文 趙 軍(特級教師)
專題復(fù)習(xí):圖形的變化 圖形與坐標(biāo)
領(lǐng) 銜 人:趙 軍(特級教師)
組稿團(tuán)隊:江蘇省太倉市實驗中學(xué)(太倉市趙軍名師工作室)
解答數(shù)學(xué)問題,有幾大必備策略:一類是圖形的變換,包括平移、折疊(對稱)和旋轉(zhuǎn);另一類是構(gòu)造圖形。通過這些方法,我們可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,以達(dá)到化難為易的目的。
例1在如圖1所示8×8的網(wǎng)格中,小正方形的邊長為1,點A、B、C、D都在格點上,AB
與CD相交于點E,則∠AED的正切值是____。
圖1
【思路分析】所求的∠AED不在某一直角三角形中,如何求其正切值?策略1:自力更生,“就地”構(gòu)造直角三角形;策略2:通過圖形的變換,將此角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。策略1:結(jié)合已知條件,求tan∠AED雖然可以轉(zhuǎn)化為求tan∠CEB,然后在△CBE中作高,構(gòu)造直角三角形求解,但點E不在格點上,所以求所構(gòu)造的直角三角形的邊比較麻煩;策略2:試著通過平移線段將∠AED轉(zhuǎn)移到某一直角三角形中求解即可。
圖2
如圖2,將線段CD向右平移3格,使線段CD平移至BF,連接AF,在Rt△ABF中,所以∠AED的正切值為。
【歸納反思】當(dāng)求值遇到困難時,應(yīng)首先想到轉(zhuǎn)化。所謂“山重水復(fù)疑無路,平移變換又一村”,借助平行,我們可以將所求的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,達(dá)到化難為易的目的。
例2如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(3,,P為x軸上一動點,則OP+AP的最小值為________。
圖3
【思路分析】點A(3,的坐標(biāo)隱藏了OA與x軸正方向的夾角為30°,如果能發(fā)現(xiàn)這個30°角,就為轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件。
如圖4,連接OA,過點P作PB⊥OA,垂足為B,則在Rt△OBP中所以AP=PB+PA,問題即轉(zhuǎn)化為求PA+PB的最小值。此時可作點A關(guān)于x軸的對稱點A′,連接AA′,交x軸于點D,再將PA轉(zhuǎn)化為PA′,最終將問題轉(zhuǎn)化為點A′到OA的距離最短問題。
如圖4,求A′C的長有三種思路:一是在連接OA′的基礎(chǔ)上,運用等積法(兩次計算△OAA′的面積)求解;二是證得△AA′C≌△AOD得到答案;三是運用銳角三角函數(shù),分別在Rt△OAD和Rt△A′AC中,以sin∠OAD=sin∠A′AC解決問題。
圖4
【歸納反思】通過對稱變換,將求“和最小”的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由某直線同側(cè)的“和最小”轉(zhuǎn)化為該直線異側(cè)的“和最小”。其思路概括為:“和最小,對稱找”,從而將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題。
例3如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(12,0),點B(0,4),點P是直線y=-x-1上一點,且∠ABP=45°,則點P的坐標(biāo)為 。
圖5
【思路分析】點P可視作直線BP和直線y=-x-1的交點,所以求出直線BP的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵。而直線BP過點B(0,4),因此,只需在該直線上再找一點或者求得該直線的k值即可。剩下的問題就是如何利用好條件∠ABP=45°,這時候我們可以考慮旋轉(zhuǎn)線段。
如圖6,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至CB,過點C作CD⊥y軸,則容易得到△ABO≌△BCD、∠BAC=45°,所以可以得到C(4,16)、BP∥CA,在求出直線CA的表達(dá)式y(tǒng)=-2x+24后,根據(jù)“兩直線平行,k值相等”,從而得到直線BP的表達(dá)式為y=-2x+4,最后列方程組解得點P的坐標(biāo)為(5,-6)。
圖6
圖7
【歸納反思】將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°的目的是構(gòu)造等腰直角三角形,出現(xiàn)新的45°角,為直線的平行創(chuàng)造條件。當(dāng)然,我們也可以將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°(如圖7),則CA與BP的交點E就是CA的中點。在求得點E坐標(biāo)的基礎(chǔ)上,求出直線BE的表達(dá)式,最后列方程組求得交點P的坐標(biāo)。因此,旋轉(zhuǎn)線段的直接效果是出現(xiàn)等腰直角三角形,若題目中有與之相關(guān)聯(lián)的條件,可以嘗試運用此法。
例4如圖8,四邊形ABCD是邊長為4的正方形,⊙B的半徑為2,點P是⊙B上一動點,則的最小值為________,PD-的最大值為________。
圖8
【思路分析】如何找出一條線段代替是解題的關(guān)鍵。仔細(xì)讀題,我們會發(fā)現(xiàn):⊙B的半徑為2,與正方形的邊長4的比值是這與我們要找的線段長與PC之比相等,因此,考慮構(gòu)造一組相似三角形,通過比值不變找出這條線段。
如圖9,連接BP,取BE的中點F,連接PF、DF,由∠FBP=∠PBC,得△BFP∽△BPC,所以。問題即轉(zhuǎn)化為求PD+FP的最小值。很顯然,當(dāng)D、P、F共線時,有最小值,最小值為DF的長??稍赗t△CDF中求得DF=5。同樣的思路,F(xiàn)P,如圖10,有PD-FP≤DF,所以當(dāng)D、F、P三點共線(F在線段PD上)時,有最大值5。
圖9
圖10
【歸納反思】構(gòu)造不是憑空捏造,它是有“根”的。本題的根在系數(shù)也是解題的“題眼”所在。因此,通過構(gòu)造,我們化解了達(dá)到了轉(zhuǎn)化的目的。
圖形的變換是一種技巧。通過平移、折疊、旋轉(zhuǎn)及構(gòu)造,我們能有效地將問題化難為易,化陌生為熟悉。什么時候采用哪種變換,要據(jù)題目的條件而定,不能一概而論。一般而言,其運用技巧可以歸納為:角度摸不著,平移來幫忙;要求“和最小”,對稱少不了;出現(xiàn)四十五,旋轉(zhuǎn)估一估;系數(shù)是個比,構(gòu)造試一試。