柴潔 過榴曉 陳晶 陳良康

（江南大學(xué)理學(xué)院，無錫 214122）

引言

近年來，隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)研究吸引了越來越多各領(lǐng)域?qū)W者們的興趣.而一致性作為多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中最基本的問題之一，受到許多熱切的關(guān)注.

目前，大多數(shù)文獻(xiàn)是研究多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的完全一致性［1.2］，即多個(gè)智能體組成的系統(tǒng)在控制協(xié)議的作用下，它的狀態(tài)變量（如位移、速度等）逐漸趨同.一些學(xué)者從另外的角度出發(fā)，考慮智能體之間存在性能和合作任務(wù)上的差異，研究了多智能體系統(tǒng)的非精確一致性問題及其變種，比如文獻(xiàn)［3-5］研究了群一致性問題，即智能體被分為多個(gè)群體，同一群體內(nèi)的信息收斂到一致，不同群體間的一致狀態(tài)可以不同.文獻(xiàn)［6］提出一階非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性的概念，文獻(xiàn)［7］進(jìn)一步討論了二階多智能體系統(tǒng)的部分狀態(tài)量一致性問題.文獻(xiàn)［8］考慮了蜂擁控制的特殊群集問題，相對(duì)群一致性還要考慮蜂擁系統(tǒng)中的分離和聚合兩個(gè)原則.而在一些特殊的任務(wù)和環(huán)境中，個(gè)體之間還需要達(dá)到和保持預(yù)先給定的隊(duì)形，同時(shí)又要適應(yīng)環(huán)境約束，這是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中的編隊(duì)控制問題［9］，它與一致性有著密切的關(guān)系.

典型的多智能體系統(tǒng)非精確一致性為廣義一致性.文獻(xiàn)［10-13］研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的廣義同步現(xiàn)象，即耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)之間存在某種已知或未知的函數(shù)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［14］提出了線性和非線性的一階多智能體系統(tǒng)廣義一致性的定義.由上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文擬將一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性概念推廣到二階多智能體系統(tǒng)，理論推導(dǎo)二階多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致的充分必要條件，進(jìn)一步，參考文獻(xiàn)［15-20］中對(duì)通信協(xié)議的信號(hào)延時(shí)的存在對(duì)系統(tǒng)多智能體實(shí)現(xiàn)一致性控制的影響和條件的分析，給出了二階多智能體系統(tǒng)最大容許時(shí)滯與固定拓?fù)鋱D的Laplacian矩陣特征值之間的關(guān)系.

事實(shí)上，廣義一致性是一個(gè)更自然的概念，也是作為多智能體系統(tǒng)輸出一致性的一種特例.廣義一致性能夠更自然地描述由多個(gè)相互作用分量組成的生物和物理系統(tǒng)中的一些相干現(xiàn)象，具有一定的理論意義和實(shí)踐價(jià)值.本文考慮二階多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義一致性問題，理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)討論非延遲和延遲通信控制協(xié)議下的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件，通過多個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

1.2 模型描述

設(shè)有N個(gè)一階智能體系統(tǒng)，每個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)方程為：

如果對(duì)于所有的i=1，2，…，N，hi（x）=x/ki，ki≠0，則稱系統(tǒng)（1）實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性，如果至少存在一個(gè)hi（x）為非線性的，就稱系統(tǒng)（1）實(shí)現(xiàn)了非線性廣義一致性.

進(jìn)一步，本文討論N個(gè)智能體的二階多智能體系統(tǒng)，各智能體的動(dòng)態(tài)方程為：

現(xiàn)在把文獻(xiàn)［14］中一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性定義推廣到了二階情形.

定義1 對(duì)于任意初始條件xi（0）∈R，vi（0）∈R，i，j=1，2，…，N，如果滿足

則稱二階多智能體系統(tǒng)（2）實(shí)現(xiàn)廣義一致性.

簡(jiǎn)單起見，本文只研究線性的廣義一致性問題.

定義2 對(duì)于任意初始條件xi（0）∈R，vi（0）∈R，i，j=1，2...N，如果滿足

則二階多智能體系統(tǒng)（2）關(guān)于參數(shù)ki，i=1，2，…，N實(shí)現(xiàn)線性的廣義一致性.

注1 當(dāng)參數(shù)ki，i=1，2，…，N為若干組不同但組內(nèi)相同的參數(shù)，則二階系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)分組一致狀態(tài).更特殊的，當(dāng)參數(shù)ki，i=1，2，…，N有兩組，分別為1和-1，即二階系統(tǒng)達(dá)到競(jìng)爭(zhēng)與合作［15］的反分組狀態(tài).所以，本文提出的二階多智能體系統(tǒng)線性廣義一致概念可視為更一般的情形.

設(shè)計(jì)控制協(xié)議如下：

其中，ki，i=1，2，…，N.為N個(gè)非零常數(shù).α，β表示耦合參數(shù).由式（2），式（3）和拉普拉斯矩陣的定義，系統(tǒng)等價(jià)表示為：

2 主要結(jié)果

2.1 無通信延遲情形

本節(jié)將研究系統(tǒng)（5）關(guān)于參數(shù)ki的線性廣義一致性的實(shí)現(xiàn)與耦合參數(shù)α，β及拉普拉斯矩陣L的特征值之間的關(guān)系.令uij（i=1，2，…，N；j=1，2），分別表示矩陣和拉普拉斯矩陣L的特征值.

引理1［21］拉普拉斯矩陣L有一個(gè)0的特征值，并且其它特征值均有正實(shí)部，當(dāng)且僅當(dāng)有向圖G包含一個(gè)有向生成樹.

