鄭 鈺，施浩然,2，劉曉輝,2，張文舉

（1. 西華大學能源與動力工程學院，四川 成都 610039；2. 西華大學流體與動力機械教育部重點實驗室，四川 成都 610039；3. 中國市政工程西南設計研究總院有限公司，四川 成都 610084）

隨著國家經(jīng)濟高速發(fā)展，煤炭資源作為我國最重要的基礎性能源，其需求量日益增長，如何安全、高效開采發(fā)人深思。眾所周知，煤炭開采是原巖應力產(chǎn)生擾動，原有應力平衡被打破，進而發(fā)生應力轉移、重分布的平衡調整過程[1]，該過程煤巖的動態(tài)力學特性、變形破壞特征不僅呈現(xiàn)出顯著的應變率效應，而且其破壞過程導致的沖擊地壓、瓦斯突出等更是典型的動力災害。因此，研究動態(tài)應變率下煤巖的變形破壞特征及其本構關系能夠為安全、高效進行煤礦開采提供強有力的科學依據(jù)。

目前，許多學者通過霍普金森壓桿試驗[2-5]、數(shù)值模擬[6]等方法對沖擊荷載作用下煤巖的力學特性及破壞特征展開了研究，發(fā)現(xiàn)煤巖的強度、變形特征參數(shù)具有明顯的應變率相關性，煤巖的變形破壞形態(tài)隨應變率變化差異顯著，且不同煤巖或相同煤巖不同外界條件破壞形態(tài)各異。煤巖開采過程中常常伴隨巖體破碎和碎塊塊度分布等問題，謝和平等[7]、高峰等[8]從煤巖宏觀破壞后塊度分布所具有的統(tǒng)計自相似性出發(fā)，提出了從分形幾何角度對煤巖碎塊塊度分布進行統(tǒng)計分析，指出分形維數(shù)是反映巖石破碎程度恰當?shù)慕y(tǒng)計特征量。張文清等[9]、丁鑫等[10]、Zhao 等[11]同樣利用霍普金森壓桿對煤巖試樣展開了不同應變率下的沖擊壓縮試驗，再次指出試驗后煤巖碎塊具有明顯的分形特性，但不同煤巖由于其自身較強的離散性特征，破碎塊度分布存在著較大的差異。

除此而外，有關巖石動態(tài)本構關系的研究也受到廣泛關注，目前使用較多的巖石本構模型主要分為元件型和強度型兩種。元件型模型歷史悠久，最早可追溯到1974 年Lindholm 等[12]提出的硬巖過應力模型，為研究巖石應力、應變、應變率的關系提出了一種新的方向。元件型模型能較好描述巖石的力學特征[13-15]，但此類模型擬合參數(shù)多、求解復雜且擬合參數(shù)的規(guī)律性受試驗影響大[16-18]，為克服這一不足，強度型模型的構建應運而生。基于巖石微元體的強度服從Weibull 統(tǒng)計分布的假設，朱晶晶等[19]建立了能較好反映花崗巖強度、應變與應變率關系動態(tài)損傷本構模型。胡學龍等[20]以統(tǒng)一強度準則為屈服準則建立的動態(tài)本構模型不僅能描述巖石的硬化/軟化行為，還可反映其應變率效應。針對煤巖，王登科等[21]根據(jù)巖石力學的強度理論和統(tǒng)計損傷理論建立了煤的強度型統(tǒng)計損傷本構模型，與現(xiàn)有元件型模型對比發(fā)現(xiàn)強度型模型同樣能有效描述巖石動態(tài)力學性質，但強度型模型具有結構簡單、參數(shù)少、物理意義清晰等優(yōu)勢。此外，沖擊荷載下煤巖動態(tài)強度和破壞應變具有明顯的應變率效應，而煤巖動態(tài)強度型損傷本構模型能較好反映應變率對應力-應變曲線的影響[22]。然而就目前的研究來看，針對煤巖這一特殊巖石雖有研究，但不同煤巖離散性特征明顯，其變形本構必定存在差異，開展不同應變率下煤巖的強度本構關系研究仍具有重要意義。

