王 東， 張友鵬， 趙 斌

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

鋼軌作為電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的重要組成部分，除了支撐和引導(dǎo)列車(chē)運(yùn)行外，還是牽引電流回流和軌道電路信號(hào)電流的共同通道。鋼軌阻抗是軌道電路設(shè)計(jì)中重要的一次側(cè)參數(shù)，阻抗大小影響著軌道電路的傳輸性能[1]。鋼軌內(nèi)阻抗是鋼軌阻抗計(jì)算中極為重要的一部分，精確計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗對(duì)于保證軌道電路傳輸性能和列車(chē)運(yùn)行安全具有重要意義[2]。

交流電流流經(jīng)鋼軌時(shí)，由于集膚效應(yīng)的存在，導(dǎo)致電流分布不均勻，主要集中分布在鋼軌表面。集膚效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致鋼軌交流電阻的增加和內(nèi)電感的減少。對(duì)于圓柱形導(dǎo)體，考慮集膚效應(yīng)計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)阻抗時(shí)，可以直接解析求解，但對(duì)于像鋼軌這種具有不規(guī)則橫截面的導(dǎo)體，直接求解內(nèi)阻抗時(shí)較為困難。

目前對(duì)于考慮集膚效應(yīng)計(jì)算不規(guī)則導(dǎo)體內(nèi)阻抗時(shí)，一般采用將不規(guī)則導(dǎo)體等效為圓柱體模型的做法[3]。Silvester P等人理論研究了圓柱形導(dǎo)體的集膚效應(yīng)，為鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算提供了理論依據(jù)[4]；Dommel H W和Semlyen A等人分別通過(guò)對(duì)Bessel函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式近似和漸近展開(kāi)計(jì)算了圓導(dǎo)線(xiàn)的內(nèi)阻抗[5,6]；陳彩屏使用Bessel函數(shù)計(jì)算了大參數(shù)下空心圓導(dǎo)線(xiàn)的內(nèi)阻抗[7]；Hill R J等人基于有限元法研究了鋼軌交流內(nèi)阻抗隨電流、頻率的變化規(guī)律，并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，表明有限元法可用于鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算[8]，但計(jì)算所需資源較大；朱峰等人將鋼軌等效為圓柱形導(dǎo)體，推導(dǎo)出內(nèi)阻抗計(jì)算公式，并利用多項(xiàng)式近似對(duì)Bessel函數(shù)進(jìn)行近似[9]，但是計(jì)算與仿真結(jié)果同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比誤差較大。

本文在把鋼軌等效為圓柱形導(dǎo)體的基礎(chǔ)上，分別推導(dǎo)出鋼軌在低頻和高頻時(shí)的內(nèi)阻抗公式。根據(jù)Rolle平均值定理和Maclaurian近似公式，對(duì)低頻和高頻時(shí)鋼軌內(nèi)阻抗公式進(jìn)行處理，得到整個(gè)頻率范圍下內(nèi)阻抗計(jì)算公式。利用該計(jì)算公式編程計(jì)算不同型號(hào)鋼軌的內(nèi)阻抗，并分析內(nèi)阻抗隨電流幅值、頻率的變化規(guī)律。同時(shí)，基于有限元法仿真計(jì)算鋼軌模型，并將內(nèi)阻抗計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，相對(duì)誤差小于6 %，且仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)一致，從而為牽引供電系統(tǒng)建模時(shí)鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算提供了可靠的理論依據(jù)。

1 理論推導(dǎo)

1.1 直流內(nèi)阻抗

導(dǎo)體的直流內(nèi)阻抗(電阻)與導(dǎo)體橫截面形狀無(wú)關(guān)，僅與導(dǎo)體橫截面面積、電阻率、長(zhǎng)度有關(guān)，單位長(zhǎng)度導(dǎo)體的直流內(nèi)阻抗為

ZDC=ρ/S=RDC

(1)

式中S為導(dǎo)體的橫截面積；ρ為導(dǎo)體的電阻率。

1.2 交流內(nèi)阻抗

導(dǎo)體中流過(guò)交流電流時(shí)，由于集膚效應(yīng)的存在，導(dǎo)致電流在導(dǎo)體橫截面上分布不均勻，電流主要分布在導(dǎo)體表面一定的集膚深度內(nèi)，導(dǎo)體集膚深度為

(2)

式中 j為虛數(shù)單位；ω為角頻率；μ=μrμ0為導(dǎo)體的磁導(dǎo)率(μr為導(dǎo)體的相對(duì)磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H·m-1為真空磁導(dǎo)率)。

為方便計(jì)算導(dǎo)體交流內(nèi)阻抗，假設(shè)電流在導(dǎo)體集膚深度內(nèi)均勻分布，得到交流內(nèi)阻抗公式為

(3)