引理2［22］二階多智能體（5）能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣含有一個(gè)特征值0（二重），并且其它特征值含有負(fù)實(shí)部.此外，如果二階線性廣義一致性實(shí)現(xiàn)，則當(dāng)t→∞時(shí)有：

這里ξ是拉普拉斯矩陣L關(guān)于特征值0的唯一非負(fù)左特征向量，滿足ξT1N=0.

定理1 二階多智能體系統(tǒng)（5）實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性，當(dāng)且僅當(dāng)：

1）有向圖G包含一個(gè)有向生成樹；

3）K為可逆矩陣，即ki≠ 0，i=1，2，…，N.（6）證明 作矩陣的特征多項(xiàng)式：

這里λi（i=1，2，…，N）表示拉普拉斯矩陣L的特征值.

由此可知：矩陣L有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為m的0特征值，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為2m的0特征值.由引理1和引理2，只需要證明：Re（λi）>0，（i=2，3，…，N），且條件2）成立，當(dāng)且僅當(dāng)Re（uij）<0，（i=2，3，…，N；j=1，2）.

消除d可得到

證畢.

注2 由定理1知，耦合參數(shù)α，β及拉普拉斯矩陣L的特征值對(duì)系統(tǒng)一致性的實(shí)現(xiàn)起著十分重要的作用，且若hi（x）是線性函數(shù)，即hi（x）=x/ki，ki≠0，則理論上系統(tǒng)線性廣義一致性的實(shí)現(xiàn)與ki的取值無關(guān).

2.2 有通信延遲情形

在系統(tǒng)（2）中，假設(shè)設(shè)計(jì)控制協(xié)議中帶有通信延時(shí)：

這里，τ>0為時(shí)間延遲常數(shù).令

則系統(tǒng)（2）和（8）的等價(jià)矩陣形式為：

這里，

計(jì)算系統(tǒng)（9）的特征方程為

由系統(tǒng)（9）的特征方程很容易得出：L有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為m的0特征值.當(dāng)且僅當(dāng)g（u）=0有一個(gè)2m重零根.給出以下3個(gè)引理：

引理4［23］對(duì)于指數(shù)多項(xiàng)式

引理5［22］假設(shè)有向圖G包含一個(gè)有向生成樹.u是gi（u）=0，2≤i≤N的解，那么當(dāng)τ∈ψ時(shí)，du/dτ存在，并且Re（du/dτ）|τ∈ψ>0.

其中，

證明 因?yàn)橛邢驁DG包含一個(gè)有向生成樹，并且滿足定理1中的2）、3）式，故由定理1知，當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)（9）能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性.再由引理2知g（u）=0含有一個(gè)零根（二重），并且其它根含有負(fù)實(shí)部.當(dāng)τ從0變化到τ0時(shí)，由引理3知一個(gè)純虛根會(huì)出現(xiàn).由引理4和引理5知，當(dāng)0≤τ<τ0時(shí)，g（u）=0有一個(gè)零根（二重），且其它根含有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)（9）實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性，而當(dāng)τ>τ0時(shí)，至少存在一個(gè)具有正實(shí)部的根，故當(dāng)τ>τ0時(shí)無法實(shí)現(xiàn)一致性.證畢.

注3 定理2在定理1的基礎(chǔ)上給出了延遲通信的二階多智能體系統(tǒng)滿足線性廣義一致性的充要條件，即延遲參數(shù)τ要小于一個(gè)臨界值，且給出了這個(gè)最小臨界值τ0的具體求法.由于τ0的求解與拉普拉斯矩陣L特征值的實(shí)部與虛部有關(guān)，實(shí)際特征值的精度對(duì)τ0的計(jì)算影響很大，所以，實(shí)際操作中，可以適當(dāng)提高計(jì)算精度，減少誤差帶來的影響.

3 數(shù)值仿真

3.1 系統(tǒng)無時(shí)延情形

圖1 有向加權(quán)圖GFig.1 Directed weighted graphG

圖2 當(dāng)α=0.1，β=0.15時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.2 Position and velocity state trajectory of the system with α=0.1，β=0.15

圖3 當(dāng)α=0.1，β=0.15時(shí)系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.3 Evolution of the system global error withα=0.1，β=0.15

圖4 當(dāng)α=0.1，β=0.05時(shí)系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.4 The Evolution of the system global error with α=0.1，β=0.05

3.2 系統(tǒng)有時(shí)延情形

系統(tǒng)（9）中取參數(shù) N=5，n=1，α=0.1，β=0.5，非零線性廣義參數(shù)和連接拓?fù)鋱D同上.由定理2計(jì)算可得控制協(xié)議中最大時(shí)間延遲τ0=0.822.當(dāng)τ=0.7時(shí)，多智能體在各自參數(shù)下的投影狀態(tài)軌跡如圖5所示，系統(tǒng)（9）能夠?qū)崿F(xiàn)關(guān)于參數(shù)的線性廣義一致性.而當(dāng)τ=0.9不滿足定理2的充要條件，此時(shí)由圖6可知系統(tǒng)（9）不能達(dá)到線性廣義一致性.

圖5 當(dāng)α=0.1，β=0.5，τ=0.7時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.5 The position and velocity state trajectory of the system withα=0.1，β=0.5，τ=0.7

圖6 當(dāng)α=0.1，β=0.5，τ=0.9時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.6 The position and velocity state trajectory of the system with α=0.1，β=0.5，τ=0.9

4 小結(jié)

本文研究了二階多智能體系統(tǒng)關(guān)于多參數(shù)的線性廣義一致性，在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)了有效的控制協(xié)議，獲得了系統(tǒng)在有時(shí)延和無時(shí)延兩種情況下實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件，并運(yùn)用代數(shù)圖論和穩(wěn)定性等理論給出了證明.在接下來的工作中作者將討論二階多智能體系統(tǒng)的非線性廣義一致性以及廣義群一致性等問題.