馬 蒙，李明航，譚新宇，曲翔宇，張厚貴

(1. 北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044；2. 北京市勞動保護科學研究所， 北京 100054)

地鐵列車運行引起的振動由車輛、軌道相互作用產生，經由軌道結構、隧道結構、地層及建筑基礎，傳至敏感建筑內部引起結構振動及二次噪聲，對樓內居民生活和建筑功能造成潛在影響。在地鐵線路方案設計階段，建立合理的預測模型提高環(huán)境振動預測的準確性對優(yōu)化地鐵線路設計和綜合減隔振設計起到重要作用[1-3]。車輛-軌道動力相互作用的模擬決定了環(huán)境振動預測模型中振源子模型的準確性。列車移動荷載可視作準靜態(tài)分量和動態(tài)激勵的疊加[4]，準靜態(tài)激勵由移動的列車輪軸荷載引起，而動態(tài)激勵則受軌道不平順、車輪不圓順等引起的隨機激勵，以及軌道結構周期性等固定參數(shù)激勵影響。

軌道不平順和車輪不圓順通常可以視為平穩(wěn)的隨機過程，采用功率譜密度函數(shù)(Power Spectral Density, PSD)表達。針對高速鐵路和干線鐵路軌道不平順，主要采用德國譜、美國譜或實測值作為車輛-軌道激勵[5-6]。而針對地鐵建立的車輛-軌道耦合模型中，由于缺少被廣泛認同的軌道不平順譜，通常將美國譜[7-9]或實測鋼軌表面粗糙度作為輸入激勵[10-11]，近年來也有越來越多的研究針對不同波長成分采用不同模擬方法[12-13]。文獻[14 - 15]的測試和模擬結果表明，車輪的磨耗狀態(tài)對環(huán)境振動關心的頻率有顯著影響。此外，溫士明等[16]對比測試了車輪鏇修前后浮置板軌道的振動響應；Nielsen 等[17]通過對比分析不同車輪磨耗程度對應的地表振動響應，證明了通過車輪鏇修可以有效降低環(huán)境振動。然而，目前在預測地鐵列車環(huán)境振動時，幾乎所有研究中均只考慮了軌道不平順的激勵，鮮有文獻考慮車輪不圓順的影響。

為了綜合分析軌道不平順以及車輪、鋼軌的磨耗狀態(tài)對軌道動力響應的影響，本文對一列地鐵列車進行了車輪不圓順的現(xiàn)場測試，同時對一段區(qū)間隧道內的軌道不平順和鋼軌粗糙度均進行了測試，并基于測試結果構建了輪軌耦合不平順譜。應用車輛-軌道耦合頻域解析模型計算了軌道動力響應，并比較了不同輪軌激勵模式對計算結果的影響。此外，在上述區(qū)間隧道內實測了鋼軌振動響應，用以驗證不同激勵模式計算結果的準確性。

1 車輪不圓順和軌道不平順測試

1.1 實測車輪不圓順

為了構建可用于車輛-軌道耦合模型計算輸入的車輪不圓順譜，選取一列6 節(jié)編組的地鐵B 型車，對全部48 個車輪進行不圓順測試。該列車至測試時累積運營里程14.1 萬公里，尚未進行車輪鏇修作業(yè)。測試車輪標準半徑為0.42 m。測試儀器采用便攜式車輪不圓順測試儀TriTops，該儀器具備3 個等距測量探針，可同時測量距離輪緣外側70 mm 的名義滾動圓處及其左、右10 mm 處的3 個不同車輪踏面位置的不圓順(見圖1)。測試時先用千斤頂頂升輪對，然后利用永磁鐵將測試儀器固定在鋼軌上，微調傳感器位置使其歸零，然后手動轉動輪對，儀器自動記錄數(shù)據，最后拆卸儀器和千斤頂。圖2 為測得車輪不圓順的典型結果。

圖 1 測試儀器及測點位置Fig. 1 Measurement instrument and sensor locations

圖 2 典型車輪不圓順測試結果Fig. 2 Typical measurement results of wheel out-of-round

圖 3 所有車輪粗糙度譜測試樣本及其代表性分位譜Fig. 3 All test sample of wheel roughness PSD and their typical quantile spectrum

