尹自超 李明 陳波 李映輝

（西南交通大學力學與工程學院，成都 610031）

引言

噴霧干燥技術在相關產(chǎn)業(yè)已廣泛運用［1-3］.國內(nèi)常用的霧化形式有氣流噴嘴式霧化、壓力式噴嘴霧化和旋轉式霧化，其中旋轉式噴霧器在工業(yè)上運用最廣泛［4］.轉軸是旋轉式噴霧器的重要部件，其轉速可達（1～4）×104r/min，此轉速范圍已超過一階臨界轉速，甚至達到二、三階臨界轉速［1］.為解決轉軸位于臨界轉速時的共振問題，唐等［5］基于傳統(tǒng)的兩點支撐模型提出了三點支撐模型.黃等［6］對三點支撐軸系進行了數(shù)值研究，給出了軸承在工作轉速下振動節(jié)點的布置原則，有效避開了轉軸的臨界共振點.傳遞矩陣法在轉子動力學發(fā)展史上占有重要地位，霍爾茲（Holzer）利用傳遞矩陣法解決了多圓盤轉子扭振問題的初參數(shù)法［7］，而梅克斯泰德（Myklestad）和蒲爾（Prohl）將傳遞矩陣法用于求解轉子的彎曲振動問題［8，9］。傳遞矩陣法具有占用空間小，算法簡潔，矩陣維數(shù)不隨系統(tǒng)自由度的增加而增大等優(yōu)點，使其成為解決轉子動力學問題的一個快速而有效的方法.

目前文獻中未見討論轉速、霧化輪質(zhì)量以及約束剛度等參數(shù)對轉軸振動特性的綜合影響，本文將綜合考慮以上因素對霧化器轉軸振動特性進行分析.

1 霧化器轉軸模型

對圖1（a）所示霧化器結構，為研究其轉軸振動特性，可將霧化器轉軸簡化為圖1（b）示由轉軸、上下軸承約束、陶瓷約束和霧化輪組成的系統(tǒng).將質(zhì)量連續(xù)分布的轉軸離散為有n個集中質(zhì)量的自由度系統(tǒng)，相鄰兩節(jié)點用無質(zhì)量的彈性軸段連接，上下軸承約束和陶瓷約束簡化為剛度分別為k1、k2和k3的支撐彈簧，上下軸承間距為L，霧化輪簡化為集中質(zhì)量m（d），如圖1（c）所示.

圖1 霧化器轉軸結構和簡化圖1—上軸承約束；2—轉軸；3—下軸承約束；4—陶瓷約束；5—霧化輪Fig.1 Atomizer shaft structure and simplified diagram1—Upper bearing constraint；2—Rotating shaft；3—Lower bearing constraint；4—Ceramic constraint；5—Atomizing wheel

2 計算原理

2.1 等效質(zhì)量與轉動慣量

對圖2（a）所示等截面軸段的質(zhì)量及轉動慣量為：

若第j軸段由n個截面不同的子軸段組成，如圖2（b）所示，將第j軸段的質(zhì)量和轉動慣量附加在軸段的兩端，軸段簡化為只有剛度的等截面彈性軸，則：

圖2 等截面和變截面軸段的質(zhì)量和轉動慣量Fig.2 Mass and moment of inertia of equal and variable cross section

式中ck、ak和lj分別為子軸段的單位長度、子軸段的質(zhì)心到該軸段最上端截面的距離和整個軸段的總長.對于第j個節(jié)點，集中質(zhì)量和轉動慣量分別為：

2.2 軸段間傳遞關系

對第i軸段及該軸段上下兩節(jié)點受力如圖3所示，上下兩個節(jié)點編號分別為i和i+1，此軸段兩端的截面撓度y、轉角θ、彎矩M和剪力Q關系為：

圖3 第i個軸段受力圖Fig.3 Force diagram of the ith shaft segment

式中（EI）i為軸段截面抗彎剛度，（G）i為剪切彈性模量，（A）i為軸段橫截面積，（κ）i為截面形狀系數(shù)，對空心圓截面取2/3，實心圓截面取0.886.截面狀態(tài)向量用｛δ｝表示為

由式（4）～（7）可將式（8）和式（9）建立如下關系：

其中［TF］i是由式（4）～（7）得到的系數(shù)矩陣

式（11）為第i軸段的傳遞矩陣，而對第i節(jié)點撓度y、轉角θ、彎矩M和剪力Q關系為

式中kti為節(jié)點處的彈簧剛度，JpiΩω為陀螺力矩.節(jié)點i的狀態(tài)向量｛δ｝為

由式（12）～（15）可將式（16）和式（17）建立如下關系

其中［TS］i是由式（12）～（15）得到的系數(shù)矩陣

式（19）即為第i節(jié)點的傳遞矩陣，將式（18）代入式（10）有

式（21）為第i軸段的最終傳遞矩陣，其中

重復運用（20）式可得

式（24）為整個霧化器轉軸的傳遞矩陣，它是一個4×4階方陣，n表示軸段總數(shù).當轉軸兩端自由時，兩端截面狀態(tài)向量為

將式（25）、（26）代入（23）有

由式（27）有

式（28）、（29）為一個齊次代數(shù)方程組，該齊次代數(shù)方程組存在非零解，因此，其系數(shù)行列式為零，故得轉軸系統(tǒng)的頻率方程為

式（30）為兩端自由霧化器轉軸的頻率方程.

