王 東， 張友鵬， 趙 斌

(蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

鋼軌作為電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的重要組成部分，除了支撐和引導列車運行外，還是牽引電流回流和軌道電路信號電流的共同通道。鋼軌阻抗是軌道電路設(shè)計中重要的一次側(cè)參數(shù)，阻抗大小影響著軌道電路的傳輸性能[1]。鋼軌內(nèi)阻抗是鋼軌阻抗計算中極為重要的一部分，精確計算鋼軌內(nèi)阻抗對于保證軌道電路傳輸性能和列車運行安全具有重要意義[2]。

交流電流流經(jīng)鋼軌時，由于集膚效應的存在，導致電流分布不均勻，主要集中分布在鋼軌表面。集膚效應會導致鋼軌交流電阻的增加和內(nèi)電感的減少。對于圓柱形導體，考慮集膚效應計算導體內(nèi)阻抗時，可以直接解析求解，但對于像鋼軌這種具有不規(guī)則橫截面的導體，直接求解內(nèi)阻抗時較為困難。

目前對于考慮集膚效應計算不規(guī)則導體內(nèi)阻抗時，一般采用將不規(guī)則導體等效為圓柱體模型的做法[3]。Silvester P等人理論研究了圓柱形導體的集膚效應，為鋼軌內(nèi)阻抗的計算提供了理論依據(jù)[4]；Dommel H W和Semlyen A等人分別通過對Bessel函數(shù)進行多項式近似和漸近展開計算了圓導線的內(nèi)阻抗[5,6]；陳彩屏使用Bessel函數(shù)計算了大參數(shù)下空心圓導線的內(nèi)阻抗[7]；Hill R J等人基于有限元法研究了鋼軌交流內(nèi)阻抗隨電流、頻率的變化規(guī)律，并與實測數(shù)據(jù)對比，表明有限元法可用于鋼軌內(nèi)阻抗的計算[8]，但計算所需資源較大；朱峰等人將鋼軌等效為圓柱形導體，推導出內(nèi)阻抗計算公式，并利用多項式近似對Bessel函數(shù)進行近似[9]，但是計算與仿真結(jié)果同實驗數(shù)據(jù)相比誤差較大。

本文在把鋼軌等效為圓柱形導體的基礎(chǔ)上，分別推導出鋼軌在低頻和高頻時的內(nèi)阻抗公式。根據(jù)Rolle平均值定理和Maclaurian近似公式，對低頻和高頻時鋼軌內(nèi)阻抗公式進行處理，得到整個頻率范圍下內(nèi)阻抗計算公式。利用該計算公式編程計算不同型號鋼軌的內(nèi)阻抗，并分析內(nèi)阻抗隨電流幅值、頻率的變化規(guī)律。同時，基于有限元法仿真計算鋼軌模型，并將內(nèi)阻抗計算公式的計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進行對比，相對誤差小于6 %，且仿真結(jié)果與計算結(jié)果變化趨勢一致，從而為牽引供電系統(tǒng)建模時鋼軌內(nèi)阻抗的計算提供了可靠的理論依據(jù)。

1 理論推導

1.1 直流內(nèi)阻抗

導體的直流內(nèi)阻抗(電阻)與導體橫截面形狀無關(guān)，僅與導體橫截面面積、電阻率、長度有關(guān)，單位長度導體的直流內(nèi)阻抗為

ZDC=ρ/S=RDC

(1)

式中S為導體的橫截面積；ρ為導體的電阻率。

1.2 交流內(nèi)阻抗

導體中流過交流電流時，由于集膚效應的存在，導致電流在導體橫截面上分布不均勻，電流主要分布在導體表面一定的集膚深度內(nèi)，導體集膚深度為

(2)

式中 j為虛數(shù)單位；ω為角頻率；μ=μrμ0為導體的磁導率(μr為導體的相對磁導率，μ0=4π×10-7H·m-1為真空磁導率)。

為方便計算導體交流內(nèi)阻抗，假設(shè)電流在導體集膚深度內(nèi)均勻分布，得到交流內(nèi)阻抗公式為

(3)