采用周期圖法進行車輪不圓順測試樣本的功率譜密度函數(shù)估計，測試數(shù)據加漢寧窗，恢復系數(shù)為2。測試樣本對應的車輪不圓順譜及其統(tǒng)計分位數(shù)譜如圖3 所示。根據文獻[18]的研究，隨著運營里程的增加，車輪踏面的磨耗量呈現(xiàn)以實際滾動圓為中心的正態(tài)分布特征，單位運營里程車輪磨耗量同樣呈現(xiàn)正態(tài)分布特征。由于測試同一車輪多個測試位置、不同車輛車輪的空間位置不同、簧下質量差異等多個因素作用下，車輪的不圓順譜幅值差異明顯，在某些波長處，相差甚至超過三個數(shù)量級；車輪不圓順譜呈現(xiàn)與各階多邊形磨耗典型波長的峰值，其中7 階、8 階、9 階及14 階對應峰值尤為突出，60 km/h 運行車速下對應頻率為44 Hz、50 Hz、57 Hz 及 89 Hz；此外，均值譜、5%及95%分位數(shù)譜呈現(xiàn)相似的波動趨勢，三條統(tǒng)計譜線間主要表現(xiàn)為量級的差異。圖4 給出了三條車輪不圓順統(tǒng)計譜與Sato 提出的功率譜[19](簡稱“Sato 譜”)和美國譜的對比情況，測試列車車輪不圓順的均值譜及95%分位譜在0.5 m 以下波長段遠高于美國1 級譜及Sato 譜。因此可以推測，在地鐵車輛-軌道耦合模型中以美國譜或Sato 譜作為輸入激勵，難以客觀反映車輪不圓順的激勵信息。

圖 4 實測車輪不圓順分位譜Fig. 4 Statistic quantile PSD of tested wheel roughness PSD

1.2 實測軌道不平順

軌道高低不平順包括動態(tài)高低不平順和靜態(tài)鋼軌表面粗糙度等不同波長成分。為得到待測區(qū)間隧道包含不同波長成分的軌道不平順，采用地鐵運營單位提供的該區(qū)間軌道動態(tài)高低不平順檢測原始數(shù)據，其最短分析波長為2 m。采用高精度鋼軌波磨測試小車測試該區(qū)間的鋼軌表面粗糙度(見圖5)，測試波長范圍為0.01 m～3.000 m。低不平順譜在2 m～20 m 波長范圍內，在美國1 級譜及6 級譜之間波動；0.5 m～2 m 波長段的實測鋼軌粗糙度譜與美國1 級譜基本吻合，明顯高于Sato譜；0.05 m～0.5 m 以內大部分波長段介于在美國1 級譜及6 級譜之間；粗糙度譜在0.04 m 左右出現(xiàn)明顯的峰值，該波長與測試區(qū)間的鋼軌波磨直接相關。因此，在地鐵車輛-軌道耦合模型中，采用不同等級的美國譜作為激勵信息，基本可以反映地鐵軌道的動態(tài)高低不平順及鋼軌粗糙度的狀態(tài)。

圖 5 鋼軌表面粗糙度測試Fig. 5 Rail roughness test

圖 6 實測軌道動態(tài)高低不平順譜及鋼軌粗糙度譜Fig. 6 Measured track dynamic irregularity PSD and rail roughness PSD

2 車輛-軌道耦合頻域解析模型

2.1 車輛與軌道控制方程

采用基于MATLAB 的自編程序建立2 維車輛-軌道耦合頻域解析模型。地鐵列車考慮為6 節(jié)編組的B 型車，每節(jié)車輛簡化為具備2 系質量彈簧體系的10 自由度模型。各子結構均考慮為剛性體，系統(tǒng)方程可以通過對各個剛體各自由度采用D’Alembert 原理計算獲得。軌道模型考慮為離散支撐的歐拉梁模型，以模擬整體道床上安裝DTVI2型扣件(見圖7)。