因此，本文中利用分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）試驗系統(tǒng)，對四川省宜賓市芙蓉白皎煤礦煤巖展開全過程實時高速攝影監(jiān)測的單軸沖擊壓縮試驗，依托不同動態(tài)應變率下煤巖變形破壞的力學特性、破碎分維特征，深入探究煤巖的動態(tài)破壞特征，最終提出基于煤巖動態(tài)力學性質的強度型統(tǒng)計損傷本構模型，以期為煤礦安全、高效開采，煤巖動力災害預測、防治，提供科學依據(jù)和工程指導。

1 試驗概況

1.1 煤巖試樣制備

本次試驗選用宜賓芙蓉白皎煤礦2#煤層，埋深+350 m，富灰富硫無煙煤制樣。依據(jù)國際巖石力學與巖石工程學會（ISRM）[23]推薦，將煤巖按長徑比1∶1 制備 ? 50 mm×50 mm 的圓柱形煤巖試樣27 個，保證煤巖試樣打磨后兩端面不平行度小于0.05 mm，兩端面均垂直試樣軸線，最大偏差度不超過0.25°。

1.2 試驗裝置

本次試驗利用中南大學資源與安全工程學院的SHPB 動靜組合加載試驗系統(tǒng)，裝置彈性桿為40Cr 合金材質，直徑為50 mm，長度為2 m，密度為7 697 kg/m3，泊松比為0.28，彈性模量為240 GPa，彈性桿縱波波速為5 410 m/s。試驗系統(tǒng)利用沖擊氣壓進行控制，采用半正弦應力波加載，通過粘貼在入射桿和透射桿上的應變片采集脈沖信號，并將信號傳入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以獲取試樣的入射、反射和透射應變值。為減小試驗過程中產(chǎn)生的摩擦效應，在試樣和彈性桿的接觸面上均勻涂抹凡士林。SHPB 試驗裝置如圖1 所示。

1.3 試驗數(shù)據(jù)

SHPB 試驗測試技術滿足應力傳播一維假定和應力均勻性假定，本文單軸試驗所得數(shù)據(jù)的有效性均已得到了驗證[24]。根據(jù)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)收集的應變波數(shù)據(jù)，由下式確定煤巖試樣的應力σ、應變ε 以及應變率 ε˙ ：

式中：A0為彈性桿橫截面積，As為試樣橫截面積，E0為彈性桿彈性模量，cs為試樣中彈性波波速，Ls為試樣長度，εi(t)、εr(t)、εt(t)分別為測得的入射、反射、透射應變，t 為時間。

對27 個煤巖試樣進行了9 組試驗，每一組按同一氣壓進行了3 次平行試驗，各煤巖試樣的試驗數(shù)據(jù)匯總見表1。表中，D 為煤巖試樣的直徑；Ls為煤巖試樣的長度；ρ 為煤巖試樣的密度；為平均應變率，由于試驗系統(tǒng)設定的不同氣壓會產(chǎn)生不同的沖擊速度，則不同的沖擊速度對應不同的應變率；σd為動態(tài)抗壓強度，本文中σd取應力-應變曲線的峰值應力；εm為應力峰值所對應的應變值；Ed為動態(tài)彈性模量，本文中Ed取應力-應變曲線中50%峰值應力處近似直線段的斜率。

煤巖作為一種離散性較大的巖石，為合理規(guī)避其自身缺陷影響并確保試驗煤巖的一致性，本文分別對煤巖密度、彈性模量2 個參數(shù)進行離散性分析。表1 中分別計算了密度和彈性模量的變異系數(shù)，變異系數(shù)越大，離散度越大。根據(jù)GB/T23561.1—2009[25]，表1 中的變異系數(shù)均小于20%，滿足試驗要求。