3 數(shù)值仿真和討論

3.1 驗證

為驗證方法的正確性，采用二節(jié)點梁單元建立有限元模型進行模擬（如圖4），并與本文方法進行對比，有限元模型中單元數(shù)為10628，節(jié)點數(shù)為10629.霧化器轉軸幾何和材料參數(shù)如表1和表2所示.

表1 霧化器轉軸幾何參數(shù)Table 1 Geometry parameters of the atomizer shaft

表2 霧化器轉軸材料參數(shù)Table 2 Material parameters of the atomizer shaft

圖4 霧化器轉軸的有限元模型Fig.4 Finite element model of atomizer shaft

表3 本文解和有限元計算結果對比Table 3 Comparison of the present solutions and finite element method（FEM）calculation results

下面討論各種參數(shù)對霧化器轉軸振動特性影響，計算中轉軸幾何參數(shù)和材料參數(shù)仍如表1和表2所示.

3.2 轉速的影響

圖5給出了轉速Ω對霧化器轉軸前四階渦動頻率的影響，計算中上下軸承約束為剛性約束k1=k2=∞，陶瓷約束剛度k3=20000N/mm，霧化輪質(zhì)量m（d）=0.0184t.由圖 5 可見，由于存在陀螺力矩的影響，隨著轉速Ω的增大，轉軸前四階渦動頻率出現(xiàn)正進動與反進動的現(xiàn)象，而當Ω=0r/s時，陀螺力矩消失，此時正進動頻率等于反進動頻率.當轉速增加時，對于正進動，陀螺力矩使轉軸的變形減小，提高了轉軸的剛度，進而使其頻率增大；而對反進動，陀螺力矩使轉軸的變形增大，降低了轉軸的剛度，進而使其頻率減小，特別地，轉速對高階（如三、四階）頻率影響相對較小.

圖5 轉速對渦動頻率的影響Fig.5 The effects of speed on the vortex frequency

3.3 霧化輪質(zhì)量的影響

圖6給出了霧化輪質(zhì)量m（d）對霧化器轉軸前四階渦動頻率的影響，計算中Ω=200r/s，上下軸承約束為剛性約束，k1=k2=∞，陶瓷約束剛度k3=20000N/mm.由圖6可見，隨霧化輪質(zhì)量的增大，前四階渦動頻率都在減小，當霧化輪質(zhì)量繼續(xù)增大時，正進動與反進動頻率曲線逐漸變緩，說明其對渦動頻率的影響逐漸減小.從圖中亦可見，霧化輪質(zhì)量的變化對一、二階渦動頻率影響較為明顯，當霧化輪的質(zhì)量增加至0.045t時，其渦動頻率變緩趨勢并不明顯；而霧化輪質(zhì)量的變化對三、四階渦動頻率影響較小，當霧化輪的質(zhì)量增加至0.045t時，其渦動頻率的變化趨勢較為平緩.

圖6 霧化輪質(zhì)量對渦動頻率的影響Fig.6 The effects of atomization wheel mass on the vortex frequency

3.4 陶瓷約束剛度對臨界轉速的影響

圖7給出了陶瓷約束剛度k3對霧化器轉軸前四階臨界轉速的影響，計算中Ω=200r/s，上下軸承約束為剛性約束k1=k2=∞，霧化輪質(zhì)量m（d）=0.0184t.由圖7可見，陶瓷約束剛度k3小于5000N/mm時對一階臨界轉速有明顯影響，二階、三階和四階臨界轉速整體上隨陶瓷約束剛度k3的增大呈緩慢增加趨勢，其中二、四階臨界轉速增加幅值較大，而第三階渦動頻率因不動點與下軸承約束重合，導致陶瓷約束剛度k3的變化對三階臨界轉速影響很小.

圖7 陶瓷約束剛度對臨界轉速的影響Fig.7 The effects of ceramic confinement stiffness on the critical speed

4 結論

本文基于Timoshenko梁理論，利用傳遞矩陣法計算了霧化器轉軸前四階渦動頻率，研究了參數(shù)對其振動特性的影響，得到以下結論：

（1）轉速大于0r/s時，由于存在陀螺力矩的影響，霧化器轉軸的前四階渦動頻率出現(xiàn)正進動與反進動的現(xiàn)象，且轉速對高階（如三、四階）渦動頻率影響較??；

（2）霧化輪質(zhì)量增大，霧化器轉軸的前四階渦動頻率減小，且霧化輪質(zhì)量對一、二階渦動頻率影響較大，而對三、四階渦動頻率影響較??；

（3）陶瓷約束剛度對霧化器轉軸二、四階臨界轉速有明顯影響，對第三階臨界轉速影響最小.