郭昱彤，張雪霞，趙文彬，郭 璐

(太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

近幾年，對功能梯度材料的研究成了熱門。因為該材料的非均勻性，它可以消除傳統(tǒng)復合材料的缺陷。因此，它可以應用到各個領域，如能源，運輸，光學，生物醫(yī)學工程等[1-2]。

馮文杰[3]基于位錯密度函數(shù)研究了正交各向異性功能梯度條中多個共線Griffith裂紋的反平面剪切沖擊問題。Chen等人[4]假定帶鋼的上邊緣是無牽引力的，下邊是固定的，利用積分變換法，導出一個初等解并建立奇異積分方程，彈性分析了功能梯度材料反平面彈性共線裂紋問題。Zhang等人[5-7]利用解析法，探究了無窮大反平面裂紋問題。李永東[8]基于涂層圓柱形復合材料界面的斷裂力學理論模型并用分離變量法研究了圓柱形復合材料的界面開裂問題。陸萬順等人[9]研究了層合板結構中的反平面運動裂紋問題并用copson方法求解。文獻[10]研究了正交異性基板在移動裂紋作用下的動態(tài)行為，并采用非均勻涂層對其進行了增強。文獻[11]討論了主要斷裂特征(應力強度因子和能量釋放速率)對雙材料常數(shù)的依賴關系的解析解和半解析解，給出了界面裂紋與內部裂紋相互作用的反平面剪切問題的詳細表達式。

本文采用負指數(shù)冪模型，運用數(shù)值解析法，再通過轉化，求解奇異積分方程的解，來獲取應力強度因子的解析式。探討相關參數(shù)對應力強度因子的影響。

1 材料物性參數(shù)的負指數(shù)冪模型

如圖1是含裂紋長度為2a的功能梯度材料。x軸和y軸相互垂直，坐標y是自變量，切變模量μx,μy是因變量，而且μx,μy按如下變化。即剪切模量采用負指數(shù)冪模型：

模型：

μx(y)=(μx)0/(c+α|y|)k

μy(y)=(μy)0/(c+α|y|)k

(1)

其中c>0,α>0,k>0，剪切模量為(μx)0=μx(0)·ck和(μy)0=μy(0)·ck

應力-位移關系為：

(2)

2 建立控制方程和邊界條件

應力平衡方程：

(3)

將應力-位移關系(2)代入到應力平衡方程(3)得到控制方程為：

(4)

給出邊界條件：

τyz(x,0)=-τ0|x|

(5.1)

w(x,0)=0 |x|≥a

(5.2)

3 導出對偶積分方程

由于裂紋的對稱性，只考慮x>0,y>0的平面，引入關于x的Fourier余弦變換

(6)

(7)

設變量代換

(8)

可得到：

(9)

(10)

式(10)是標準的修正Bessel微分方程，由其解并考慮y→∞處的正則條件，方程(10)的解為：

(11)

把式(11)代入到式(6)，得到:

Kβ[(c+αy)S/α]cos(sx)ds

把式(11)代入到式(2)得:

Kβ[(c+αy)S/α]sin(sx)ds

(12)

[(c+αy)S/α]}cos(sx)ds

(13)

由式(11)、式(13)以及邊界條件(5.1)、(5.2)，可得到一組對偶積分方程組(14)

(14)

(15)

采用copson方法求解對偶積分方程組(14)，得其解:

(16)

其中J0()是零階第一類Bessel函數(shù)，函數(shù)Φ(ξ)由如下第二類Fredholm積分方程控制:

(17)

通過數(shù)值積分方法，求解(17)可得到Φ(1)的數(shù)值解。

4 裂紋尖端應力場及應力強度因子

對(16)式進行分部積分，得到式(18):

(18)

τxz=

[(c+αy)S/α]}cos(sx)ds=

(19)

考慮到s→∞處上述應力積分表達式，將積分核較大的s值展開，并考慮x→∞時，Kβ(x)和Kβ′(x)的漸進性：

(20)

定義復變量z1=x+iry，則有：

(21)

這里的r1和θ1在圖1中有定義。第一類一階Bessel函數(shù)需滿足：

(22)

由式(19)-(22)得(23.1)-(23.2)：

(23.1)

(23.2)

令x=r1cosθ1，y=r1sinθ1

(23.1)、(23.2)在r1→0處的變化情況，局部應力場如下：

τyz(r1,θ1)=

(24)

τxz(r1,θ1)=

(25)

5 數(shù)值模擬

符號說明：裂紋長度：2a；梯度參數(shù)：c,α,k；不均勻系數(shù)：r取2a=14 mm,c=1,α=3,在k=1,3,5時，討論了標準應力強度因子與不均勻系數(shù)r之間的的變化關系,如圖2.由圖知，當給定a、α、c一定時，k,r與應力強度因子處于正相關。

圖2 不均勻系數(shù)r和梯度參數(shù)k對應力強度因子的影響Fig.2 The effect of inhomogenous coefficient r and gradient parameter k on the stress intensity

取k=3,r=1,α=1,在2a=0.4,1,2.4 mm時，探究應力強度因子與梯度參數(shù)c的關系,如圖3.由圖知，當r、α、k一定時，a與應力強度因子處于正相關，c與應力強度因子處于負相關。

圖3 梯度參數(shù)c和裂紋長度a對應力強度因子的影響Fig.3 The effect ofgradient parameter c and crack length a on the stress intensity

取k=3,r=1,c=2,在α=0.5,1.5,3時，研究了a對標準應力強度因子的影響,如圖4.由圖知，在r、c、k一定時，a,α與應力強度因子處于正相關，這一點與胡志新文章中的結論相同[12]。

圖4 裂紋長度a和梯度參數(shù)α對應力強度因子的影響Fig.4 The effect ofcrack length a and gradient parameter α on the stress intensity factor

6 總結

探究無限大板功能梯度材料的反平面靜態(tài)裂紋問題。通過解析法將問題化為第二類Fredholm積分方程，分析了相關參數(shù)與應力強度因子之間的變化關系。結果說明：控制梯度參數(shù)與正交于裂紋面的切變模量可以控制裂紋擴展。