表 1 煤巖基本物理力學參數(shù)Table 1 Basic physical and mechanical parameters of coal rock

2 煤巖沖擊破壞力學性能分析

2.1 動態(tài)應力-應變曲線

圖 2 煤巖動態(tài)應力-應變曲線Fig. 2 Dynamic stress-strain curves of coal rock

根據(jù)式(1)計算所得結果，每組氣壓下各選取一個煤巖試樣繪制動態(tài)應力-應變曲線，如圖2所示。從圖2 中可看出，煤巖動態(tài)應力-應變曲線呈現(xiàn)明顯的非線性特征。應力-應變曲線大致分為4 個階段：Ⅰ為線彈性階段，由于沖擊加載過程時間短、沖擊大，曲線沒有明顯的壓密階段，而是直接進入線彈性階段；Ⅱ為塑性屈服階段，此時彈性能不斷積聚，致使煤巖內部原生裂紋迅速擴展、延伸并產(chǎn)生新裂紋；Ⅲ為峰值應力階段，應力-應變曲線存在一段平臺區(qū)域，這一現(xiàn)象與煤巖內部的裂隙閉合度相關，受到?jīng)_擊荷載作用時煤巖內部裂隙重組并達到新的平衡狀態(tài)，由于達到峰值應力時新的平衡狀態(tài)還未被打破，應力-應變曲線就出現(xiàn)了平臺階段，文獻[17]中也提到了這一階段；Ⅳ為塑性軟化階段，此后煤巖承載能力下降，沖擊煤巖破碎導致其力學性能劣化。對比不同應變率下的應力-應變曲線可以發(fā)現(xiàn)，煤巖具有較強的應變率相關性，隨應變率升高，塑性屈服階段明顯變長，軸向變形量隨之增大。

2.2 煤巖動態(tài)力學特征

2.2.1 動態(tài)抗壓強度變化規(guī)律

圖3 為不同應變率下煤巖抗壓強度σd的變化規(guī)律。對比不同應變率下芙蓉白皎煤巖的抗壓強度可以發(fā)現(xiàn)，準靜態(tài)應變率下抗壓強度在8.83～12.57 MPa 的范圍內[26]，增長率為42.35%，而在動態(tài)應變率20～100 s-1范圍，煤巖抗壓強度從8.01 MPa 增至32.82 MPa，增長率約為310%。隨應變率的升高，準靜態(tài)和動態(tài)抗壓強度整體上均呈現(xiàn)增大的趨勢，且應變率越高抗壓強度的增幅越大。當應變率低于50 s-1時，煤巖抗壓強度較低，甚至和準靜態(tài)抗壓強度相近，而應變率高于50 s-1時，抗壓強度顯著增大。這是由于低應變率下煤巖未能完全呈現(xiàn)出其動態(tài)力學特性，因而強度處于較低的水平，但在高應變率下應變率變化對抗壓強度的影響逐漸增強，這與文獻[4]的試驗結果相似。

2.2.2 動態(tài)彈性模量變化規(guī)律

煤巖動態(tài)彈性模量Ed與應變率的關系曲線如圖4 所示。從圖4 中可以看出，煤巖動態(tài)彈性模量集中在2～13 GPa。對處于不同應變率狀態(tài)下的煤巖，其動態(tài)彈性模量具有一定的離散性，但隨應變率的升高彈性模量總體上符合線性增長規(guī)律。彈性模量越高，煤巖變形剛度越強，則其抵抗變形破壞的能力也就越強。

圖 3 不同應變率下的抗壓強度Fig. 3 Compressive strengths under different strain rates

圖 4 不同應變率下的彈性模量Fig. 4 Elastic modulii under different strain rates

2.3 煤巖動態(tài)變形破壞特征

煤巖的宏觀破碎是煤巖在荷載等外部因素作用下，原始缺陷不斷擴展、貫通，最終導致破碎的結果[27]。煤巖內部結構缺陷雜亂無章、隨機分布，動態(tài)沖擊壓縮破壞形態(tài)形式多樣，如拉裂、剪切、壓碎、周邊脫落等。不同應變率下煤巖的破碎特征如圖5 所示。從圖5 可以看出，單軸沖擊壓縮下，應變率較低時，如圖5(a)所示，煤巖試樣多由內部原生裂紋起裂，并沿平行于軸向應力的方向發(fā)生拉裂破壞。應變率較高時，如圖5(g)～(i)所示，煤巖發(fā)生壓碎破壞，且破壞過程中伴有周邊脫落，最終試樣被壓碎為許多大小不一的塊體。因此，隨應變率升高，煤巖破碎程度越劇烈，小顆粒破碎塊體越多。

