢。

下面給出平均場(chǎng)BSDE(5)解的存在唯一性定理。

(13)

由(H1)和Young不等式得

從而

對(duì)式(12)兩邊取極限立得(Y,Z)是平均場(chǎng)BSDE(5)的唯一解。

3 比較定理

本節(jié)給出時(shí)變的Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的平均場(chǎng)BSDE解的一個(gè)比較定理。

設(shè)(Y1,Z1)和(Y2,Z2)分別是下列2個(gè)平均場(chǎng)BSDE 的解,

(14)

其中:i=1, 2。

定理2 假設(shè)f1,f2滿足(H1)和(H2),ξ1,ξ2∈L2(Ω,FT,P), 且

(i)ξ1≥ξ2,a.s.;

(ii)對(duì)任意的t∈[0,T],

則在[0,T]上, 我們有Y1≥Y2,a.s.。

證明為簡(jiǎn)潔起見(jiàn), 省略系數(shù)f中的ω′,ω和s, 由假設(shè)(i),(ξ2-ξ1)+=0,a.s.。

由于對(duì)任意的t∈[0,T], 有

對(duì)任意的t∈[0,T],ρ>0, 由假設(shè)(ii),(H1)和 Young 不等式, 得

從而在[0,T]上,Y1≥Y2,a.s.,證畢。