式中l(wèi)為導(dǎo)體圓周長(zhǎng)度；Shf為集膚深度內(nèi)電流分布層面積。

為計(jì)算整個(gè)頻率范圍內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)阻抗，對(duì)低頻和高頻的內(nèi)阻抗計(jì)算公式進(jìn)行處理。定義函數(shù)f(x)在[0,∞]上連續(xù)可微，且為非零函數(shù)，當(dāng)f(0)與f(x→∞)已知時(shí)，根據(jù)Rolle平均值定理及Maclaurian近似公式，f(x)可以表示為

f2(x)=f2(0)+f2(x→∞),0≤x≤∞

(4)

直流內(nèi)阻抗計(jì)算式(1)與交流內(nèi)阻抗計(jì)算式(3)分別對(duì)應(yīng)于函數(shù)f(x)的f(0)和f(x→∞)，因此，根據(jù)式(4)得到整個(gè)頻率范圍內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)阻抗為

(5)

1.3 內(nèi)阻抗的計(jì)算

計(jì)算圓導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)阻抗時(shí)，將涉及到Bessel函數(shù)。Schelkunoff公式表明[10]，在頻率f→0時(shí)，對(duì)于圓柱形導(dǎo)體，Bessel函數(shù)變量x→0，得到Bessel函數(shù)值為

I0(0)=1,x-1I1(x)→1/2,K0(0)=0,K1(x)→1/x

(6)

式中I0(0),I1(x)分別為第一類(lèi)修正的零階、一階Bessel函數(shù);K0(0),K1(x)分別為第二類(lèi)修正的零階、一階Bessel函數(shù)。因此，對(duì)于頻率f→0，根據(jù)式(6)中Bessel函數(shù)的值，計(jì)算低頻內(nèi)阻抗為

ZDC(f→0)=

(7)

式中xi=ri/hc,x0=r0/hc,ri與r0為等效圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑。

將式(2)中的hc代入式(7)，得到當(dāng)頻率f→0時(shí)，導(dǎo)體低頻內(nèi)阻抗為

(8)

當(dāng)頻率較高時(shí)f→∞，Bessel函數(shù)變量x→∞，得到Bessel函數(shù)值為

(9)

因此，對(duì)于頻率f→∞，根據(jù)式(9)中Bessel函數(shù)的值，計(jì)算高頻內(nèi)阻抗為

Zhf(f→∞)=

(10)

根據(jù)式(5)對(duì)式(8)與式(10)進(jìn)行處理，得到整個(gè)頻率范圍內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)阻抗為

(11)

2 鋼軌等效模型

由于鋼軌橫截面不規(guī)則，呈“工”字型，與平時(shí)常見(jiàn)的圓導(dǎo)線(xiàn)不同，考慮集膚效應(yīng)時(shí)無(wú)法直接解析計(jì)算內(nèi)阻抗，因此，將鋼軌等效成圓柱形導(dǎo)體。根據(jù)鋼軌的橫截面積和橫截面周長(zhǎng)，得到等效的圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)半徑ri,外半徑r0分別為

r0=lr/2π

(12)

式中l(wèi)r為鋼軌的橫截面周長(zhǎng)；Sr為鋼軌的橫截面積。

鋼軌長(zhǎng)度為1 m，鋼軌電阻率ρ=2.1×10-7Ω·m，相對(duì)磁導(dǎo)率μr=100，根據(jù)式(12)計(jì)算不同型號(hào)鋼軌的參數(shù)，如表1所示。

表1 不同型號(hào)鋼軌的基本參數(shù)

3 有限元仿真

以鋼軌型號(hào)為60 kg/m的P60型鋼軌為例，按照鋼軌的實(shí)際尺寸，1︰1比例完成鋼軌模型的繪制，并根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置鋼軌的材料參數(shù)。仿真中，鋼軌電阻率為ρ，由于鋼軌是鐵磁性材料，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，獲得鋼軌的B-H曲線(xiàn)參數(shù)。集膚效應(yīng)實(shí)際是渦流效應(yīng)的體現(xiàn)，因此在仿真中使用渦流求解器，激勵(lì)設(shè)置為正弦工頻50 Hz電流。對(duì)模型網(wǎng)格剖分時(shí)，考慮集膚效應(yīng)，根據(jù)集膚因子確定網(wǎng)格的大小。鋼軌模型剖分結(jié)果如圖1(a)所示。對(duì)模型進(jìn)行仿真計(jì)算，得到鋼軌橫截面的電流密度分布圖，如圖1(b)所示，由于集膚效應(yīng)，電流主要趨向于鋼軌表面分布。

圖1 有限元仿真

通過(guò)計(jì)算歐姆損耗和磁場(chǎng)儲(chǔ)能，分別得到鋼軌交流內(nèi)電阻與電感，其中電感的計(jì)算結(jié)果包含模型的外電感和內(nèi)電感，本文主要研究鋼軌內(nèi)電感的變化規(guī)律。當(dāng)電流頻率極高時(shí)，電流集中分布在鋼軌表面，此時(shí)可認(rèn)為鋼軌內(nèi)部無(wú)電流分布，從而得到鋼軌外電感，將有限元計(jì)算的電感數(shù)據(jù)減去外電感即為鋼軌內(nèi)電感。