圖 7 車輛-軌道耦合模型示意圖Fig. 7 Sketch of vehicle-track coupled model

本文旨在分析列車運行引起的環(huán)境振動問題，重點關注200 Hz 以下頻段的軌道振動響應。根據文獻[20 - 23]的研究，在該頻段內，采用線性的赫茲彈簧進行輪軌相互作用模擬可以獲得可靠的計算結果。因此，輪軌間采用赫茲接觸，接觸參數(shù)見文獻[24]；同時將軌道高低不平順譜(含實測鋼軌表面粗糙度譜)及車輪不圓順譜作為系統(tǒng)激勵。

列車第m節(jié)車輛的頻域控制方程表示為：

依據無限-周期理論，將軌道結構視為以扣件間距L為周期的離散支撐無限-周期結構。鋼軌簡化為無限長歐拉梁，扣件支撐簡化為彈簧阻尼單元，則軌梁的振動響應可統(tǒng)一在一個特征周期長度內進行求解。在頻域內，頻率為ωl的單位移動荷載作用下，一個特征周期內的軌梁振動方程為：

表 1 地鐵車輛參數(shù)Table 1 Metro vehicle parameters

表 2 DTVI2 扣件軌道參數(shù)(對應兩股軌道)Table 2 Parameters of track with DTVI2 fasteners(corresponding to two rails)

2.2 輪軌耦合不平順譜

為了綜合反映車輪不圓順和軌道不平順的耦合激勵機制，需要同時考慮軌道動態(tài)不平順、鋼軌表面粗糙度及車輪不圓順(≤2.62 m 波長段)的全部激勵能量。由于建立的車輛-軌道耦合模型是2 維的，因此本文涉及的輪、軌不平順譜均為豎向激勵。采用輪、軌分離譜的形式[26]，即分別對車輪踏面及鋼軌表面粗糙度譜進行測量估計，按照能量疊加的方式進行線性疊加。該方法假設車輪不圓順與鋼軌表面粗糙度之間完全不相干，保證激勵信息的完備與激勵能量的等效，綜合考慮了輪、軌耦合激勵作用。本文重點關注50 mm 以上波長的車輪不圓順和鋼軌不平順，這一波長遠大于接觸斑尺寸，因此可忽略接觸濾波效應。

輪軌耦合不平順的擬合以文獻[20, 25]中給出的改進三角級數(shù)擬合方法為基礎，同時考慮車輪不圓順及軌道不平順的影響。該方法假設不平順的樣本函數(shù)由不同頻率成分的諧波分量組成，且不同波長的不平順是由不同的因素誘發(fā)所引起，因此假設不同波長間相互獨立。則列車第k軸歷經的對應激勵頻率ωl(l=-NR,···,-1,1,···,NR)的輪軌耦合不平順幅值可以表達為：

3 軌道動力響應計算與測試

3.1 計算工況

為對比分析多種輪軌激勵輸入模式下的軌道振動響應，共設計了9 種計算工況(見表3)。其中，軌道不平順考慮了美國譜、Sato 譜和實測軌道不平順及鋼軌表面粗糙度譜等方式，車輪不圓順考慮不同實測分位譜。對于實測軌道譜分析工況，≥2 m 波長段，采用測試區(qū)間的實測軌道動態(tài)高低不平順譜；＜2 m 波長段，采用實測鋼軌表面粗糙度譜。車輪不圓順譜僅影響≤2.62 m 波長段。

表 3 計算工況Table 3 Calculation cases

圖8 為車輪不圓順譜與實測軌道不平順譜的耦合譜。當車輪不圓順程度較輕時，輪軌耦合譜主要表現(xiàn)軌道的不平順特征，但隨著車輪不圓順程度的增加，車輪各階多邊形磨耗對應的波長處功率譜則越發(fā)凸顯，幅值遠高于美國1 級譜；Sato譜雖然是一種針對3 m 以下的輪軌耦合粗糙度譜，但其量值明顯低于實測輪軌耦合不平順譜。

3.2 計算結果分析

為了評價不同激勵工況下軌道響應計算準確性，對實測軌道不平順和鋼軌粗糙度所在地鐵區(qū)間布設測點，對鋼軌垂向振動加速度進行了24 h的連續(xù)監(jiān)測。測點所在斷面地鐵線路為直線、列車通過車速為60 km/h。根據地鐵運營單位提供的線路運營圖，提取出測試車輪不圓順的那一列車多次重復通過鋼軌測點斷面時的振動響應。