為準確反映煤巖動態(tài)沖擊壓縮破壞全過程，試驗過程中配置Photron 公司的FASTCAMSA1.1 高速數(shù)字式攝像機系統(tǒng)，分辨率為192×192，影像幀頻為100 000 s-1，每10 μs 拍攝一張照片。選取2 個煤巖試樣破壞全過程的高速攝影圖片進行分析，如圖6 所示。從圖6 可以看出，煤巖破壞經(jīng)歷了由裂紋萌生、擴展到貫穿的過程。由圖6(a)可以發(fā)現(xiàn)，69.36 s-1應變率下，煤巖試樣承受沖擊荷載作用約2 652 μs 時裂紋沿軸向起裂并向兩端擴展，此時應力波已在巖樣中來回傳播了約19 次，2 812 μs 時試樣上部開始出現(xiàn)碎塊脫落，3 000 μs 后裂紋迅速貫通煤巖試樣，發(fā)生劈裂破壞，產(chǎn)生很多尺度不一的破碎塊體。由圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)，91.51 s-1應變率下，煤巖試樣承受沖擊荷載作用約1 682 μs 時試樣表面出現(xiàn)多條橫向裂紋，此時應力波已在巖樣中來回傳播了約18 次，1 982 μs 時裂紋貫通試樣且碎塊脫離彈性桿，2 000 μs 后試樣迅速被壓碎，具有明顯的剪脹特征。由此可以發(fā)現(xiàn)，隨應變率升高，應力波在煤巖試樣中傳播的次數(shù)越少，破壞時間越短，且煤巖破壞形態(tài)大多由軸向劈裂破壞向壓碎破壞過渡。

圖 5 不同應變率下煤巖的動態(tài)破碎特征Fig. 5 Dynamic fracture characteristics of coal rock at dfferent strain rates

圖 6 兩個典型煤巖試樣動態(tài)破壞過程的高速攝影圖片F(xiàn)ig. 6 High-speed photographies for the dynamic fracturing process of two typical coal rock specimens

3 煤巖破碎特征分析

如前所述，單軸沖擊壓縮下，煤巖破裂為許多大小不一的碎塊，收集試驗后的煤巖碎塊，采用0.25、0.50、1.00、5.00、10.00、20.00、40.00、50.00 mm 的標準篩對煤巖的破碎顆粒進行篩分，發(fā)現(xiàn)碎塊具有明顯的自相似性，能夠較好地利用分形理論進行討論。分形理論20 世紀70 年代由Mandelbrot 創(chuàng)立[28]，1991 年由謝和平等[28]首先將其與巖石力學結合，開創(chuàng)了巖石分形領域新篇章。破壞后的煤巖碎塊塊度具有分形特性，究其原因在于煤巖的幾何特征和力學、物理量演化的數(shù)字特征都表現(xiàn)出良好的自相似性[9]。

采用質量-尺寸關系計算分形維數(shù)Db[9]，其計算公式如下：

式中：r 為標準篩尺寸，M(r)為直徑小于r 的塊體累積質量，MT為試驗煤巖總質量，α 為煤巖破碎塊體的質量-尺寸分布指數(shù)，在直角坐標系中以lg[M(r)/MT]為縱坐標，lg r 為橫坐標繪制曲線并進行線性擬合，所得直線的斜率即為α。

