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        一類基于k-體分劃的多體態(tài)的量子關(guān)聯(lián)測度

        2021-05-26 04:03:30劉天文王銀珠
        關(guān)鍵詞:分劃量子態(tài)測度

        劉天文,王銀珠

        (太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

        糾纏是量子信息理論中的突出特征之一,它在量子信息處理中起著極其重要的作用,糾纏已經(jīng)作為一種必要的資源應(yīng)用于量子信息和量子計(jì)算的各個方面[1-6],在光量子信息中的應(yīng)用尤其突出[7-8]。眾所周知,量子態(tài)是跡為1的半正定算子,記H,表示與量子系統(tǒng)相結(jié)合的可分復(fù)Hilbert空間,S(H)則表示H中的全體量子態(tài)。ρ∈S(H),如果Tr(ρ2)=1,則ρ稱之為純態(tài);若Tr(ρ2)<1,則ρ稱之為混合態(tài)。對于純態(tài)來說,判斷其是否可分是比較容易的,然而對于混合態(tài),探測其是否可分是一個NP-hard 問題[9]。

        在相當(dāng)長的時間里,人們一直以為量子關(guān)聯(lián)只存在于糾纏態(tài)中,但事實(shí)并非如此。研究表明可分態(tài)也存在某種量子關(guān)聯(lián)性。量子關(guān)聯(lián)在量子信息處理中有重要意義,目前已有諸多量子關(guān)聯(lián)定義,包括量子無序性(Quantum Discord)、測度誘導(dǎo)的非局部性(Measurement Induced Non-locality)、量子虧損(Quantum Deficit)以及可分性魯棒(Separabil-ity Robustness)和糾纏魯棒(Entanglement Robus -tness)等[22-26]。 所有這些量子關(guān)聯(lián)都可作為重要的資源應(yīng)用于量子計(jì)算的各個方面[27],如何深入量化給定量子態(tài)的關(guān)聯(lián)是其中最主要的問題之一,2001年,Oliver和Zurek及Henderson和Vedral分別獨(dú)立提出量子失協(xié)關(guān)聯(lián)度[22-23],2008年,Akira SaiToh等第一次引進(jìn)了度量量子態(tài)與兩積特征基態(tài)之間的關(guān)聯(lián)測量[28],2011年,Luo和Fu給出了另一種量子關(guān)聯(lián)度量稱為測量導(dǎo)出的非定域性[24],2014年,Andre L.Fonseca de Oliveira等給出了多體量子態(tài)的累積關(guān)聯(lián)測度[29]。

        本文給出了一類基于k-體分劃的多體量子態(tài)的量子關(guān)聯(lián)測度,并證明了其滿足量子關(guān)聯(lián)度的一些性質(zhì)。

        1 基本定義與主要結(jié)果

        本文主要討論多體復(fù)合量子系統(tǒng),設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimH<+∞,記S(H)表示H中全體量子態(tài)組成的集合,為給出主要結(jié)果,首先引出如下定義。

        定義1[21]設(shè)H=H1?H2?…?Hm,其中Hi是與第i個子系統(tǒng)相結(jié)合的Hilbert空間,稱{A1,A2,…,Ak}或A1|A2|…|Ak為H的一個k-體分劃,如果其滿足:

        (i)Ai∩Aj=,(i,j∈{1,2,…,k},i≠j)且∪Ai={1,2,…,m};

        定義2[19-21]設(shè)H=H1?…?Hm,dimH<+∞,|〉∈H,稱|〉為k-可分的,如果存在k-體分劃A1|A2|…|Ak,使得其中是HAi上的純態(tài)。一個m體混合態(tài)ρ∈S(H)稱為k-可分的,如果這里|φs〉可能在不同的k-體分劃下是k-可分的,ps≥0,∑ps=1.

        當(dāng)k=m時,稱ρ為完全乘積特征態(tài).易見SK-P(H)?SK-S(H)?S(H),其中SK-S(H)表示H上全體k-可分態(tài)組成的集合。

        定義5設(shè)ρ∈S(H),則ρ相對于k-體分劃的量子關(guān)聯(lián)度(簡記為k-QCM),定義為:

        下面證明上述定義的k-體分劃的量子關(guān)聯(lián)度滿足下面的性質(zhì)。

        性質(zhì)1設(shè)ρ∈S(H),則Qk(ρ)≥0且Qk(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈SK-P(H).

        證明:由k-QCM定義,Qk(ρ)的非負(fù)性顯然.另外,若Qk(ρ)=0,則存在σ∈SK-P(H),使得Tr|ρ-σ|=0,從而ρ=σ,故ρ∈SK-P(H).反之,若ρ∈SK-P(H),顯然有Qk(ρ)=0.

        性質(zhì)2設(shè)U=U1?U2?…?Um,Ui∈Hi為Hi上的酉算子,則Qk(UρU+)=Qk(ρ).

        證明:根據(jù)文獻(xiàn)[1],酉變換保持量子態(tài)之間的跡距離,即D(UρU+,UσU+)=D(ρ,σ).故Qk(UρU+)=Qk(ρ).

        性質(zhì)3設(shè)ε為一個保跡量子運(yùn)算,則Qk(ε(ρ))≤Qk(ρ).

        為了證明性質(zhì)3,需要下面引理。

        Tr(Q)-Tr(S)=Tr(ρ)-Tr(σ)=0,

        所以

        Tr(Q)=Tr(S),

        從而有

        Tr(ε(Q))=Tr(ε(S)).

        所以

        Qk(ε(ρ)).

        性質(zhì)4k-QCM是輸入態(tài)的凸函數(shù),即:

        證明:應(yīng)用引理1,存在一個投影算子P使成立:

        證明:由定義容易得出:

        →Qk(ρ).(n→∞)

        性質(zhì)6系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時,關(guān)聯(lián)測度不變,即:設(shè)H′是局部非相干輔助子系統(tǒng),α∈S(H′),ρ∈S(H),則有Qk(ρ?α)=Qk(ρ). 證明 由跡距離的性質(zhì)D(ρ?α,σ?α)=D(ρ,σ),容易得出:

        2 結(jié)語

        文章定義了一個新的關(guān)聯(lián)測度——基于k-體分劃的多體量子態(tài)的關(guān)聯(lián)度(k-QCM).該測度可以探測給定量子態(tài)是否為k-積態(tài)。它與跡距離相關(guān),但也具有自己的優(yōu)點(diǎn)。同時證明了該量子關(guān)聯(lián)度具有酉不變性、凸性、單調(diào)性、連續(xù)性,另外,當(dāng)系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時,關(guān)聯(lián)測度不變。

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