三分之一倍頻程頻域坐標下的振動加速度級定義為：

式中：a(fi) 為不同中心頻率fi處的振動加速度均方根值；a0為參考加速度，取10-6m/s2。

圖9 對比了不同輪軌激勵工況下鋼軌振動響應的計算結果與測試結果。如圖9 (a)所示，10 Hz以上全頻段，美國1 級譜計算結果高于6 級譜約10 dB，且1 級譜的計算結果在8 Hz～40 Hz 內與測試結果較接近；8 Hz 以下頻段的振動響應受準靜態(tài)激勵控制，軌道不平順的輸入對計算結果基本沒有影響。圖9 (b)給出了Sato 譜對應的計算結果。高等級的Sato 譜對應的計算結果在8 Hz～31.5 Hz頻段與測試結果更接近，但仍普遍低于測試結果。此外，Sato 譜雖然作為一種輪軌耦合粗糙度譜在高速鐵路運行引起的振動及噪聲問題中被廣泛應用，但其最高等級的譜值仍無法準確計算50 Hz 以上頻段的鋼軌振動響應。由圖9 (c)可知，在分段輸入實測軌道高低不平順及鋼軌表面粗糙度時，16 Hz～31.5 Hz 頻段計算結果略高于測試結果。美國譜、Sato 譜及實測軌道不平順作用下，在50 Hz 以上全頻段，計算結果都顯著小于測試結果，部分中心頻率處差異超過10 dB。圖9 (d)給出了輸入輪軌耦合不平順的計算結果，當車輪不圓順取為均值譜時，計算結果及測試結果在8 Hz以上全頻段吻合良好；除80 Hz 外，計算值與測試值相差不超過5 dB；由于本文采用的輪軌耦合不平順構造方法未考慮車輪表面粗糙度與鋼軌表面粗糙度間的相干性，一定程度上高估了輪軌表面的實際激勵信息，導致在80 Hz 及其他部分中心頻率處，計算結果略高于實測振動加速度。綜合比較，考慮車輪不圓順的影響后，可以完善動態(tài)激勵信息，尤其是在車輪不圓順對應的典型波長段會明顯提高計算準確性。

圖 9 計算與測試鋼軌振動加速度級Fig. 9 Calculated and measured result of rail VAL

3.3 計算結果準確性評價

為定量評價計算結果與測試結果間的差異，引入平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)，表示為：

圖 10 部分計算工況的平均絕對百分比誤差Fig. 10 MAPE of part of calculation conditions

式中：qi表示計算結果；Qi表示測試結果；n表示計算結果與測試結果形成數(shù)對的個數(shù)。MAPE 越大則計算結果與測試真值相差越大。圖10 給出了工況2、工況4、工況6、工況7 的8 Hz 以上的分頻MAPE 及全頻段的MAPE?？紤]車輪不圓順時：僅在20 Hz～31.5 Hz 及80 Hz 處的MAPE 高于其他工況；絕大部分中心頻率處的MAPE 低于1.5%；8 Hz～200 Hz全頻段的MAPE 計算結果僅為2.4%，遠低于其他工況。

4 結論

通過對一列地鐵列車和固定區(qū)間軌道進行不圓順和不平順測試，構建了輪軌耦合不平順激勵，利用車輪-軌道耦合頻域解析模型計算分析了不同輪軌激勵方式對軌道響應的影響。研究結果表明：

(1)同一列車測得的車輪不圓順譜在一些波長處，相差超過三個數(shù)量級，且呈現(xiàn)與各階多邊形磨耗對應的典型峰值，不同分位數(shù)譜線趨勢一致，主要表現(xiàn)為量級的差異。

(2)對于輪、軌粗糙度充分發(fā)展的列車及軌道，按照能量疊加的方式進行線性疊加獲得的輪軌耦合不平順譜可反映完備的輪軌激勵信息，從而獲得與實測值更相近的模擬計算結果。

(3)為提高城市軌道交通環(huán)境振動預測準確度，應充分考慮車輪不圓順的影響。因此，迫切需要大量的現(xiàn)場測試獲得符合城市軌道交通實際輪軌不平狀態(tài)的輪軌耦合不平順譜。