同時，篩分后取各粒度含量的加權平均值作為煤巖破碎平均塊度dm，其計算公式如下[29]：

式中：di為每一粒級煤樣的尺寸，ri為每一粒級破碎煤巖塊體質量累積百分率。

根據(jù)表2，得到煤巖破碎平均塊度、分形維數(shù)和應變率的關系如圖7 所示。從圖7 可以發(fā)現(xiàn)，單軸沖擊壓縮狀態(tài)下，煤巖試樣破碎平均塊度集中在30～40 mm，且隨應變率升高，煤巖破碎平均塊度總體呈下降的趨勢。當應變率為24.84 s-1時，沖擊壓縮過程中煤巖試樣被壓縮程度低，只有小塊碎屑脫落，平均塊度較大，但應變率越高煤巖試樣初始階段獲得的能量越多，導致其破碎程度增強，破碎塊度隨之減小。單軸沖擊壓縮狀態(tài)下，煤巖破碎塊度分維值集中在1.9～2.2，說明煤巖試樣破碎塊度基本處于小尺度區(qū)間內。在40～80 s-1應變率范圍內，隨應變率升高，分形維數(shù)增大，表明大尺度煤巖碎塊占總質量的比例減少，煤巖破碎程度隨之增強，破碎塊度越來越小。綜上可知，煤巖破碎塊度分維值可以反映煤巖在不同應變率下的破碎程度，因此分形維數(shù)在煤礦高效開采中具有指導性意義。

表 2 不同應變率下煤巖的破碎特征Table 2 Fragmentation characteristics of coal rock at different strain rates

圖 7 煤巖破碎平均塊度、分形維數(shù)與應變率的關系Fig. 7 Average fragmentation and fractal dimension of coal rock at different strain rates

4 煤巖動態(tài)損傷本構模型

4.1 損傷變量的定義

煤巖作為一種典型的非均質材料，內含大量隨機分布的微裂隙、孔洞等缺陷，假設煤巖由大量微元體組成，其尺寸在空間意義上足夠大能包含大量微缺陷，但在力學意義上又充分小可將其視為一個質點。微元體具有以下性質：（1）煤巖在宏觀上表現(xiàn)為各向同性，即各向同性損傷體；（2）煤巖破壞前服從胡克定律，破壞后不具備承載能力；（3）各微元體強度服從Weibull 分布。其概率密度函數(shù)表達式為：

式中：F 為微元體強度的分布變量，F(xiàn)0、m 為Weibull 分布參數(shù)，反映了煤巖材料的力學性質。

當煤巖受沖擊荷載作用時，微元體將逐漸發(fā)生破壞，可引入統(tǒng)計損傷變量D 來反映這一過程，在某一荷載的作用下，D 可表示為：

式中：N 為總微元數(shù)，Nf為已破壞的微元數(shù)，當加載到某一荷載水平F 時：

將式（5）、（7）代入式（6），可得損傷變量D 的表達式：

4.2 微元體強度

根據(jù)式（8）可知，損傷變量D 受到微元強度F 的影響，而微元強度與巖石所處的應力狀態(tài)有關。為了體現(xiàn)復雜應力狀態(tài)對煤巖的影響，認為微元體的破壞準則符合Drucker-Prager (D-P)破壞準則?；贒-P 破壞準則的巖石微元強度為[21]：

式中：α 為微元體的強度參數(shù)，φ 為巖石的內摩擦角，本文所選用的芙蓉白皎煤巖的內摩擦角為22.95°[29]，則α 的值為0.126 8，I1為應力張量的第一不變量，J2為應力偏量的第二不變量。

將式(10)代入式(9)，本文中煤巖處于單軸狀態(tài)，因此σ2=σ3=0，ε1=ε，則微元體強度的表達式為：

4.3 本構模型的建立與修正

利用應變等效假設，獲得沖擊荷載作用下單軸煤巖的強度型統(tǒng)計損傷本構模型的表達式為：

由式(12)可知，建立本構模型的關鍵在于確定兩個未知參數(shù)F0和m?？紤]到單軸沖擊試驗中能夠較易獲得應力-應變曲線的峰值應力及其對應的應變，因此本文采用極值法來確定參數(shù)F0和m。由于多元函數(shù)在極值點（εm, σmax）處導數(shù)為0，將式(11)、(12)兩邊同時對ε 求導并化簡得：