式中l(wèi)為導體圓周長度；Shf為集膚深度內(nèi)電流分布層面積。

為計算整個頻率范圍內(nèi)導體的內(nèi)阻抗，對低頻和高頻的內(nèi)阻抗計算公式進行處理。定義函數(shù)f(x)在[0,∞]上連續(xù)可微，且為非零函數(shù)，當f(0)與f(x→∞)已知時，根據(jù)Rolle平均值定理及Maclaurian近似公式，f(x)可以表示為

f2(x)=f2(0)+f2(x→∞),0≤x≤∞

(4)

直流內(nèi)阻抗計算式(1)與交流內(nèi)阻抗計算式(3)分別對應于函數(shù)f(x)的f(0)和f(x→∞)，因此，根據(jù)式(4)得到整個頻率范圍內(nèi)導體內(nèi)阻抗為

(5)

1.3 內(nèi)阻抗的計算

計算圓導線內(nèi)阻抗時，將涉及到Bessel函數(shù)。Schelkunoff公式表明[10]，在頻率f→0時，對于圓柱形導體，Bessel函數(shù)變量x→0，得到Bessel函數(shù)值為

I0(0)=1,x-1I1(x)→1/2,K0(0)=0,K1(x)→1/x

(6)

式中I0(0),I1(x)分別為第一類修正的零階、一階Bessel函數(shù);K0(0),K1(x)分別為第二類修正的零階、一階Bessel函數(shù)。因此，對于頻率f→0，根據(jù)式(6)中Bessel函數(shù)的值，計算低頻內(nèi)阻抗為

ZDC(f→0)=

(7)

式中xi=ri/hc,x0=r0/hc,ri與r0為等效圓柱形導體的內(nèi)、外半徑。

將式(2)中的hc代入式(7)，得到當頻率f→0時，導體低頻內(nèi)阻抗為

(8)

當頻率較高時f→∞，Bessel函數(shù)變量x→∞，得到Bessel函數(shù)值為

(9)

因此，對于頻率f→∞，根據(jù)式(9)中Bessel函數(shù)的值，計算高頻內(nèi)阻抗為

Zhf(f→∞)=

(10)

根據(jù)式(5)對式(8)與式(10)進行處理，得到整個頻率范圍內(nèi)導體內(nèi)阻抗為

(11)

2 鋼軌等效模型

由于鋼軌橫截面不規(guī)則，呈“工”字型，與平時常見的圓導線不同，考慮集膚效應時無法直接解析計算內(nèi)阻抗，因此，將鋼軌等效成圓柱形導體。根據(jù)鋼軌的橫截面積和橫截面周長，得到等效的圓柱形導體的內(nèi)半徑ri,外半徑r0分別為

r0=lr/2π

(12)

式中l(wèi)r為鋼軌的橫截面周長；Sr為鋼軌的橫截面積。

鋼軌長度為1 m，鋼軌電阻率ρ=2.1×10-7Ω·m，相對磁導率μr=100，根據(jù)式(12)計算不同型號鋼軌的參數(shù)，如表1所示。

表1 不同型號鋼軌的基本參數(shù)

3 有限元仿真

以鋼軌型號為60 kg/m的P60型鋼軌為例，按照鋼軌的實際尺寸，1︰1比例完成鋼軌模型的繪制，并根據(jù)實際情況設(shè)置鋼軌的材料參數(shù)。仿真中，鋼軌電阻率為ρ，由于鋼軌是鐵磁性材料，根據(jù)文獻[11]，獲得鋼軌的B-H曲線參數(shù)。集膚效應實際是渦流效應的體現(xiàn)，因此在仿真中使用渦流求解器，激勵設(shè)置為正弦工頻50 Hz電流。對模型網(wǎng)格剖分時，考慮集膚效應，根據(jù)集膚因子確定網(wǎng)格的大小。鋼軌模型剖分結(jié)果如圖1(a)所示。對模型進行仿真計算，得到鋼軌橫截面的電流密度分布圖，如圖1(b)所示，由于集膚效應，電流主要趨向于鋼軌表面分布。

圖1 有限元仿真

通過計算歐姆損耗和磁場儲能，分別得到鋼軌交流內(nèi)電阻與電感，其中電感的計算結(jié)果包含模型的外電感和內(nèi)電感，本文主要研究鋼軌內(nèi)電感的變化規(guī)律。當電流頻率極高時，電流集中分布在鋼軌表面，此時可認為鋼軌內(nèi)部無電流分布，從而得到鋼軌外電感，將有限元計算的電感數(shù)據(jù)減去外電感即為鋼軌內(nèi)電感。