4 鋼軌內(nèi)阻抗影響因素分析

4.1 頻率的影響

鋼軌是軌道電路信號(hào)電流與牽引電流的通道，而軌道電路信號(hào)電流的頻率范圍為1 700～2 600 Hz，牽引電流頻率為50 Hz，因此，頻率范圍較寬。為研究不同型號(hào)鋼軌內(nèi)阻抗在較寬頻率范圍內(nèi)的變化規(guī)律，進(jìn)行0～10 kHz范圍內(nèi)的掃頻。不同型號(hào)鋼軌的基本參數(shù)如表1所示，根據(jù)式(11)，編程計(jì)算在0～10 kHz范圍內(nèi)鋼軌內(nèi)阻抗隨頻率的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果如圖2所示，鋼軌交流電阻和內(nèi)電感與頻率呈非線(xiàn)性關(guān)系。

圖2 不同型號(hào)鋼軌內(nèi)阻抗隨頻率變化

從圖2(a)可以看出，隨著電流頻率的增加，鋼軌交流電阻逐漸變大，在低頻時(shí)變化比較明顯，而隨著頻率的增大，變化越來(lái)越小。在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，其交流電阻值越大。從圖2(b)可以看出，隨著電流頻率的增加，鋼軌內(nèi)電感逐漸減小，在低頻時(shí)特別明顯，而隨著頻率的增大，鋼軌內(nèi)電感趨于穩(wěn)定值，且不同型號(hào)鋼軌的內(nèi)電感稍有不同。在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，其電感值越大，但差值較小。

4.2 電流的影響

鋼軌中同時(shí)存在信號(hào)電流和牽引電流時(shí)，信號(hào)電流幅值大小為毫安(mA)級(jí)，而牽引電流幅值較大，一般為幾百安培，因此，研究電流幅值對(duì)內(nèi)阻抗影響時(shí)，鋼軌中電流主要為工頻50 Hz的牽引電流。以P60型鋼軌為例，其基本參數(shù)如表1所示。由于鋼軌是鐵磁材料，不同電流幅值下鋼軌的相對(duì)磁導(dǎo)率將發(fā)生變化，所以鋼軌內(nèi)阻抗在不同電流下也將發(fā)生明顯的變化。利用安培環(huán)路定理計(jì)算出不同電流幅值所產(chǎn)生的的磁場(chǎng)強(qiáng)度，鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率μr與磁場(chǎng)強(qiáng)度H之間的函數(shù)關(guān)系，得到不同電流幅值對(duì)應(yīng)的鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率μr的值，如表2所示。

表2 工頻情況下不同電流幅值對(duì)應(yīng)的鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率

在工頻(f=50 Hz)情況下，將表2中不同幅值電流對(duì)應(yīng)的磁導(dǎo)率μr的值代入式(11)，得到鋼軌交流電阻與內(nèi)電感隨電流幅值變化的規(guī)律，如圖3所示。

圖3 P60鋼軌內(nèi)阻抗隨電流變化

從圖3可以看出，鋼軌交流電阻與內(nèi)電感先隨電流增大而增大，達(dá)到最大值后開(kāi)始緩慢減小，其主要是由于鋼軌是鐵磁材料，隨著電流的增大，將出現(xiàn)磁飽和效應(yīng)，即磁導(dǎo)率隨電流先開(kāi)始增大，當(dāng)電流超過(guò)某一限定值后，磁導(dǎo)率隨電流的增大而緩慢減小，從而出現(xiàn)上述情況。同時(shí)也可以看出，計(jì)算值與有限元仿真結(jié)果變化趨勢(shì)一致，將兩者對(duì)比后，相對(duì)誤差均小于6 %。

5 結(jié) 論

1) 考慮鋼軌不規(guī)則截面和集膚效應(yīng)計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗時(shí)，運(yùn)用本文推導(dǎo)的內(nèi)阻計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果對(duì)比，相對(duì)誤差小于6 %。

2) 給出了內(nèi)阻抗計(jì)算公式在不同型號(hào)鋼軌下交流電阻和內(nèi)電感隨頻率變化的曲線(xiàn)，表明不同型號(hào)鋼軌在同一頻率下，電阻值差異較大，且橫截面越小，電阻值越大，而對(duì)鋼軌內(nèi)電感影響較小。

3) 給出了鋼軌電阻和內(nèi)電感隨電流幅值變化的規(guī)律，表明由于鋼軌是鐵磁材料，其電阻和內(nèi)電感隨電流幅值的增大呈現(xiàn)出先增大而后緩慢減小的變化趨勢(shì)。