式中：σmax、εm、E 的取值見表1，最終本構模型參數(shù)計算結果見表3。

表 3 本構模型參數(shù)計算結果Table 3 Computational results of constitutive model parameters

由表3 可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)F0、m 與應變率存在一定的相關關系，隨應變率升高，F(xiàn)0越來越大，而m 大致呈現(xiàn)下降的趨勢。分別建立F0、m 和應變率的關系，可以有效地對煤巖的損傷統(tǒng)計本構模型進行修正。分別以F0與m 為縱坐標，應變率為橫坐標繪制散點圖并進行非線性擬合，如圖8、9 所示。

圖 8 參數(shù)F0 隨應變率的變化關系Fig. 8 Variation of parameter F0 with strain rate

圖 9 參數(shù)m 隨應變率的變化關系Fig. 9 Variation of parameter m with strain rate

經(jīng)擬合可知，F(xiàn)0、m 和應變率的關系如下：

其擬合相關系數(shù)分別為0.95 和0.89。將式(15)、(16)代入(12)可得到修正后不同應變率下煤巖的強度型統(tǒng)計損傷本構方程：

4.4 本構模型的驗證

利用修正后的本構模型，由式(17)計算得到不同應變率下煤巖動態(tài)應力-應變理論曲線，并與試驗曲線進行對比，如圖10 所示。

圖 10 不同應變率下煤巖試驗和理論應力-應變曲線Fig. 10 Comparison between experimental and theoretical stress-strain curves of coal rock under different strain rates

由模型驗證結果可知，在20～100 s-1應變率范圍內，理論曲線和試驗曲線基本具有較好的一致性，受Weibull 分布參數(shù)F0和m 的影響，理論曲線的合理修正使得其能夠較好地反映煤巖抗壓強度、彈性模量隨應變率升高而增加的動態(tài)力學特性，具有較強的率效應反饋，能夠更好地服務于實際工程。當然，本文所建模型未能完全對應煤巖動態(tài)應力-應變曲線各加載階段的變化過程，存在一定的局限性，且模型參數(shù)確定、彈性模量選擇所產(chǎn)生的誤差均需要在以后的研究中進一步改進。

5 結 論

針對芙蓉白皎煤巖單軸沖擊壓縮試驗20～100 s-1動態(tài)應變率范圍下的動態(tài)破壞特征及本構關系進行分析，得到以下結論。

（1）煤巖動態(tài)應力-應變曲線具有明顯的非線性特征，可分為線彈性、塑性屈服、峰值應力、塑性軟化4 個階段。隨著應變率升高，試驗煤巖的動態(tài)抗壓強度從8.01 MPa 提高到32.82 MPa，動態(tài)彈性模量從2 GPa 左右增長到約13 GPa，煤巖剛度顯著增強。其動態(tài)破壞形態(tài)由低應變率下的軸向劈裂破壞向高應變率下的壓碎破壞過渡。

（2）不同動態(tài)應變率范圍下，試驗煤巖的宏觀破壞碎塊分形特性明顯，煤巖破碎平均塊度為30～40 mm，破碎塊度分維值為1.9～2.2。隨應變率升高，分形維數(shù)增大，平均破碎塊度呈減小的趨勢，表明大尺度碎塊占煤巖碎塊總質量的比例逐漸減小，煤巖破碎程度增大。

（3）基于試驗煤巖微元強度服從Weibull 統(tǒng)計分布、微元體破壞符合D-P 破壞準則的假設，對參數(shù)F0、m 進行修正，建立了不同應變率下煤巖的動態(tài)強度型統(tǒng)計損傷本構模型。該模型能夠充分反映煤巖應力、應變和應變率的關系，其有效性、合理性得到較好的驗證。