4 鋼軌內(nèi)阻抗影響因素分析

4.1 頻率的影響

鋼軌是軌道電路信號電流與牽引電流的通道，而軌道電路信號電流的頻率范圍為1 700～2 600 Hz，牽引電流頻率為50 Hz，因此，頻率范圍較寬。為研究不同型號鋼軌內(nèi)阻抗在較寬頻率范圍內(nèi)的變化規(guī)律，進行0～10 kHz范圍內(nèi)的掃頻。不同型號鋼軌的基本參數(shù)如表1所示，根據(jù)式(11)，編程計算在0～10 kHz范圍內(nèi)鋼軌內(nèi)阻抗隨頻率的變化規(guī)律，計算結(jié)果如圖2所示，鋼軌交流電阻和內(nèi)電感與頻率呈非線性關(guān)系。

圖2 不同型號鋼軌內(nèi)阻抗隨頻率變化

從圖2(a)可以看出，隨著電流頻率的增加，鋼軌交流電阻逐漸變大，在低頻時變化比較明顯，而隨著頻率的增大，變化越來越小。在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，其交流電阻值越大。從圖2(b)可以看出，隨著電流頻率的增加，鋼軌內(nèi)電感逐漸減小，在低頻時特別明顯，而隨著頻率的增大，鋼軌內(nèi)電感趨于穩(wěn)定值，且不同型號鋼軌的內(nèi)電感稍有不同。在同一頻率下，鋼軌橫截面越小，其電感值越大，但差值較小。

4.2 電流的影響

鋼軌中同時存在信號電流和牽引電流時，信號電流幅值大小為毫安(mA)級，而牽引電流幅值較大，一般為幾百安培，因此，研究電流幅值對內(nèi)阻抗影響時，鋼軌中電流主要為工頻50 Hz的牽引電流。以P60型鋼軌為例，其基本參數(shù)如表1所示。由于鋼軌是鐵磁材料，不同電流幅值下鋼軌的相對磁導率將發(fā)生變化，所以鋼軌內(nèi)阻抗在不同電流下也將發(fā)生明顯的變化。利用安培環(huán)路定理計算出不同電流幅值所產(chǎn)生的的磁場強度，鋼軌相對磁導率μr與磁場強度H之間的函數(shù)關(guān)系，得到不同電流幅值對應的鋼軌相對磁導率μr的值，如表2所示。

表2 工頻情況下不同電流幅值對應的鋼軌相對磁導率

在工頻(f=50 Hz)情況下，將表2中不同幅值電流對應的磁導率μr的值代入式(11)，得到鋼軌交流電阻與內(nèi)電感隨電流幅值變化的規(guī)律，如圖3所示。

圖3 P60鋼軌內(nèi)阻抗隨電流變化

從圖3可以看出，鋼軌交流電阻與內(nèi)電感先隨電流增大而增大，達到最大值后開始緩慢減小，其主要是由于鋼軌是鐵磁材料，隨著電流的增大，將出現(xiàn)磁飽和效應，即磁導率隨電流先開始增大，當電流超過某一限定值后，磁導率隨電流的增大而緩慢減小，從而出現(xiàn)上述情況。同時也可以看出，計算值與有限元仿真結(jié)果變化趨勢一致，將兩者對比后，相對誤差均小于6 %。

5 結(jié) 論

1) 考慮鋼軌不規(guī)則截面和集膚效應計算鋼軌內(nèi)阻抗時，運用本文推導的內(nèi)阻計算公式，計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果對比，相對誤差小于6 %。

2) 給出了內(nèi)阻抗計算公式在不同型號鋼軌下交流電阻和內(nèi)電感隨頻率變化的曲線，表明不同型號鋼軌在同一頻率下，電阻值差異較大，且橫截面越小，電阻值越大，而對鋼軌內(nèi)電感影響較小。

3) 給出了鋼軌電阻和內(nèi)電感隨電流幅值變化的規(guī)律，表明由于鋼軌是鐵磁材料，其電阻和內(nèi)電感隨電流幅值的增大呈現(xiàn)出先增大而后緩慢減小的變化趨勢。